Глава III. Плоскость

§ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже

Положение плоскости в пространстве определяется:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линии, б) прямой и

точкой, взятой вне прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя

параллельными прямыми.

В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 97), б)

проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 98), в) проекциями двух

пересекающихся прямых (рис.99), г) проекциями двух параллельных прямых (рис.

100).

Каждое из представленных на рис. 97--100 заданий плоскости может быть

преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 97)

прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 98; от него мы

можем перейти к рис. 100, если через точку С проведем прямую, параллельную

прямой АВ.

Рис. 97 Рис. 98 Рис. 99 Рис. 100 Рис. 101

Плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской

фигуры (треугольника, квадрата, круга и т. д.). Пусть некоторая пл.

определена точками А, В к С (рис. 101). Проведя прямые линии через

одноименные проекции этих точек, получим проекции треугольника ABC. Точка D,

взятая на прямой АВ, тем самым принадлежит, пл, проводя прямую через

точку D и через другую точку, заведомо принадлежащую пл. (например, через

точку С), получаем еще одну прямую в пл.

Аналогично могут быть построены прямые, а следовательно, и точки,

принадлежащие плоскости, заданной любым из перечисленных выше способов.

В дальнейшем мы увидим, что плоскость, перпендикулярная к плоскости

проекций, может быть задана прямой, по которой эти плоскости пересекаются

между собой.

§ 17. Следы плоскости

Более наглядно плоскость может быть изображена при помощи прямых, по

которым она пересекает плоскости проекций. На рис. 102 дан пример построения

таких прямых для случая, когда некоторая пл. задана двумя пересекающимися

прямыми АВ и СВ.

Для построения прямой, по которой пл. пересечет пл. достаточно

построить две точки, принадлежащие одновременно плоскостям и 1.

Такими точками служат следы прямых АВ и СВ на пл. 1 т. е. точки

пересечения этих прямых с пл. . Построив Проекции этих следов и проведя

через точки

Рис. 102 Рис. 103 Рис. 104

' и 2 прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения

плоскостей и 1|.

Линия пересечения плоскостей 1и 2 определяется фронтальными следами

прямых АВ " СВ.

Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций,

называются следами этой плоскости на плоскостях проекций или, короче,

следами плоскости.

На рис. 103 изображена пл. о, пересекающая горизонтальную плоскость

проекций по прямой, обозначенной h^'о и фронтальную плоскость --

по прямой f^"о Прямая h^'о называется горизонтальным

следом плоскости, прямая f^"о -- фронтальным следом плоскости.

Если плоскость пересекает ось проекций, то на этой оси получается точка

пересечения следов плоскости'). Так, на рис. 103 следы f^"о и

h^'о пересекаются на оси в точке, обозначенной Ха.

След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проекцией на

этой плоскости. След h^'о " hо (рис. 103) сливается со своей

горизонтальной проекцией; фронтальная проекция этого следа располагается на

оси проекций. След f^"о "fо сливается со своей фронтальной

проекцией; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси

проекций.

На чертеже плоскость может быть задана проекциями ее следов. Можно

ограничиться обозначением только самих следов (рис. 104). Такой чертеж

нагляден и представляет удобства при некоторых построениях.

При построении следов плоскости точка их пересечения может быть

использована для проверки построения: оба следа должны пересекаться между

собой в точке на оси проекций (см. рис. 102).

Угол между следами на чертеже не равен углу, образованному следами

плоскости в пространстве. Действительно, в пересечении следов находится

вершина трехгранного угла,

') Для нее встречается название "точка схода следов".

две грани которого совпадают с плоскостями проекций (рис. 103). Но

сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла.

Поэтому угол, образованный следами f^"о и h^'о на

чертеже (рис. 104), всегда больше угла между этими следами в пространстве.

Если рассматривать плоскость в системе ль 2, 3, то в общем случае

плоскость пересечет каждую из осей проекций (рис. 105: пл. а пересекает оси

х, у и z). Такая плоскость называется плоскостью общего положения. След

' р o называется профильным следом плоскости.

Так как точки Х„ и лежат соответственно на осях х, у и z,

то для построения чертежа плоскости в

системе ль 2, 3 достаточно иметь заданными отрезки ОХК OYa и

О2„ т. е. знать координаты точек Х„ У" и Z" в системе осей х, у,

z. Дело сводится лишь к Одной координате для каждой из этих точек, так как

две другие координаты равны нулю. Например, для построения точки надо

знать лишь ее аппликату: абсцисса и ордината этой точки равны нулю.

Рис. 105 Рис. 107