2.6. Методы сложения гармонических колебаний. Векторные диаграммы. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колебания, совершаемые материальными точками, телами, системами, чаще всего являются результатом сложения нескольких гармонических колебаний, совершаемых одновременно. Следовательно, любое сложное колебание можно разложить на несколько простых (гармонических). Для того чтобы знать, как зависит характер сложного колебания от соотношения фаз, частот, амплитуд и направлений складываемых колебаний, рассмотрим наиболее простые случаи сложения гармонических колебаний. Основными методами сложения колебаний являются метод векторных диаграмм и аналитический метод.

Метод векторных диаграмм заключается в том, что гармонические колебания изображаются графически в виде вектора на плоскости. Для этого из начала координат на плоскости проводят вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемых колебаний, который составляет с осью координат (горизонтальной осью) угол = t + ₀, равный фазе колебаний в данный момент времени t (рис.2.7).

С течением времени угол  увеличивается так, что вектор равномерно вращается относительно начала координат с угловой скоростью, равной циклической частоте . Соответственно проекция вектора на вертикальную ось совершает гармонические колебания по закону:

(2.28)

Этим методом широко пользуются при сложении одинаково направленных гармонических колебаний.

Предположим, что имеются два гармонических колебания с одинаковой частотой ₁ = ₂ =  (T₁ = T₂ = T), но с разными амплитудами x₀₁  x₀₂ и начальными фазами ₀₁  ₀₂. Уравнения таких колебаний будут иметь вид:

x₁ = x₀₁sin(t + ₀₁); x₂ = x₀₂sin(t + ₀₂). (2.29)

Изобразив эти колебания в виде векторной диаграммы, для амплитуды результирующего колебания получим:

x₀ = x₀₁ + x₀₂. (2.30)

Численное значение амплитуды результирующего колебания можно определить по теореме косинусов:

x₀² = x₀₁² + x₀₂² - 2x₀₁x₀₂cos[ - (₁ - ₂)] =

= x₀₁² + x₀₂² - 2x₀₁x₀₂cos(₁ - ₂)]. (2.31)

Пользуясь векторной диаграммой, определяем начальную фазу результирующего колебания:

(2.32)

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

(2.33)

Анализ полученного результата приводит к следующим выводам:

1. При ₀₁ - ₀₂ = 2k - разность начальных фаз складываемых колебаний равна четному числу ; в частности при k = 0, (₀₁ - ₀₂ = 0):

x₀ = x₀₁ + x₀₂; tg₀ = tg₀₁ = tg₀₂; ₀ = ₀₁ = ₀₂. (2.34)

Колебания синфазные и усиливают друг друга.

2. При ₀₁ - ₀₂ = (2k + 1) - разность начальных фаз складываемых колебаний равна нечетному числу ; в частности при k = 0, (₀₁ - ₀₂) = :

x₀ = x₀₁ – x₀₂; ₀₁ = -₀₂. (2.35)

Колебания противофазные и ослабляют друг друга.

3. При x₀₁ = x₀₂; ₁ = ₂ = ; ₀₂  ₀₁. Уравнения таких гармонических колебаний имеют вид

(2.36)

(2.37)

Для получения уравнения результирующего колебания воспользуемся аналитическим методом сложения колебаний. В этом случае будем иметь

(2.38)

где - амплитуда результирующего колебания;

- фаза результирующего колебания.

Результирующее колебание - гармоническое, такой же частоты, отличающееся по фазе от складываемых колебаний на половину суммы их начальных фаз.

Из полученного результата видно, что:

а) при ₀₁ - ₀₂ = 2k - разность начальных фаз складываемых колебаний равна четному числу ; в частности при k = 0 (₀₁ - ₀₂ = 0):

x₀ = 2x₀₁. (2.39)

Колебания усиливают друг друга;

б) при ₀₁ - ₀₂ = (2k + 1) - разность начальных фаз складываемых колебаний равна нечетному числу ; в частности при k=0 (₀₁ - ₀₂ = ):

x₀ = x₀₂ – x₀₁ = 0. (2.40)

Колебания гасят друг друга. В остальных случаях амплитуда результирующего колебания меньше суммы амплитуд складываемых колебаний.

Особый интерес представляет сложение колебаний одного направления, амплитуды которых одинаковы (x₀₂ = x₀₁); начальные фазы равны 0 (₀₁=₀₂=0), а круговые частоты мало отличаются друг от друга (₁  ₂). Уравнения таких колебаний имеют вид

x₁ = x₀₁sin₁t; x₂ = x₀₁sin₂t. (2.41)

Уравнение результирующего колебания запишем, если воспользуемся аналитическим методом сложения гармонических колебаний:

x = x₁ + x₂ = x₀₁sin₁t + x₀₁sin₂t = 2x₀₁, (2.42)

где - амплитуда результирующего колебания, которая зависит от = ₁ - ₂ – разности частот складываемых колебаний.

- смещение результирующего колебания, изменяющееся по гармоническому закону.

Так как , то амплитуда результирующего колебания изменяется со временем медленнее, чем смещение. Поэтому результирующее колебание можно считать почти гармоническим. Частота и период результирующего колебания соответственно будут равны

(2.43)

Частота и период изменения амплитуды (частота и период биения):

(2.44)

Такие колебания называются биениями.

Рис.2.8

Процесс возникновения и характер биений можно представить так (рис.2.8): в начале (при t = 0) фазы складываемых колебаний совпадают, амплитуда результирующего колебания максимальна. По мере нарастания разности фаз амплитуда результирующего колебания уменьшается, становится меньше суммы амплитуд складываемых колебаний. При разности фаз, равной , складываемые колебания погасят друг друга (x₀ = 0). Дальнейшее увеличение разности фаз приведет к возрастанию амплитуды результирующего колебания, и при разности фаз, равной 2, достигнет вновь максимального значения, затем процесс будет повторяться.

Периодическое изменение амплитуды от дообусловлено постепенным запаздыванием по фазе одного из исходных колебаний: при разности фаз исходных колебаний, равной(где), амплитуда результирующего колебания равна, а при разности фаз, равной(где), амплитуда равна.

Одним из применений получения биений является настройка музыкальных инструментов. Настройщик рояля, например, добивается "нулевых" биений звуковых колебаний от эталонных камертонов и струн музыкального инструмента (постепенно натягивая или отпуская струну, он добивается максимального снижения частоты результирующего звукового колебания, благодаря чему процесс настройки становится стандартным и очень точным). В так называемых "гетеродинных" частотомерах также используется принцип нулевых биений для идентификации частоты нового источника колебаний.

В результате сложения гармонических колебаний, совпадающих по направлению и имеющих кратные циклические частоты , 2, 3 и т.д., получаются периодические негармонические колебания с периодом T = 2/. В свою очередь, любое сложное периодическое колебание x = f(t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте  = 2/T, где T - период колебаний:

(2.45)

где , при (n = 0, 1, 2, …..);

, при (n = 1, 2, …..).

Такое представление периодической функции f(t) называется разложением этой функции в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания. Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами , 2, 3 и т.д., называются первой, или основной, второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания x = f(t). Совокупность этих гармоник образует спектр колебания x = f(t). Состав спектра зависит от вида периодической функции x = f(t). В простейших случаях спектр может состоять из небольшого числа гармоник.

Часто под спектром колебания понимают спектр его частот, т.е. совокупность частот простых гармонических колебаний, в результате сложения которых может быть получено рассматриваемое сложное колебание. Периодические колебания имеют дискретные (линейчатые) спектры частот.