- •Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
- •Фгбоу впо «Самарская государственная сельскохозяйственная академия»
- •Е. В. Бунтова
- •Математика
- •Введение
- •2.1. Формулы Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений и ее решение методом обратной матрицы
- •2.4. Элементарные преобразования матрицы
- •2.5. Ранг матрицы
- •3.1. Теорема Кронекера-Капелли
- •3.2. Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n неизвестными
- •3.3. Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •4.2. Линейные операции над векторами.
- •4.3. Декартова система координат
- •4.4. Скалярное произведение векторов, основные свойства и выражение в координатной форме
- •4.5. Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме
- •4.6. Применение векторного произведения векторов к решению задач
- •4.7. Смешанное произведение векторов. Основные свойства смешанного произведения векторов и выражение в координатной форме
- •4.8. Применение смешанного произведения векторов к решению задач
- •5.1. Линейное пространство
- •5.3. Разложение вектора по базису. Линейные пространства
- •6.1. Линейные преобразования
- •6.2. Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •6.3. Свойства собственных векторов матрицы
- •7.1. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия и различные формы ее уравнений на плоскости
- •Свойства прямой в евклидовой геометрии.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось в точкеи образующая уголс положительным направлением оси
- •Уравнение прямой в отрезках.
- •Нормальное уравнение прямой.
- •7.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •7.3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •8.1. Каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики
- •8.2. Каноническое уравнение эллипса и его характеристики
- •8.3. Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики
- •8.4. Каноническое уравнение параболы и ее характеристики
- •8.5. Исследование кривых второго порядка
- •9.1. Плоскость и ее уравнения
- •9.2. Общее уравнение плоскости и его частные виды
- •9.3. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •9.4. Нормальное уравнение плоскости
- •10.1. Уравнение прямой в пространстве
- •10.2. Условия параллельности и перпендикулярности, прямых в пространстве
- •10.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •11.1. Общая теория поверхностей второго порядка
- •11.2. Классификация поверхностей второго порядка
- •11.3. Расположение поверхностей второго порядка
- •12.1. Определение функции. Функциональная зависимость. Область определения функции и способы ее задания
- •12.2. Графическое изображение функции. Классификации функций
- •12.3. Числовые последовательности и их роль в вычислительных процессах. Ограниченные и неограниченные последовательности
- •12.4. Сходимость числовых последовательностей
- •12.5. Предел функции. Односторонние пределы
- •12.6. Основные теоремы о пределах функции
- •13.1. Первый, второй замечательные пределы и их применение к раскрытию неопределенностей. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •13.2. Непрерывность функции в точке и на интервале
- •13.3. Классификация точек разрыва функции
- •14.1. Определение производной функции
- •14.2. Геометрический и механический смысл производной
- •14.3. Основные правила дифференцирования
- •14.4. Производная обратной, параметрически заданной функции
- •14.5. Производная показательно-степенной функции.
- •15.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
- •15.2. Правило Лопиталя
- •15.3. Дифференциал функции
- •15.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •15.5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •16.1. Экстремум функции. Возрастание и убывание функции
- •16.2. Точки перегиба функции и участки выпуклости и вогнутости графика функции
- •16.3. Асимптоты графика функции
- •16.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика
- •17.1. Определение функции многих переменных. Область определения функции многих переменных
- •17.2. Частные производные и дифференциалы первого и высших порядков
- •17.3. Теорема о смешанных производных
- •17.4. Производная по направлению
- •18.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •18.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных
- •18.3. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом множестве
- •18.4. Метод множителей Лагранжа
- •19.1. Первообразная функции
- •19.2. Неопределенный интеграл и его свойства
- •19.3. Таблица основных интегралов
- •19.4. Интегрирование методом замены переменной
- •20.1. Интегрирование по частям
- •20.2. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •21.1. Интегрирование элементарных дробей
- •21.2. Интегрирование рациональных дробей
- •22.1. Интегрирование методом замены переменной
- •22.2. Интегрирование по частям
- •22.3. Интегрирование с помощью универсальных подстановок
- •23.1. Линейные и дробно-линейные иррациональности
- •23.2. Квадратичные иррациональности
- •24.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •24.2. Определение определенного интеграла
- •24.3. Свойства определенного интеграла. Теорема Коши о существовании определенного интеграла
- •24.4. Формула Ньютона-Лейбница
- •25.1. Геометрические приложения определенного интеграла
- •25.2. Физические приложения определенного интеграла
- •25.3. Методы приближенного вычисления определенного интеграла
- •26.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •26.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •26.3. Признак сходимости несобственных интегралов (признак сравнения)
- •27.1. Постановка задачи интегрирования функции многих переменных
- •27.2. Двойной интеграл и его свойства
- •27.3. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования
- •28.1. Геометрический смысл двойного интеграла
- •28.2. Физические приложения двойного интеграла
- •29.1. Определение криволинейного интеграла
- •29.2. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •29.3. Формула Грина
- •30.1. Комплексные числа и их изображение на плоскости
- •30.2. Модуль и аргумент комплексного числа
- •30.3. Различные формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраические действия над комплексными числами
- •31.1. Задачи, приводящие к составлению и решению дифференциальных уравнений
- •31.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Понятие об общем и частном решении дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
- •32.1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений первого порядка
- •32.2. Однородные дифференциальные уравнения.
