Задания для практических занятий по материалу лекций

Занятие №1. Определители и их свойства

№1. Вычислить определитель второго порядка:

а) б) в)г).

№2. Вычислить определитель третьего порядка, используя правило треугольника:

а) б)в).

№3. Вычислить определители третьего порядка с помощью разложения по третьему столбцу:

а) б)в).

№4. Вычислить определители третьего порядка с помощью разложения по первому столбцу:

а) б) в).

№5. Вычислить рациональным способом определитель:

1. б)

в)

Занятие №2. Алгебра матриц

№1. Умножить матрицу на число:

а) б) в)

г) д)

№2. Выполнить операции сложения или вычитания матриц:

а) б)

№3. Найти матрицу если:

а) ;

б)

в)

№4. Возвести матрицу в степень

а) б)

№5. Выполнить действия с матрицами:

а)

б)

№6. Найти матрицу обратную данной:

а) б)

в) г).

№7. Выяснить, имеет ли матрица обратную себе:

а) ; б)

в) г)

№8. Провести элементарные преобразования и определить ранг матрицы:

а) б)

в) г)

Занятие №3. Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера:

а) б)

в) г)

№2. Вычислить систему матричным способом:

а) б)

в) г)

№3. Решить уравнение:

а) ;

б)

в) .

№4. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

а) б)

в) г)

Занятие №4. Критерий Кронекера-Капелли совместности систем линейных алгебраических уравнений. Общее, базисное, частные решения. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

№1. Исследовать систему уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли:

а)

б)

в)

г)

№2. Найти базисные решения системы уравнений:

а)

б)

в)

№3. Решить систему уравнений:

а)

б)

в)

Занятие №5. Векторы. Основные понятия

№1. Найти координаты вектора если:

а) б)

в) г)

№2. Найти проекции вектора , если

а) ;

б)

№3. Найти длину вектора:

а) ;

б)

в)

г)

№4. Даны радиус-векторы вершин треугольника

показать, что треугольник равносторонний.

№5. Даны точки Найти длину и направление вектора

№6. Вычислить модуль вектора

и найти направляющие косинусы.

№7. Дан вектор Найти векторесли

№8. Нормировать вектор

№9. Разложить вектор по базису

Примечание:

№10. Вектор заданный в вектороввыразить в базисе

Примечание: связь между базисами

Матрица перехода к новому базису

Координаты вектора в новом базисе

№11. Показать, что векторы образуют базис

Примечание: составляют и решают матричное уравнение, если решение единственное , то векторы линейно независимы

№12. Выяснить вопрос о линейной независимости векторов

а)

б)

Занятие №6. Векторное, скалярное и смешанное произведение векторов

№1. Найти скалярное произведение векторов

если угол между векторамииравен

№2. При каком значении векторы

перпендикулярны?

№3. Даны векторы

найти

№4. Определить угол между векторами

№5. Найти векторное произведение векторов

а)

б)

№6. Вычислить площадь треугольника с вершинами

№7. Даны радиус-векторы трех последовательных вершин параллелограмма

Найти площадь параллелограмма

№8. Найти смешанное произведение векторов

;

№9. Показать, что векторы компланарные

№10. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами

Занятие №7. Уравнение линии на плоскости

№1. Уравнение прямой задано в виде

Написать общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение в отрезках, нормальное уравнение прямой.

№2. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая

?

№3. По координатам вершин треугольника исоставить уравнения высоты, опущенной из вершинынайти длину высоты.

№4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей на осях координат равные отрезки.

Примечание:

№5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и через точку пересечения прямых, заданных уравнениями

№6. Составить уравнение прямой, перпендикулярной второй прямой, заданной уравнением и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 2.

Примечание:

№7. Вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и прямой, заданной уравнением

№8. Найти острый угол между прямыми

Занятие №8. Линии второго порядка

№1. Определить координаты центра и радиус окружности

а)

б)

№2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки если ее центр лежит на прямой

№3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки

№4. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки

№5. Найти длину перпендикуляра восстановленного из первого фокуса эллипса

большой оси до пересечения с эллипсом.

Примечание:

№6. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса

Примечание:

№7. Составить уравнение эллипса, если известно, что ифокусы этого эллипса, а длина большой оси равна 2.

Примечание:

Центр эллипса

следовательно,

№8. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку , если асимптоты гиперболы имеют уравнения

№9. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса

Примечание:

№10. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси и отсекающей от прямойхорду длиной

Примечание: обозначим хорду

Так как точка лежит на прямойтогда

Точка илипринадлежит параболеследовательно,или

Уравнение параболы может быть

№11. На параболе найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Примечание:

Пусть произвольная точка на параболе,точка симметричная точкиотносительно

или

Занятие №9. Приведение общего уравнения кривых второго порядка к каноническому виду

№1. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую

Примечание: Вычислим

следовательно, данная кривая гиперболического типа.

Вычислим

следовательно, данная кривая – гипербола.

Выполним параллельный перенос начала координат в центр кривой, который найдем из системы

Решив систему, найдем центр кривой, точку

Уравнение кривой примет вид

Выполнив преобразование поворота на угол

Из таблицы находим тогда

Формулы поворота примут вид

Подставив их в уравнение кривой, получим

Зная, что при повороте коэффициенты при обратятся в нуль, а уравнение примет вид

подсчитаем только коэффициенты при

Получим

Или, учитывая то, что ивычислены приближенно, получаемт.е.

-это каноническое уравнение гиперболы.

Найдем точки пересечения кривой с осью

Точка пересечения с осью заданной кривой

Выполним построение (рис. 77).

Рис. 77

Гипербола

№2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую

Найдем дискриминант старших членов

- кривая нецентральная.

Найдем дискриминант уравнения

- кривая парабола.

Выполним поворот системы координат на угол который найдем по формуле

Находим ипо формулам

Подставим эти значения в формулы поворота

получим

Подставляем эти формулы в данное уравнение

Уравнение примет вид

Перенесем начало координат в вершину параболы, обозначив

откуда -вершина параболы.

Каноническое уравнение параболы

Точки пересечения параболы с осью найдем, решив совместно данное уравнение и уравнение оси

Точки пересечения кривой с осью ,

Выполним построение (рис. 78).

Рис. 78

Парабола

Занятие №10. Плоскость

№1. Уравнение плоскости привести к нормальному виду.

Примечание:

№2. Определить расстояние от точки до плоскости

Примечание:

№3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору

№4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

№5. Из точки на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Примечание: необходимо записать уравнение плоскости, проходящей через три точки

№6. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей

и точку

Примечание: записать уравнение пучка плоскостей

Так как точка лежит на искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению, откуда

Подставив значение в уравнение пучка плоскостей, найдем искомой уравнение плоскости.

