D1_2_metodichka_metod_kinetostatiki

части кольца (рис. 7, б). Действие отброшенной левой части на правую заменим силами T . Пусть Ф – равнодействующая сил инерции правой части кольца. Тогда согласно методу кинетостатики имеем:

Второй способ. Модуль равнодействующей сходящихся сил инерции выделенной половины кольца равен

Ф MaC ,

где М – масса половины кольца, аС – ускорение центра тяжести этой половины кольца. Очевидно, вес половины кольца P Mg r S, aC 2xC (xC – расстояние от центра тяжести С половины кольца до геометрического центра кольца O). Как известно из статики [4],

Как видим, полученный результат (4.19) совпадает с прежним результатом (4.18).

21

Теперь из равенства (4.14) определим Т:

Искомое напряжение:

Учитывая, что r V – линейная скорость точки обода колеса, получим

где [ ] – допускаемое напряжение для данного материала. Например, для чугунного маховика :

7,25 103 кг/м3, [ ] 7 106 Па 7МПа,

4.3. Пример 6

Однородный тонкий стержень ОЕ весом Р1 и длиной l, а

также шар весом P2 прикреплены к вертикальному валу шарниром

O. Кроме того, к валу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью в той же плоскости, прикреплён однородный стержень AB весом P3, как показано на рис. 8. Весом вала и размерами шара E

пренебречь.

Определить: 1) зависимость угла отклонения стержня от вертикали от угловой скорости вращения вала; 2) динамическую составляющую реакции шарнира О; 3) реакции подпятника D и подшипника C.

22

ZD

YD y

XD x D

Рис. 9

23

Модуль равнодействующей сил инерции стержня AB равен

Ф3 P3 2 l и направлен вдоль стержня от оси вращения (рис. 9, а). g 2

Для определения реакций подпятника D и подшипника C надо к системе сил инерции присоединить ещё веса стержней и шара и составить уравнения кинетостатики для произвольной пространственной системы сил:

my Fi 0; XC 5a 0;

mz Fi 0.

Чтобы решить систему уравнений (4.24) и найти составляющие реакций опор С и D, надо знать угол отклонения стержня ОЕ от вертикали. Для этого расчленим рассматриваемую механическую систему (рис. 9 а) и рассмотрим стержень ОЕ отдельно (рис. 9 б). Составим уравнение моментов сил, приложенных к рассматриваемому стержню ОЕ, относительно центра О:

Подставляя выражения сил Ф2 и Ф1 в (4.25), для случая 0 полу-

Исходя из полученного соотношения (4.26), можно сказать, что эта задача имеет смысл, если числовые данные удовлетворяют условию cos 1, отсюда

24

В задаче требуется также найти динамическую составляющую реакции шарнира О. Исключая из рассмотрения статические нагрузки (вес стержня ОЕ Р1 и вес шара Р2) и проецируя на ось x силы инерции, приложенные к стержню OE (рис. 9 б), получим

После этого решаем систему уравнений (4.24) и определяем реакции подпятника D и подшипника C: XC, XD,YC,YD, ZD. Давления на опоры равны реакциямопор и противоположноимнаправлены.

4.4. Пример 7

Лебёдка, поднимающая груз P 20кН, поставлена на балке АВ длиной 2l 10м и закреплена как показанона рис 10,а. Здесь А – цилиндрический шарнир, В – каток. Груз поднимается равноускоренно с ускорением а 2м/с2. Общий вес лебёдки вместе с барабаном и балки Q 4кН и их центры тяжести лежат на одной вертикали, проходящей через середину пролёта балки АВ. Барабан лебёдки считать однородным цилиндром с радиусом r 0,5 м и вращаю-

щимся вокруг своей оси О. Вес барабана P1 800H, g 9,8м/с2 , весом троса пренебречь.

Определить общие реакции опор балки, а также их динамические и статические составляющие.

Решение. Рассмотрим систему тел: лебёдка–груз–балка

(рис. 10, а).

Для выделенной системы внешними силами являются силы тяжести и реакции внешних связей – катка В и цилиндрического шарнира А. Присоединим к этим силам силу инерции Ф груза и момент сил инерции МОФ барабана лебёдки (рис. 10, б).

