6.3. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решение. Характеристики затухающих электромагнитных колебаний

При рассмотрении электрических колебаний в простом закрытом колебательном контуре предполагалось, что активное сопротивление R (сопротивление проводников) равно нулю.

Так как любой проводник обладает определенным сопротивлением R, то колебания в реальном колебательном контуре с течением времени затухают. Это связано с выделением энергии на активном сопротивлении R, в результате чего энергия контура уменьшается.

На основании второго закона Кирхгофа для контура, содержащего активное сопротивление R, индуктивность L и емкость C (рис. 6.3), можно записать

, (6.18)

где .

Следовательно,

. (6.19)

Уравнение (6.19) является уравнением затухающих электромагнитных колебаний. С точки зрения математики, оно однородное, дифференциальное, второго порядка, решением которого является выражение вида

, (6.20)

где - амплитуда колебаний;

 - коэффициент затухания;

знак «минус» показывает, что с течением времени амплитуда колебаний уменьшается.

На рис. 6.4 представлены затухающие колебания, подчиняющиеся уравнению (6.20).

Введя новую переменную ;, определив первую производнуюи вторую производную, подставив их в формулу (6.20), будем иметь

, (6.21)

где - условная циклическая частота.

Имеем

. (6.22)

Из формулы (6.22) действительно следует, что при >0 решением этого уравнения является выражение вида

. (6.23)

Таким образом, условная циклическая частота равна

. (6.24)

Условный период

. (6.25)

Названия «условная циклическая частота» и «условный период» обусловлены тем, что затухающие электромагнитные колебания не являются строго периодическими, так как изменяющаяся функция не принимает через равные промежутки времени одинаковые значения.

Период собственных электромагнитных колебаний меньше условного периода затухающих колебаний T, т.е. наличие активного сопротивления R замедляет колебания.

Характеристиками затухающих электромагнитных колебаний являются: декремент и логарифмический декремент колебаний.

Декрементом затухания называют отношение двух последовательных значений q, отличающихся по времени на период:

. (6.26)

Логарифмический декремент численно равен натуральному логарифму от декремента затухания:

. (6.27)

Если коэффициент затухания  характеризует затухание колебаний за единицу времени, то логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период.

Анализ выражения для условного периода колебаний показывает, что при R0, _o²>>²; TT_o. При R T имеет смысл при условии (_o² - ²)>0. Если (_o² - ²) = 0, то T. В этом случае колебания быстро затухают. Такие колебания называют апериодическими. Можно показать, что условием возникновения апериодических колебаний является выражение

. (6.28)

Одной из характеристик колебательного контура является его добротность Q:

. (6.29)

где ;.

Тогда

. (6.30)

Зная добротность контура, можно судить об электромагнитных колебаниях, которые могут возникнуть в этом контуре.