№7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки перпендикулярно плоскости

Примечание: следует найти векторное произведение векторов и-нормального вектора плоскости

Следовательно,

или

№8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной плоскостям

Примечание: следует найти векторное произведение нормальных векторов плоскостей

тогда

Занятие №11. Прямая в пространстве

№1. Уравнение прямой привести к каноническому виду

Примечание: следует найти вектор, параллельный искомой прямой, он должен быть перпендикулярен нормальным векторам плоскостей, на пересечение которых получилась прямая

Общее уравнение прямой в каноническом виде имеет вид

–направляющий вектор прямой. В нашем случае

Затем находят координаты точки, принадлежащей данной прямой. Пусть тогда

Таким образом, можно записать искомое уравнение прямой

№2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору

№3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно векторам

Примечание: следует найти направляющий вектор прямой

тогда

№4. Привести к каноническому виду уравнение прямой

Примечание: следует найти координаты точки, принадлежащей данной прямой

Определяют направляющий вектор прямой

Искомое уравнение прямой

№5. Найти уравнение прямой, проходящей через и параллельно прямой

№6. Записать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки и

Примечание: следует записать каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, а затем перейти к параметрическому

№7. Найти точку пересечения прямой

и плоскости

Примечание: от канонического уравнения прямой следует перейти к параметрическому, затем переменные выраженные через параметр, подставить в уравнение плоскости, найти параметр и вернуться к параметрическому уравнению прямой, чтобы, зная параметр, найти искомые координаты точки.

№8. Вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми

Примечание: найти координаты любой точки, принадлежащей одной из прямых

решая, получим

Найти расстояние от точки до прямой

№9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

№10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Примечание: определить координаты точки, принадлежащей заданной прямой

точка

Следует определить координаты нормального вектора плоскости, как результат векторного произведения нормальных векторов плоскостей, на пересечение которых задана прямая

Искомое уравнение плоскости

№11. При каком значении прямая

параллельна плоскости

Примечание: прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор перпендикулярен нормальному вектору плоскости

Занятие №12. Каноническое уравнение поверхностей второго порядка

№1. Определить координаты центра и радиус сферы

№2. Какие поверхности определяются уравнениями

№3. Найти угол между образующей и осью конуса

№4. Найти главные сечения эллипсоида

определить его вершины и длину осей.

№5. Написать уравнение плоскости, касающейся поверхности

в точке

№6. Какие поверхности определяются уравнениями

Занятие №13. Функция. Вычисление пределов функции

№1. Найти область определения функции

а) ; б) ;

в) г).

№2. Найти область значений функции

а) б).

№3. Построить графики функций

а) б)

б) в)

№4. Выяснить четность (нечетность) функции

а) б)

в) г).

№5. Доказать, используя определение предела, что

№6. Найти пределы:

1. 

14)

15)

Занятие №14. «Замечательные» пределы. Непрерывность функции в точке и на интервале

№1. Вычислите пределы функций, используя первый и второй замечательные пределы:

4)

№2. Исследовать функции на непрерывность:

1. 

2)

№3. Исследовать функцию на непрерывность в заданных точках:

1. 

2. ;

4)

№4. Какие из данных функций являются непрерывными в точке ? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:

Занятие №15. Производная функции

№1. Кривая задана уравнением

записать уравнение касательной и нормали в точке с абсциссой

Примечание:

,

№2. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой

проведенная в точке

Примечание: .

№3. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке

№4. Найти угол между параболами

Примечание:

№5. Найти угол между кривой

№6. Найти производную функции

№7. Найти производную функции

№8. Найти производную функции

№9. Найти производную функций

.

№10. Найти производную функций

№11. Найти производную функций:

1)

№12. Найти производную функции заданной неявно:

Занятие №16. Дифференциал функции. Правило Лопиталя

№1. Найти дифференциалы функций

№2. Найти если

№3. Найти если

№4. Сравнить приращение и дифференциал функции

Примечание:

Разность между приращением и дифференциаломесть бесконечно малая высшего порядка по сравнению сравная

№5. Вычислить идля функцииприи

№6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Примечание: воспользуемся формулой Полагаяимеем

Следовательно, приближенное значение площади круга составляет

№7. Имеется металлический куб с ребром см. При нагревании ребро удлинилось насм. Насколько увеличился объем куба?

Примечание: объем куба тогдаУвеличение объемаэквивалентно дифференциалутак чтоПолное вычисление дало быВ этом результате все цифры, кроме первой, ненадежны, значит, следует округлить до

№8. Найти приближенное значение

Примечание:

№9. Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Примечание: Решая предел

мы видим, что возникает неопределенность Обозначим данную функцию черезт.е.и прологарифмируем ее

Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя

Следовательно,

Примечание: Решая предел

,

мы видим, что возникает неопределенность Положими прологарифмируем

Применяя правило Лопиталя, получим

т.е.

Примечание: Решая предел

мы видим, что возникает неопределенность Логарифмируя и применяя правило Лопиталя, получим

Таким образом,

Занятие №17. Применение производной к исследованию функций

№1. Найти интервалы возрастания и убывания функций

а)

б) ;

в)

№2. Найти экстремумы функций:

а)

б)

в)

г)

№3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке

№4. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

-6.

№5. Найти экстремумы функции

и точки перегиба ее графика.

№6. Найти участки выпуклости и вогнутости кривой

№7. Найти асимптоты кривой

.

№8. Построить график функции

№9. Построить график функции

№10. Построить график функции

Занятие №18. Функции многих переменных

№1. Найти область определения указанных функций:

.

№2. Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций:

№3. Вычислить значения частных производных для данной функции в точкес точностью до двух знаков после запятой:

а)

№4. Найти полные дифференциалы указанных функций:

№5. Найти полную производную функции где

Примечание: функция гденазывается сложной функцией переменнойДля нахождения полной производной функции используют формулу

№6. Вычислить значения частных производных функции заданной неявно, в данной точкес точностью до двух знаков после запятой

Примечание: частные производные неявной функции двух переменных, заданной с помощью уравнения гдедифференцируемая функция переменныхмогут быть вычислены по формулам

№7. Найти

если

Занятие №19. Экстремум функции двух переменных

№1. Исследовать на экстремум следующие функции

;

Примечание: если точка является точкой экстремума функциитоили хотя бы одна из этих производных не существует. Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными. Пусть функцияимеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точкутогда:

1. если

то точка является точкой экстремума для данной функции, причем точкой максимума, еслии точкой минимума при;

2. если то в точкеэкстремума нет;

3. если то экстремум может быть, а может и не быть.