Сила инерции груза, движущегося поступательно с ускорени-

и направлена вниз.

25

где JO – момент инерции барабана относительно оси вращения, –

угловое ускорение барабана; направление МО противоположно угловому ускорению .

Так как барабан – однородный цилиндр, то его момент инерции относительно оси O равен

Схема сил, действующих на балку, показана на рис. 10, б. Согласно методу кинетостатики, составим уравнения равновесия, приняв за центры моментов точки А и В:

Из полученной системы (4.34) определим:

YA Ф P l r Q l MOФ 15249 H 15,25 кН, 2l

YB Q l P Ф l r MOФ 12833 Н 12,83 кН, 2l

где Ф и МОФ определены формулами (4.29) и (4.33).

Схема сил для определения динамических реакций показана на рис. 10, в. В этом случае надо ввести в рассмотрение лишь силы инерции и соответствующие им динамические реакции опор YAд; YBд. Уравнение равновесия сил в этом случае можно получить из уравнений (4.34), полагая Р 0, Q 0:

Отсюда получим:

27

Схема сил для определения статических реакций опор приведена на рис. 10, г. В этом случае рассматриваются только активные силы (силы тяжести Р,Q) и определяются соответствующие реак-

ции опор YAст,YBст . Уравнения равновесия также можно получить из уравнений (4.34), полагая Ф 0, МОФ 0:

Решая систему, получим:

YАст Р l r Q l 13000H 13кН. 2l

YВст Q l Р l r 11000Н 11кН. 2l

Пользуясь законом независимости действия сил, можно проверить свои вычисления так:

YA YAст YAд 13кН 2,25кН 15,25кН,

YВ YВст YВд 11кН 1,83кН 12,83кН.

Этот результат был получен ранее из уравнений (4.34).

5. ДИНАМИЧЕСКОЕ УРАВНОВЕШИВАНИЕ МАСС

Динамическое уравновешивание масс или уравновешивание сил инерции вращающегося тела можно осуществить при помощи одной или двух точечных масс (шаров), присоединение которых устраняет динамическое давление на опоры. Распределение присоединённых масс зависит от конкретных условий задачи.

При решении подобных задач методом кинетостатики надо ввести в рассмотрение силы инерции заданного вращающегося тела

28

(тел) и силы инерции присоединённых тел (шаров). Затем составить уравненияравновесия этихсилдля произвольногомомента времени.

5.1. Пример 8

Коленчатый вал вращается с постоянной угловой скоростью(рис. 11). Длина стержней колена равна a, его вес – p. Определить веса шаров Q1 и Q2, прикреплённых к валу при помощи невесомых стержней длиной l так, чтобы устранить динамические давления на опоры.

и направлены по радиусу от оси вращения.

Сила инерции каждого стержня колена, перпендикулярного оси вращения вала, равна

29

и направлена противоположно нормальному ускорению его центра тяжести.

Модуль силы инерции горизонтального стержня колена вала

равен

и направлен также в сторону, противоположную нормальному ускорению его центра тяжести. Равнодействующая сил инерции коленчатого вала по модулю равна

и направлена в ту же сторону, что и складываемые силы (рис. 11). Полагаем динамические реакции подшипников А и В равными

нулю.

Силы Ф1,Ф2 и Rин образуют плоскую систему параллельных взаимно уравновешивающихся сил. Если составить суммы моментов этих сил относительно точек C и D, то уравнения равновесия принимают вид

mC (Fi) 0; Rин 3a Ф2 8а 0,

(5.5)

Подставляя (5.1, 5.4) в (5.5), получим

5.2. Пример 9

Однородный тонкий диск радиусом R и весом Pнасажен на вал под углом к его оси вращения и жёстко скреплён с валом, причём центр тяжести диска лежит на оси вала (рис. 12, а). Вал вращается с постоянной угловой скоростью . Можно ли уравновесить силы инерции диска двумя шарами, равными по весу, прикрепляя их при помощи невесомых стержней?

Решение. Приведём силы инерции диска к центру С. Главный вектор этих сил Ф МаС 0, ибо центр тяжести диска лежит

30