- •33.1. Дифференциальные уравнения второго порядка,
- •33.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •34.1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •34.2. Особенности интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод вариации произвольной постоянной
- •35.1. Нормальная система дифференциальных уравнений
- •35.2. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •36.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах
- •36.2. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений
- •37.1. Определение ряда. Сходимость. Сумма ряда
- •37.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •37.3. Достаточные признаки сходимости ряда
- •38.1. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов
- •38.2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
- •39.1. Функциональные ряды
- •39.2. Степенные ряды
- •39.3. Теорема Абеля
- •40.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора, Маклорена
- •40.2. Приложение рядов к приближенным вычислениям
- •41.1. Периодические функции
- •41.2. Определение ряда Фурье
- •41.3. Ряды Фурье четных и нечетных периодических функций с произвольным периодом
- •42.1. Множества
- •42.2. Подмножество
- •42.3. Операции над множествами
- •Свойства операций:
- •43.1. Общие понятия теории графов
- •43.2. Теорема Эйлера. Операции над графами
- •43.3. Способы задания графов
- •43.4. Комбинаторика как наука
- •43.5. Сочетания. Размещения. Перестановки
- •44.1. Развитие теории вероятностей как науки
- •44.2. Виды случайных событий
- •44.3. Классическое определение вероятности
- •44.4. Относительная частота
- •44.5. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Противоположные события
- •44.6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •44.7. Теорема сложения вероятностей для совместных событий
- •44.8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса
- •45.1. Формула Бернулли
- •45.2. Наивероятнейшее число наступлений событий
- •45.3. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа
- •45.4. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых событий. Асимптотическая формула Пуассона
- •46.1. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •46.2. Формы задания законов распределения случайных величин: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения
- •46.3. Свойства функции распределения и функции плотности распределения вероятности появления случайной величины
- •46.4. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал
- •46.5. Числовые характеристики случайной величины.
- •47.1. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение дискретной случайной величины
- •47.2. Распределение Пуассона дискретной случайной величины. Простейший поток событий
- •47.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины
- •47.4. Показательный закон распределения
- •47.5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины
- •47.6. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм
- •48.1. Закон больших чисел и его практическое значение
- •48.2. Центральная предельная теорема Ляпунова
- •48.3. Применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы
- •49.1. Генеральная и выборочная совокупности
- •49.2. Статистическое распределение выборки
- •49.3. Эмпирическая функция распределения
- •49.4. Полигон и гистограмма
- •50.1. Определение статистических оценок параметров распределения
- •50.2. Виды статистических оценок параметров распределения
- •50.3.Надежность статистических оценок параметров распределения.
- •51.1. Статистическая гипотеза
- •51.2. Статистический критерий
- •51.3. Критерий согласия Пирсона
- •51.4. Критерий Колмогорова
- •51.5. Критерий проверки гипотезы о равенстве дисперсий
- •51.6. Критерий сравнения двух выборочных средних
- •51.7. Критерий Вилкоксона проверки гипотезы об однородности двух выборок
- •52.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •52.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •53.1. Корреляционная зависимость
- •53.2. Линейная парная регрессия
- •53.3. Оценка значимости параметров связи
- •54.1. Понятие о нелинейной регрессии
- •54.2. Корреляционное отношение
- •54.3. Ранговая корреляция
- •Задания для практических занятий по материалу лекций
- •Словарь терминов и определений
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Рекомендуемая литература
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера-Снедекора
- •Критические точки критерия Вилкоксона
- •Оглавление
- •Бунтова Елена Вячеславовна математика
- •446442, Самарская обл., пгт. Усть-Кинельский, ул. Учебная, 2
- •443068, Г. Самара, ул. Песчаная, 1
42.3. Операции над множествами
Рассмотрим операции, которые заданы для двух различных множеств. Множество таких операций относятся к бинарным операциям.
Пусть даны два множества и множество, которое является результатом операций над ними.
1)Пересечение множеств состоит из элементов принадлежащих каждому из данных множеств. Обозначается:
Ç .
Эту операцию называют еще умножением множеств.
Обозначают пересечение множеств следующим образом
В пересечение входят только те элементы, которые принадлежат каждому из данных множеств, а именно являются общими элементами для всех заданных множеств.
2)Объединение множеств состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Эту операцию еще называют сложением множеств. Обозначается объединение множеств
3)Разность множеств состоит их элементов, принадлежащих первому множеству , но не принадлежащих второму множеству.Обозначается: .вычитание множеств. В разность входят элементы уменьшаемого, без элементов, входящих в вычитаемое множество.