№2. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Примечание: если поверхность задана уравнением то уравнение касательной плоскости в точкек данной поверхности

а каноническое уравнение нормали, проведенной через точку поверхности

Когда уравнение поверхности задано в неявном виде то уравнение касательной плоскости в точкеимеет вид

а уравнение нормали –

№3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областиограниченной заданными линиями:

Занятие №20. Неопределенный интеграл

№1. Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием:

№2. Найти неопределенные интегралы:

Занятие № 21. Интегрирование посредством замены переменной

№1. Интегрировать методом замены переменной:

№2. Найти интегралы:

Занятие № 22. Интегрирование по частям. Интеграл от функций, содержащих квадратный двучлен

№1. Найти неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям:

№2. Найти неопределенные интегралы:

Занятие № 23. Интегрирование рациональных функций

№1. Разложить дробь на простые дроби:

№2. Найти неопределенные интегралы:

Занятие № 24. Интегрирование тригонометрических функций

№1. Найти интеграл:

№2. Найти неопределенные интегралы:

Занятие № 25. Интегрирование некоторых иррациональных функций

№1. Найти неопределенные интегралы:

№2. Найти интегралы:

Занятие №26. Определенный интеграл

№1. Вычислить определенные интегралы:

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

в)

Примечание: искомая площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми

находится по формуле

№3. Вычислить длину дуги кривой на заданном участке от точки до точкиесли кривая задана уравнением:

а)

б)

Примечание: если дуга задана уравнением на отрезкето для нахождения длины дуги кривой используют формулу

№1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Примечание: если в пространстве дано некоторое тело, проектирующееся на ось в отрезоктогда объем тела вычисляют так

№2. Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, лежащей в плоскостии ограниченной линиями

Примечание: объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси выражается формулой

Занятие №27. Механические приложения определенного интеграла

№1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростьюм/с. Найти путь, пройденный точкой за промежуток времени

Примечание: если задана функция, определяющая скорость движения материальной точки по некоторой прямой, то путь, пройденный ее за некоторый промежуток времени определяется по формуле

№2. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 10 см, если известно, что для удлинения ее на 1 см необходимо приложить силу в

Примечание: работа силы, под действием которой движется материальная точка, определяется формулой

Пружина растягивается согласно закону Гука в нашем случае

т.е.

№3. Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара Удельный вес воды принять равнымЕслиправильная четырехугольная пирамида со стороной основания два метра и высотой пять метров.

№4. Определить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, представляющего собой лежащий на боку круговой цилиндр длиной и радиусом основаниячерез находящееся вверху отверстие. Удельный вес водыВычислить работу в случае, когдам,м.

Примечание: на высоте выделим слой водыЕго объем

Рис. 72

Этот слой можно поднять на высоту Элементарная работазатраченая на выкачивание слояопределяется формулой

Работа по выкачиванию всей воды равна сумме всех элементарных работ

Теперь вычислим интеграл, который представляет собой интеграл от дифференциального бинома при Так как

то для вычисления воспользуемся подстановкой

Имеем

Подынтегральная функция в несобственном интеграле является правильной рациональной дробью, которую можно разложить в сумму простейших дробей. Интегралы от этих дробей

Таким образом,

Занятие №28. Вычисление несобственных интегралов

№1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

№2. Вычислить несобственные интегралы:

Занятие №29. Вычисление двойного интеграла

№1. Вычислить:

№2. Вычислить двойной интеграл, если задана область интегрирования

а)

б)

в)

г)

область расположена внутри треугольника с вершинами

№2. Изменить порядок интегрирования:

Занятие №30. Приложения двойного интеграла

№1. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

а)

б)

в)

г)

Примечание: площадь плоской области равна двойному интегралу

№2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

а)

б)

в)

г)

Примечание: объем тела, имеющего своим основанием область на плоскостии ограниченного сверху поверхностьювыражается двойным интегралом

№3. Найти координаты центра масс пластинки, ограниченной двумя параболами

Примечание: координаты центра масс данной пластинки найдем по формулам:

Сначала вычислим массу пластинки

Вычислим статистические моменты пластинки относительно осей координат

Затем найдем координаты центра масс

№4. Найти момент инерции круга радиуса с постоянной плотностью

относительно начала координат.

Примечание: по формуле

имеем

Перейдем к полярным координатам. Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид Поэтому

Занятие №31. Криволинейный интеграл

№1. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

если ломаная

б)

если дуга параболы

в)

если ломаная

г)

если отрезок прямой от точкидо точки

Примечание: криволинейный интеграл по длине дуги преобразуют к определенному интегралу. Записывают уравнение линии интегрирования (уравнение прямой или кривой) и преобразуют криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной и вычисляют его. То есть, записывают чему равензатемопределяют пределы изменения переменнойподставляют в криволинейный интеграл и решают его как обычный определенный интеграл относительно переменной

Криволинейный интеграл по ломаной вычисляют как сумму интегралов, взятых по отрезкам разбиения.

№2. Применяя формулу Грина, вычислить

если контур треугольника с вершинамипробегаемый против хода часовой стрелки.

Примечание: если граница областии функцииивместе со своими частными производными непрерывны в замкнутой областивключая границуто справедлива формула Грина

обход контура выбирается так, что областьостается слева.

В данном случае таким образом

где область треугольникУравнение прямойуравнение

Вычисляют двойной интеграл по данной области

Теперь следует вычислить криволинейный интеграл по контуру, состоящему из звеньев

Уравнение

Уравнение

Уравнение

Занятие №32. Комплексные числа

№1. Даны два комплексных числа и Записать эти числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изобразить их на комплексной плоскости:

а)

б)

в)

г)

№2. Даны два комплексных числа и Вычислитьииспользуя алгебраическую форму

а) ;

б)

в) .

№3. Даны два комплексных числа и Вычислитьив алгебраической, тригонометрической и показательной формах

а)

б)

№4. Вычислить в тригонометрической и показательной формах

a) , б)

в) г) .

Занятие №33. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

№1. Является ли заданная функция решением дифференциального уравнения

№2. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

№3. Решить задачу Коши для дифференциальных уравнений:

№4. Является ли функция заданная неявно уравнением интегралом дифференциального уравнения

№5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

№6. Является ли функция

решением дифференциального уравнения

Занятие №34. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

№1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

№2. Указать типы дифференциальных уравнений и методы их решения:

№3. Решить задачу Коши:

Примечание: общий вид уравнения Бернулли

Суть метода Бернулли заключается в следующем. Вводят две неизвестные функции по формулетогдаПодставив выражение дляв линейное дифференциальное уравнение первого порядка, получают уравнение вида

которое преобразуют к виду Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций, напримерможет быть выбрана произвольно, выбирают в качествелюбое частное решениеуравненияПосле чего, исходное уравнение переходит к видунайдя его общее решение, придем к общему решению исходного уравнения в виде

Таким образом, интегрирование исходного уравнения сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.

Занятие №35. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение степени

№1. Проинтегрировать уравнения:

№2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

№3. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой:

Занятие №36. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

№1. Найти фундаментальную систему решений для следующих однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

№2. Найти общее решение данных уравнений:

№3. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения:

Занятие №37. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

№1. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

№2. Для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений определить и записать структуру его частного решения:

№3. Найти общие решения данных уравнений:

№4. Найти частные решения следующих неоднородных уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям (решить задачу Коши):

Примечание: правая часть неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами часто имеет специальный вид

Частное решение неоднородного уравнения с вышеуказанной правой частью уравнения имеют частное решение, аналогичное структуре правой части уравнения

где и – многочлены степени равно числу корней характеристического уравнения

совпадающему с числом

Занятие №38. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

№1. Записать уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиус–вектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.

Примечание: Сделаем чертеж (рис. 80).

Рис. 80

Из рисунка видно,

Из треугольника получаем

Подставляя в последнее равенство выражения для и, приходим к дифференциальному уравнению

т.е. получили уравнение первого порядка, линейное относительно функции Решаем его с помощью подстановкиИмеем

Искомая кривая проходит через точку поэтомуСледовательно, ее уравнениет.е. данная кривая гипербола.

№2. Записать уравнение кривой, если известно, что точка пересечения любой касательной к кривой с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

Примечание:

№3. Записать уравнение кривой, если известно, что расстояние от любой касательной до начала координат равно абсциссе точки касания.

Примечание:

№4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.

Примечание:

№5. Записать уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей следующим свойством: отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касательной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэффициент пропорциональности равен 3.

Примечание:

Занятие №39. Числовые ряды с положительными членами

№1. Рассмотрев предел частичной суммы ряда, установить его сходимость или расходимость:

№2. Используя необходимое условие сходимости ряда, выяснить, является ли ряд сходящимся:

№3. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком сравнения:

№4. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь предельным признаком сравнения:

№5. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком Даламбера:

№6. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком Коши:

№7. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь интегральным признаком Коши:

№8. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами, указать признак:

Занятие №40. Знакопеременные числовые ряды

№1. Исследовать на сходимость, абсолютную или условную знакочередующиеся ряды:

№2. Исследовать сходимость с помощью признака Лейбница:

№3. Исследовать сходимость ряда, для сходящегося ряда с членами произвольного знака установить, сходится он абсолютно или условно:

№4. Найти с точностью до 0,001 сумму ряда:

Занятие №41. Степенные ряды

№1. Найти радиус сходимости ряда:

№3. Найти область сходимости степенного ряда:

Занятие №42. Ряды Тейлора

№1. Разложить в ряд функцию

Примечание: так как по

заменяя наполучим

Область сходимости ряда

№2. Разложить в ряд функцию

Примечание: в разложении

заменим наполучим

Теперь

Область сходимости

№3. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням

№4. Разложить в степенной ряд по степеням функции:

Занятие №43. Применение рядов к приближенным вычислениям

№1. Вычислить с точностью до 0,0001

Примечание: точное интегрирование здесь невозможно. Заменим наполучим

Умножая полученный ряд на

и почленно интегрируя в интервале принадлежащем интервалу сходимости рядаполучим

№2. Вычислите данный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд с точностью до 0,001:

№3. Вычислить приближенно с точностью до

№3. Методом последовательного дифференцирования найти 5 первых членов, отличных от нуля, разложения в ряд решения уравнения

Примечание: будем искать решение уравнения в виде

Найдем подставивв исходное уравнениеДля нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим

Занятие №44. Разложение функций в ряд Фурье

№1. Разложить функцию в ряд Фурье

Примечание: функция и ее производнаянепрерывные функции на отрезкеРяд Фурье функциисходится на всей числовой прямой, причем в каждой точкев которойнепрерывна, сумма ряда равнаСледовательно функция может быть разложена в ряд Фурье. Так как она нечетная, то ее коэффициенты Фурье

Таким образом, получаем ряд Фурье данной функции

В точках сумма ряда Фурье не совпадает со значениями функцииа равна

Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции

№2. Разложить функцию в ряд Фурье

Примечание: функция и ее производнаянепрерывные функции на отрезкеРяд Фурье функциисходится на всей числовой прямой, причем в каждой точкев которойнепрерывна, сумма ряда равнаСледовательно функция может быть разложена в ряд Фурье. Так как функция четная, то ее коэффициенты Фурье

Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

В точках сумма ряда совпадает со значениями функциипоскольку

№3. Разложить в ряд Фурье функцию в заданном интервале в ряд синусов

№4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию заданную на промежуткевыражением

№5. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию заданную на промежуткевыражением

№6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию заданную на промежуткевыражением

№7. Для функции на заданном интервале вычислите коэффициенты Фурье

Занятие №45. Операции над множествами. Основные тождества алгебры множеств

№1. Докажите тождество

Примечание: чтобы доказать это тождество, нужно показать, что каждый элемент первого множества принадлежит второму и наоборот, т.е. эти множества совпадают.

Пусть т.е.илиЕслитоЕслинотоследовательно,

Пусть т.е.илиЕслитоЕслино

, то

Таким образом, тождество доказано.

№2. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси

Примечание: зададим прямую двумя числами – точкой пересечения с осью

любое действительное число, в том числе может быть отрицательное, тогда вначале минус и углом наклона угол между прямой и положительным направлением осиизменяется отдогдеположительное действительное число из интервала

Сопоставим этим двум числам точкуна осипо следующему правилу:

здесь знак числа совпадает со знаком числаВидно, что по числуможно однозначно восстановить числа

Таким образом, мы установили однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси

№3. Проверить, является ли отношением эквивалентности на множестве всех прямых на плоскости отношение «непересекающихся прямых».

Примечание: введем множество множество всех прямых на плоскости и отношение

Это отношение будет отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Проверим наличие этих свойств.

рефлексивно, так как для любой прямой справедливо(считаем, что прямая параллельна самой себе).

симметрично, так как для любых прямых выполняется(так как еслипараллельнато ипараллельна).

транзитивно, так как для любых прямых выполняетсятак как две прямыеи, параллельные третьей, параллельны.

Таким образом, отношение эквивалентности.

№4. Определите свойства следующих отношений:

1) «прямая прямую» на множестве прямых

2) «число больше числана 2» на множестве натуральных чисел

3) «число делится на числобез остатка» на множестве натуральных чисел

Примечание: 1. «прямаяпересекает прямую» на множестве прямых. Это отношение рефлексивно, так как «прямаяпересекает прямую» выполняется для любой прямой (она пересекает себя в каждой точке); симметрическое, так как из того, что «прямаяпересекает прямую» следует, что «прямаяпересекает прямую» для любых прямых

Также можно заметить, что это отношение не является тождественным, транзитивным и полным.

1. «число больше числана 2» на множестве натуральных чисел. Это отношение антирефлексивное, так как ни для одного элемента из множества натуральных чисел не выполняется «числобольше числана 2»; антисимметрическое, так как для любых элементовиз множества натуральных чисел из того, что «число больше числана 2» следует невыполнение того, что « числобольше числана 2».

Также можно заметить, что это отношение не является тождественным, транзитивным и полным.

2. «число делится на числобез остатка» на множестве натуральных чисел. Это отношение рефлексивно, так как для любого элементаиз множества натуральных чисел выполняется «числоделится на числобез остатка» и «числоделится на числобез остатка», следует, что; транзитивное, так как для любых элементовиз множества натуральных чисел из того, что «числоделится на числобез остатка».

Также можно заметить, что это отношение не является симметрическим, антисимметрическим и полным. Это отношение является отношением порядка.

Занятие №46. Комбинаторика. Определение вероятности события

№1. Сколько семизначных чисел можно образовать с помощью семи различных цифр, отличных от 0?

Примечание:

№2. Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, возле которого поставлены 12 стульев?