В связи с тем, что результат любой операции является множеством той же предметной области, то такой результат может участвовать в качестве аргумента в последующей операции. Это позволяет строить сложные формулы, описывающие множество через другие множества. Например,
Две формулы и называются эквивалентными, если они описывают равные множества. Записывают это в виде равенства .
Над множествами можно выполнять операции.
Свойства операций:
1) – законы поглощения;
2) –коммутативный (переместительный) закон операции пересечения;
3)— ассоциативный (сочетательный) закон операции пересечения;
4) – дистрибутивный (распределительный) закон операции пересечения по отношению к объединению;
5) – дистрибутивный (распределительный) закон операции объединения по отношению к пересечению.
Декартовым произведением двух множеств называется множество пар элементов, у которых первая компонента принадлежит первому множеству, вторая – второму.
Число элементов декартового произведения, равно произведению мощностей данных множеств
Декартово произведение задается таблицей, координатной плоскостью.
Пусть даны два множества
и .
Декартово произведение есть множество пар вида, где
Выбирая из него любое подмножество , получаем соответствие между некоторым подмножествоммножества, состоящего из первых компонентов выбранных пар и некоторым подмножествоммножества, состоящего из вторых компонентов выбранных пар.– называют областью определения, а– множеством значения соответствия. Причем, возможны случаи, когдаодновременно или один из них.
Соответствием между двумя множествами является любое подмножество декартового произведения этих множеств.
Соответствием между двумя множествами называется правило, по которому каждому элементу множества выбирается (устанавливается, определяется) элемент из множества.
Если рассматривать все пары декартового произведения, то пара задает соответствие между элементами множестваи множествас соответствующими областями определения и значения.
Соответствие задается всеми способами, которыми задается декартово произведение двух множеств. Если соответствие задается на координатной плоскости, то область определения соответствия указывается на оси абсцисс, множество значений на оси ординат.
Если во всех парах, задающих соответствие , компоненты поменять местами, то получится соответствие, обратное данному соответствию.
Примеры соответствий:
1)график дежурства учащихся на неделю. Область определения – список учащихся. Множество значений – дни недели дежурства;
2)таблица квадратов натуральных чисел. Область определения – натуральные числа. Множество значений – их квадраты;
3)формула задает соответствие между множеством действительных чисел– область определения и множеством действительных чисел, являющихся значениями этой формулы – ось.
Одним из важных понятий математики, есть понятие отображения, которое непосредственно связано с понятием соответствия, описывая его. Понятие отображения часто ассоциируется с понятием функции.
Для задания отображения функции необходимо указать:
1) область определения – множество, которое отображается. Область определения задается изначально и обозначается . Элементы области определения называют аргументами;
2) область значений – множество, к которому или на которое отображается заданная область, область значений и обозначается
3) правило (закон, соответствие) между .
Для задания отображений используются следующие основные способы:
1)аналитический способ – в виде формулы;
2)табличный способ. В первой строчке таблицы записываются элементы (числа) области определения, во второй – элементы множества значений;
3)графический способ – на координатной плоскости;
4)с помощью графов - двух кругов или иных геометрических фигур и стрелок;
5)словесный способ – в виде текста, описывающего закон соответствия.
Отображения делятся на два вида: отображения “в” и “на”.
Пусть задано отображение
1) Отображение “в” – инъекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества соответствует единственный элемент множества, а каждому элементу множествасоответствует не более одного прообраза из множества. При этом, мощность множестваменьше мощности множества.
2) Отображение “на” – сюръекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества соответствует единственный элемент множества, а каждому элементу множествасоответствует хотя бы один прообраз из. При этом, мощность множествабольше или равна мощности множества.
Особое место занимают взаимно-однозначные отображения (соответствия).
Взаимно-однозначное отображение – биекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества соответствует единственный элемент множестваи каждому элементу множествасоответствует один прообраз из множества. При этом мощность множестваравна мощности множества.
Множества будут равномощными (равносильными, эквивалентными), если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Для взаимно-однозначных отображений, обратное отображение также является взаимно-однозначным отображением.
Например, установить взаимно-однозначные соответствия между следующими равномощными множествами:
1)множества четных и натуральных чисел;
2)множества натуральных и рациональных чисел;
3)множества точек расположенных на двух различных отрезках (окружностях, квадратах);
4)равночисленные конечные множества;
5)множество точек на единичном отрезке координатной прямой и всей этой прямой.
Контрольные вопросы
1. Дать определение множества.
2. Что называют подмножеством?
3. Какие множества можно считать эквивалентными?
4. Перечислить бинарные операции, заданные для двух множеств.
5. Что называют декартовым произведением двух множеств?
Лекция №43. Основы теории графов. Элементы комбинаторики
43.1. Общие понятия теории графов.
43.2. Теорема Эйлера. Операции над графами.
43.3. Способы задания графов.
43.4. Комбинаторика как наука.
43.5. Сочетания. Размещения. Перемещения.