Примечание:

№3. Сколькими различными способами можно выбрать из 15 человек делегацию в составе трех человек?

Примечание:

№4. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было ровно две женщины. Сколькими способами это можно сделать?

Примечание: .

№5. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие 2 женщины не сидели рядом?

№6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если цифры не повторяются?

Примечание: способов.

№7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если цифры повторяются?

Примечание: способов.

№8. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать для выполнения различных заданий двух студентов одного пола?

Примечание: способов можно выбрать юношей и 14способа выбрать девушек, тогда 182+30=212 способов.

Или способов.

№9. Составить различные перестановки из элементов множества , подсчитать их число.

Примечание: .

№10. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Примечание:

№11. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? А если выбрать1 красную гвоздику и 2 розовых?

Примечание: =

№12. Составить различные сочетания по 2 элемента из множества , подсчитать их число.

Примечание:

№13. Сколькими способами можно выбрать 1 цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

№14. Группа студентов изучает 10 дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 разных занятия?

№15. Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать?

№16. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения 4 пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного пассажира?

№17. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?

№18. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

№19. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом, если рассматривать только расположение сидящих относительно друг друга?

№20. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом – 5, а в третьем – 2 вакантных места?

№21. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично. Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

№22. Готовясь к докладу, студент выписал из книги цитату, но, забыв номер страницы, на которой она находится, написал номер наудачу. Какова вероятность того, что студент записал нужный номер, если он помнит, что номер выражается двузначным числом с различными цифрами?

Примечание:

это общее количество двузначных чисел с различными цифрами, число интересующих чисел следовательно

№23. Подготовлены на садовом участке и случайно смешаны саженцы двух сортов черной смородины: 6 саженцев сорта Сеченская и 8 саженцев сорта Вологда. Какова вероятность того, что первыми будут посажены 3 саженца смородины сорта Сеченская?

Примечание:

№24. На полке в почвенной лаборатории случайно смешаны бюксы с различными образцами почвы: 8 бюксов с влажной почвой и 6 бюксов с сухой. Найти вероятность того, что три из пяти наудачу взятых с этой полки бюксов будут с сухой почвой.

Примечание:

№25. При определении всхожести партии семян взяли пробу из 1000 единиц. Из отобранных семян не взошло 90. Какова относительная частота появления всхожего семени?

Примечание:

№26. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

№27. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш?

№28. Из колоды карт (36 штук) вытаскивают наудачу 5 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены 2 туза и 3 шестерки?

№29. На 5 карточках изображены буквы Е, Е, Л, П, П. Ребенок случайным образом выкладывает их в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово ПЕПЕЛ?

№30. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 50. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает два вопроса?

Занятие №47. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности

№1. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что второй шар окажется белым при условии, что первый шар был черным?

Примечание: вынули один шар, следовательно, шаров осталось 8: 6 – черных и 2 – белых. По классическому определению вероятности можно легко найти интересующую нас вероятность события:

первый шар, который вынули из урны, оказался черным;

второй шар, который вынули из урны, оказался белым.

№2. В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, второй – синим, а третий – черным?

Примечание: следует обозначить события: вынули белый шар,вынули синий шар,вынули черный шар. Тогда

Если интересует вероятность одновременного появления этих событий, то следует применить теорему умножения

№3. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее наудачу вынимают (без возврата) 2 шара. Какова вероятность того, что оба будут разных цветов?

Примечание: следует выделить события, вероятности которых необходимо найти:

вынули первый шар, и он оказался белым;

вынули второй шар, и он оказался черным;

вынули два шара, и они оказались разного цвета.

№4. Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна Найти вероятность попадания в цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного.

Примечание: a) выделим события: первое орудие попало в цель, два других не попали;второе орудие попало в цель, два других не попало;третье орудие попало в цель, два других не попали;одно орудие попало в цель.

б) хотя бы одно орудие попадет в цель, это значит, что либо одно орудие попадет, либо два орудия, либо три орудия попадут в цель.

два орудия попадут в цель; три орудия попадут в цель – выделены события, которые нас интересуют.

№5. В первой коробке содержится 20 деталей, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 деталей, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята деталь и переложена в первую. Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Примечание: пусть событие – из первой коробки извлечена стандартная деталь; – из второй коробки извлечена стандартная деталь;– из второй коробки извлечена нестандартная деталь. Тогда

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была положена стандартная деталь

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная деталь, при условии, что из второй коробки в первую была положена нестандартная деталь

Тогда

№6. С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, а со второго – 20%. На первом автомате брак составляет 1%, а на втором – 5%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Что вероятнее: проверенная деталь изготовлена на первом автомате или на втором?

Примечание: пусть событие – проверенная деталь бракованная; проверенная деталь с первого автомата;– проверенная деталь со второго автомата. Таким образом,

№7. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что из строя вышла первая микросхема?

№8. Из 40 экзаменационных билетов студент Зайдуллин выучил 30. Каким выгоднее ему зайти на экзамен, первым или вторым?

№9. Известно, что 90% изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет контроль.

№10. С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, а со второго – 20% таких же деталей. На первом автомате брак составляет 1%, а на втором – 5%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Что вероятнее: эта деталь изготовлена на первом автомате или же она изготовлена на втором автомате?

№11. В откормочный комплекс поступают телята из трех хозяйств. Из первого хозяйства телят поступает в 2 раза больше, чем из второго, а из первого – в 3 раза больше, чем из третьего. Первое хозяйство поставляет 15% телят, имеющих живой вес более 300 кг. Второе и третье хозяйства поставляют соответственно 25% и 35% телят, живой вес которых превышает 300 кг. Наудачу отобранный теленок при поступлении в откормочный комплекс весит 320 кг. Какова вероятность того, что он поступит из третьего хозяйства?

Занятие №48. Повторные независимые испытания

№1. В семье трое детей. Какова вероятность того, что: а) все они мальчики; б) один мальчик и две девочки. Считать вероятность рождения мальчика 0,51, а девочки – 0,49.

Примечание: a) в данном случае используем формулу Бернулли, учитывая, что , получим

.

б) Искомая вероятность находится по теореме умножения, так как интересует одновременное появление событий: в семье имеется 1 мальчик ив семье имеется 2 девочки. Вероятность событияи вероятность событиянайдем по формуле Бернулли:

№2. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течении времени ) для каждого узла равнаУзлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время

а) откажет хотя бы один узел;

б) откажет ровно один узел;

в) откажут ровно два узла;

г) откажут не менее двух узлов;

д) откажут от 4 до 6 узлов.

Примечание: a)

б)

в)

г)

д)

№3. Вероятность наступления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событиенаступит:

а) ровно 84 раза;

б) не менее 72 и не более 84 раза.

Примечание: задача состоит в том, что необходимо найти вероятность появления определенного количества интересующих исходов (84) из всех возможных исходов (100). Так как общее число испытаний достаточно велико, то стоит применить формулу Лапласа для нахождения вероятности

Аналогичные рассуждения указывают на решение второй части вопроса, применяя интегральную формулу Лапласа:

№4. Задачник по теории вероятностей издан тиражом 20 000 экземпляров. Вероятность того, что он сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит три бракованных книги.

Применение: в данном случае вероятность появления интересующего исхода очень мала, а количество проведенных испытаний достаточно велико. Следует проверить, возможно ли использовать формулу Пуассона: Условие, при котором возможно применение формулы Пуассона выполнено

№5. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700. Вероятность появления изделия высшего сорта в партии равна 0,8.

№6. Завод отправил на базу 10 000 стаканов. Стаканы разбиваются в пути с вероятностью 0,0002. Какова вероятность того, что в пути разобьется менее трех стаканов?

№7. Среди 5000 семян 0,03% сорняков. Найти вероятность того, что будет найдено не менее двух семян сорняков.

№8. Прибор состоит из 200 деталей, каждая из которых может выйти из строя с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что выйдут из строя не более трех деталей.

№9. На опытной станции посеяно 150 семян кукурузы. Всхожесть семян 95%. Найти вероятность того, что из 150 семян взойдет не менее 90%.

№10. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет 3 поврежденных изделия.

Занятие №49. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины

№1. Найти ряд распределения случайной величины - числа очков, выпадающих при одном бросании игральной кости.

Примечание: так как – число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, то

	1	2	3	4	5	6

Стоит проверить:

№2. Фермер содержит 15 коров, 5 из которых дают удои более чем по 4 500 литров молока в год. Случайным образом отобраны 3 принадлежащих фермеру коровы. Найти закон распределения случайной величины числа коров, дающих указанные высокие удои, среди отобранных.

Примечание: случайная величина может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

Используя формулу Бернулли, можно найти соответствующие вероятности появления определенного количества коров из всех отобранных:

Записывают закон распределения в виде таблицы

	0	1	2	3

№3. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,05. Для проверки качества изготавливаемых изделий отдел технического контроля берет из партии не более 4 изделий. Если будет обнаружено нестандартное изделие, то вся партия будет задержана. Найти ряд распределения случайной величины числа изделий, проверяемых ОТК из каждой партии.

Примечание: пусть проверяемое изделие стандартное;– проверяемое изделие нестандартное.

Согласно условию

Следовательно .

Если т.е. если 1-е изделие стандартное, а 2-е нестандартное

Аналогично можно найти

Контроль:

Искомый ряд распределения:

	1	2	3	4
	0,5	0,0475	0,045125	0,86

№4. Возможные значения случайной величины Известны вероятности последних двух возможных значений:Найти вероятность

№5. Монета брошена 2 раза. Написать закон распределения случайной величины числа выпадений «герба».

Примечание:

	0	1	2
	0,25	0,5	0,25

№6. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

	-2	0	3	7
	0,3	0,1	0,5	0,1

Найти и построить ее график.

№7. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

	1	2	4
	0,1	0,3	0,6

Найти

№8. Найти ряд распределения случайной величины числа выпадений шестерки при 3-х бросаниях игральной кости. Вычислить

Примечание: из данных задачи

Занятие №50. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Законы распределения непрерывной случайной величины

№1. Случайная величина задана функцией распределения

Найти: а) ; б); в) построить графики

Примечание:

№2. Случайная величина задана функцией распределения

Найти: а) ; б)

Примечание: а) так как изадана на промежутке

б)

№3. Случайная величина все возможные значения которой принадлежат интервалузадана в этом интервале плотностью распределения вероятностейНайти коэффициент

Примечание:

№4. Дана функция Найти значения постоянного множителяпри котором эта функция могла бы характеризовать плотность распределения вероятностей случайной величиныпри условии, что все возможные значения величинынаходятся на интервале

Примечание: необходимо найти при котором выполняются свойства функции плотности распределения вероятностей появления случайной величины

Если то

№5. Случайная величина задана плотностью распределения

Найти коэффициент

№6. Случайная величина задана функцией распределения

Найти плотность распределения.

Занятие №51. Законы распределения непрерывной случайной величины

Равномерный закон распределения.

№6. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 1 минуту для транспорта горит зеленый цвет и 45 секунд – красный, затем опять 1 минуту горит зеленый и 45 секунд – красный и т.д. Автомашина проезжает по шоссе в случайный момент времени, не связанный с работой светофора. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора не останавливаясь.

Примечание: случайная величина момент времени проезда автомашины мимо светофора в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре.

Период смены цветов распределена равномерно на отрезке

Вне этого отрезка

Нормальный закон распределения.

№7. На станке изготавливают шарик для подшипников. Номинальный диаметр шарика мм. Фактический размер диаметр шарика вследствие неточности изготовления представляет собой случайная величинараспределенная по нормальному закону с математическим ожиданиеммм и средним квадратическим отклонениеммм.

Найти: Процент шариков для подшипников, которые будут иметь диаметр от 4,8 до 5 мм. Процент брака, если известно, что при контроле бракуются все шарики, диаметр которых отклоняется от номинального по абсолютной величине больше, чем на 0,1 мм.

Примечание:

так как

Вывод: 50% изготовленных шариков для подшипников будут иметь диаметр от 4,8 до 5 мм.

Пусть шарик забракован,шарик не будет забракован

, тогда

так как

Вывод: бракуют 4,56% изготовленных шариков.

№8. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонениемграмм. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 грамм.

Примечание: случайная величина случайные ошибки взвешивания. Математическое ожидание

Показательный закон распределения.

№9. Случайная величина распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностейприНайти вероятность т ого, что в результате испытанияпримет значение из интервала

Примечание:

№10. Продолжительность безотказной работы элемента – случайная величина, распределенная по показательному закону, заданная плотность распределения вероятностей Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно не менее 100 часов.

Примечание: пусть непрерывная случайная величина (продолжительность безотказной работы элемента). Продолжительность безотказной работы элемента не менее часов определяется с помощью функции надежности

это есть функция распределения, для показательного закона

т.е. что элемент проработает не менее 100 часов.

№11. Испытывают два независимо работающих элемента. Продолжительность безотказной работы первого и второго элементов – случайная величина распределенные по показательному закону, эти величины характеризуются функциями распределения

Найти вероятность того, что в интервале времени (0;100) часов:

а) оба элемента откажут;

б) только один элемент откажет.

Занятие №52. Выборочный метод

Заданы выборки X и Y:

Х	66	48	60	69	65	74	77	48	69	51	78	67	75	68	44	51	69	57
Х	55	49	60	72	48	61	76	49	66	54	47	62	64	71	68	57	65	49
Х	59	61	61	70	57	51	69	67	74	53	45	65	59	61	55	52	61	60
Х	65	65	64	68	64	55	62	61	62	71	65	59	56	76	53	75	56	56
Х	53	64	65	69	41	59	53	68	61	73	43	56	67	54	61	70	66	61
X	74	57	54	55	64	60	61	60	57	52
Y	81	74	77	83	80	83	77	71	82	76	78	80	87	84	71	75	81	76
Y	75	77	79	86	73	79	84	72	84	73	72	78	81	82	82	76	79	73
Y	78	79	82	81	76	74	82	80	85	75	71	79	78	79	76	74	81	77
Y	80	80	79	83	83	74	78	79	78	77	81	79	75	86	75	87	74	77
Y	75	81	82	81	69	73	79	80	78	83	71	76	84	74	79	84	81	79
Y	83	77	78	79	80	77	77	77	78	75

1. По заданной выборке Х составим статистический ряд распределения:

	41	43	44	45	47	48	49	51	52	53	54	55	56	57	59
	1	1	1	1	1	3	3	3	2	4	3	4	4	5	4
	60	61	62	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75
	5	10	3	5	7	3	3	4	5	2	2	1	1	3	2
	76	77	78
	2	1	1

Стоит отметить, что .

2. Найдем точечные оценки параметров распределения.

Среднее выборочное

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

, .

Исправленная дисперсия

Исправленное СКО (среднее квадратическое отклонение) .

Мода .

Медиана .

Коэффициент вариации

выборка однородна.

Среднее абсолютное отклонение

.

Занятие №53. Статистические оценки параметров распределения

Продолжение выполнения типового задания.

3. Найдем интервальные оценки параметров распределения.

Интервал для математического ожидания

В нашем случае , t находим из равенства , где – заданная надежность, – функция Лапласа (прил. 3) .

.

Интервал для СКО

где – табличное значение (прил.5).

4. Построим интервальный статистический ряд распределения по эмпирическим данным выборки.

Желательно, чтобы длина интервала . В наше случае , возьмем.

Определим :

.

Последний интервал включает в себя .

Построим интервальный ряд распределения:

39	43	2	0,02	0,02
43	47	3	0,03	0,05
47	51	9	0,09	0,14
51	55	13	0,13	0,27
55	59	13	0,13	0,4
59	63	18	0,18	0,58
63	67	18	0,18	0,76
67	71	13	0,13	0,89
71	75	7	0,07	0,96
75	79	4	0,04	1

5)По выстроенному интервальному статистическому ряду и эмпирическим относительным частотам построим график, который будет определять вид функции плотности распределения относительных частот (рис. 81 (y1)).

Рис. 81

По выстроенному интервальному статистическому ряду и накопленным эмпирическим относительным частотам построим график, который будет определять вид функции распределения относительных частот (рис. 82 (y1)).

Рис. 82

Занятие №54. Эмпирические и выравнивающие частоты. Статистическая проверка гипотез

Продолжение выполнения типового задания.

5. Найдем выравнивающие (теоретические) частоты. Для этого составим вспомогательную таблицу

39	43	41	-2,39	0,0229	1,095	0,01	0,01
43	47	45	-1,91	0,0644	3,080	0,03	0,04
47	51	49	-1,44	0,1445	6,768	0,07	0,11
51	55	53	-0,96	0,2516	12,03	0,12	0,23
55	59	57	-0,48	0,3555	17,00	0,17	0,40
59	63	61	0	0,3989	19,08	0,19	0,59
63	67	65	0,48	0,3555	17,00	0,17	0,76
67	71	69	0,96	0,2516	12,03	0,12	0,88
71	75	73	1,44	0,1415	6,768	0,07	0,95
75	79	77	1,91	0,0644	3,080	0,03	0,98

где

–середина интервала, – функция Лапласа (прил. 2), – теоретические частоты.

По выстроенному интервальному статистическому ряду и выравнивающим относительным частотам построим график, который будет определять вид функции плотности распределения выравнивающих относительных частот (рис. 74 (y2)).

По выстроенному интервальному статистическому ряду и накопленным выравнивающим относительным частотам построим график, который будет определять вид функции распределения выравнивающих относительных частот (рис. 75 (y2)).

Построенные графики относительных частот дают возможность выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины : случайная величина Х распределена по нормальному закону с и.

6)С помощью критерия Пирсона проверим правильность выдвинутой гипотезы .

Согласно критерию, необходимо найти

Построим вспомогательную таблицу.

Интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты следует объединить, а частоты этих интервалов сложить.

	2	3	9	13	13	18	18	13	7	4
	1,09	3,08	6,768	12,03	17,00	19,079	17,00	12,03	6,77	3,08

После объединения интервалов получим следующий ряд

	5	9	13	13	18	18	13	11
	4,18	6,77	12,03	17,00	19,08	17,00	12,03	9,85

Рассчитаем :

.

По таблице критических точек (прил. 6), по заданному уровню значимости и числу степеней свободы ,s – число интервалов после объединения, находим критическую точку

.

Так как , то нет снований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

7)Одного критерия недостаточно для проверки нулевой гипотезы . Проверим выдвинутую гипотезу с помощью критерия Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения, которой называют статистику критерия Колмогорова

.

Построим вспомогательную таблицу

	2	3	9	13	13	18	18	13	7	4
	1,09	3,08	6,77	12,03	17,00	19,08	17,00	12,03	6,77	3,08
	0,45	0,03	0,25	0,07	0,31	0,06	0,06	0,07	0,03	0,23

По эмпирическим данным рассчитывается распределение

По заданному объему выборки и уровню значимости определяем табличное значение (при ) и находим.

В нашем случае Так как, то нулевую гипотезу принимают.

Аналогично проводят статистическую обработку данных случайной величины Y.

Занятие №55. Корреляционный анализ

Продолжение выполнения типового задания.

Проведем корреляционный анализ случайных величин X и Y. Выясним, существует ли корреляционная зависимость между случайными величинами X и Y, при которой изменение одной из величин влечет изменение среднего значения другой.

Пусть случайная величина Y – урожай зерна, а случайная величина X – количество внесенных удобрений. Функция Y не является функцией от X, так как с одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай. Но средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е. Y связан с X корреляционной зависимостью.

Для описания системы двух случайных величин используют такие характеристики, как корреляционный момент и коэффициент корреляции

Корреляционным моментом случайных величинX и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин. Для вычисления корреляционного момента используют формулу

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. Корреляционный момент равен нулю, если X и Y независимы, X и Y зависимые случайные величины, если корреляционный момент не равен нулю.

Коэффициентом корреляции независимых случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратических отклонений этих величин

Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Найдем корреляционный момент, для чего составим вспомогательную таблицу

	69	71	73	75	77	79	81	83	85	87
41	1	1									2
45		3									3
49		2	7								9
53			3	10							13
57				3	10						13
61					9	9					18
65						11	7				18
69							8	5			13
73								6	1		7
77									2	2	4
	1	6	10	13	19	20	15	11	3	2

Вычислим

Вычислим

Можно сделать вывод, что случайные величины X и Y зависимые. Одну из величин представим как функцию другой. Так как точное приближение невозможно, то ограничимся приближенным представлением величины Y в виде линейной функции величины

Данное уравнение прямой называют уравнением среднеквадратической регрессии на .

Аналогично записывают уравнение прямой – среднеквадратической регрессии на

Обе прямые регрессии проходят через точку , которую называют центром совместного распределения величин и.

Проверим гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции. Выборка отобрана случайно, следовательно, нельзя утверждать, что коэффициент корреляции генеральной совокупности отличен от нуля. Это является причиной того, что необходимо при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

которая при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Вычислим наблюдаемое значение критерия

По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 9), по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найдем критическую точку .

Так как , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Построим корреляционное поле, на котором изобразим линии регрессии

и «облако» корреляции.

Чтобы построить линию регрессии составим вспомогательную таблицу

	75,2	80,38
	41	78

Чтобы построить линию регрессии составим вспомогательную таблицу

	69	87
	55,87	65,95

Построим графики линий регрессии (рис. 83).

Рис. 83

Занятие №56. Двухфакторный дисперсионный анализ

№1. В таблице приведены суточные привесы отобранных для исследования 18 поросят в зависимости от метода содержания поросят (фактор ) и качества их кормления (фактор ).

Количество голов в группе фактор	Содержание протеина в корме фактор	Содержание протеина в корме фактор
	530,540,550	600,620,580
	490,510,520	550,540,560
	430,420,450	470,460,430

Необходимо оценить достоверность влияния каждого фактора и их взаимодействия на суточный привес поросят.

Примечание: определим среднее значение привеса:

Общий привес

Все средние значения привеса поместим в таблицу:

Количество голов в группе фактор	Содержание протеина в корме фактор	Содержание протеина в корме фактор	Содержание протеина в корме

Из таблицы следует, что с увеличением количества голов в группе средний суточный привес поросят в среднем уменьшается, а при увеличении содержания протеина в корме – в среднем увеличивается. Является ли эта тенденция достоверной или объясняется случайными причинами, следует выяснить. Для этого вычислим необходимые суммы квадратов отклонений:

Средние квадраты находим делением полученных сумм на соответствующее им число степеней свободы

Результаты расчета сведем в таблицу:

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Межгрупповая (фактор )		2
Межгрупповая (фактор )		1
Взаимодействие		2
Остаточная		12
Общая		17

Данные факторы имеют фиксированные уровни, поэтому для проверки существенности влияния факторов и их взаимодействия необходимо найти отношения

Сравним их с табличными значениями соответственно

Так как

то влияние метода содержания поросят (фактор ) и качества их кормления (фактор ) является существенным. В силу того, что взаимодействие указанных факторов незначимо.

№2. В течение шести лет использовались пять различных технологий по выращиванию сельскохозяйственной культуры. Данные по эксперименту в ц/га приведены в таблице

Номер наблюдения (год)	Технология (фактор )	Технология (фактор )	Технология (фактор )	Технология (фактор )	Технология (фактор )
1	1,2	0,6	0,9	1,7	1,0
2	1,1	1,1	0,6	1,4	1,4
3	1,0	0,8	0,8	1,3	1,1
4	1,3	0,7	1,0	1,5	0,9
5	1,1	0,7	1,0	1,2	1,2
6	0,8	0,9	1,1	1,3	1,5
Итого	6,5	4,8	5,4	8,4	7,1

Необходимо на уровне значимости установить влияние различных технологий на урожайность культуры.

№3. Имеются следующие данные об урожайности четырех сортов пшеницы на выделенных пяти участках земли (блоках)

Сорт	Урожайность по блокам, ц/га 1	Урожайность по блокам, ц/га 2	Урожайность по блокам, ц/га 3	Урожайность по блокам, ц/га 4	Урожайность по блокам, ц/га 5
1	2,87	2,67	2,16	2,50	2,82
2	2,45	2,85	2,77	2,87	3,25
3	2,32	2,47	2,00	2,40	2,40
4	2,90	2,87	2,25	2,80	2,70

Требуется на уровне значимости установить влияние на урожайность сорта пшеницы (фактор ) и участков земли – блоков (фактор ).

Занятие №57. Регрессионный анализ. Проверка значимости и интервальное оценивание коэффициентов регрессии

№1. Имеются данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего и мощности пласта характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
	5	10	10	7	5	6	6	5	6	8

Оценить сменную среднюю добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 метров. Найти 95% доверительные интервалы для индивидуального и среднего значений сменной добычи угля на 1 рабочего для таких же шахт.

Примечание: вначале составим уравнение регрессии

Вычислим все необходимые суммы по формулам:

Получим

т.е. при увеличении мощности пласта на 1 м добыча угля на одного рабочегоувеличивается в среднем на 1,016 т (в условных единицах). Надо оценить условное математическое ожиданиеВыборочной оценкойявляется групповая средняякоторую найдем по уравнению регрессии

Для построения доверительного интервала для необходимо знать дисперсию его оценки, т.е.Составим вспомогательную таблицу с учетом того, чтоа значенияопределяется по полученному уравнению регрессии.

	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
	1,96	2,56	6,76	0,16	1,96	1,96	0,16	0,16	1,96	6,76	24,40
	5,38	8,43	9,44	6,39	5,38	5,38	6,39	6,39	5,38	9,44	-
	0,14	2,48	0,31	0,37	0,14	0,39	0,15	1,94	0,39	2,08	8,39

По таблице приложений находим Искомый доверительный интервал

Средняя сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м с надежностью 0,95 находится в пределах от 4,38 до 6,38 т.

Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения найдем дисперсию его оценки

Искомый доверительный интервал

Таким образом, индивидуальная сменная добыча угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м с надежностью 0,95 находится в пределах от 2,81 до 7,95.

№2. По данным таблицы исследовать зависимость урожайности зерновых культур (ц/га) от количества осадков(см), выпавших в вегетационный период.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Количество осадков	25	27	30	35	36	38	39	41	42	45	46	47	50	52	53
Урожайность	23	24	27	27	32	31	33	35	34	32	29	28	25	24	25

Примечание: из качественных соображений можно предположить, что увеличение количества выпавших осадков приводит к увеличению урожайности до некоторого предела, после чего урожайность будет снижаться. Если построить точки корреляционного поля, можно предположить, что наиболее подходящим уравнением регрессии будет уравнение параболы

Параметры находим, применяя метод наименьших квадратов

Приравнивая частные производные

нулю, получим после преобразований систему нормальных уравнений

Для расчета необходимых сумм составим вспомогательную таблицу

1	25	23	625	15625	390625	575	14375	529	21,7	1,69
2	27	24	729	19683	531441	648	17496	576	24,3	0,11
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
14	52	24	2704	140608	7311616	1248	64896	576	24,7	0,46
15	53	25	2809	148877	7890481	1325	70225	625	23,4	2,44
	606	429	25548	1115808	50158200	17371	730123	12493	-	45,94

Теперь система примет вид

Решая эту систему методом Гаусса, получим т.е. уравнение регрессии имеет вид

Оценим значимость полученной зависимости. С этой целью найдем суммы

Табличное значение Так както уравнение регрессии значимо.

Для оценки тесноты связи вычислим индекс корреляции

т.е. полученная зависимость весьма тесная. Коэффициент детерминации показывает, что вариация урожайности зерновых культур на 79,5% обусловлена регрессией, или изменчивостью количества выпавших в вегетационный период осадков.