- •«Вычислительная математика»
- •2. Погрешности арифметических операций. Правила оценки погрешностей.
- •Варианты задания №1.
- •Пример выполнения задания №1.
- •Варианты задания №2.
- •Пример выполнения задания №2.
- •Варианты задания №3.
- •Пример выполнения задания №3.
- •Варианты задания №4.
- •Пример выполнения задания №4.
- •Варианты задания №5.
- •Пример выполнения задания №5.
- •IV. Численное интегрирование.
- •Варианты задания №6.
- •Пример выполнения задания №6.
- •V. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Варианты задания №7
- •Пример выполнения задания №7.
- •Пример выполнения задания №8
- •VI. Решения нелинейных уравнений.
- •§3. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений. Пусть имеется следующая система нелинейных уравнений:
- •Варианты задания №9
- •Пример выполнения задания №9
- •VII. Нахождение минимума функций одной переменной.
- •2. Методы прямого поиска:
- •Варианты задания №10
- •Пример выполнения задания №10
- •VIII. Методы многомерной оптимизации
- •2. Необходимое и достаточное условия минимума функции многих переменных:
- •3. Основные методы безусловной многомерной минимизации:
- •Варианты задания №11
- •Примеры выполнения задания №11
- •IX. Обыкновенные диференциальные уравнения. Задача Коши.
- •Пример выполнения задания №12.
Пример выполнения задания №1.
Округляя (по дополнению) следующие числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных значений: а) 21,851, б) 0,505614.
До округления имеем числа a=21,851 и b=0,505614. После округления до трех значащих цифр получаем: a*=21,9 и b*=0,506.
Отсюда:
a=a-a*=0,049; b=b-b*=0,000386;
a=a/a=0,049/21,8510,0022;
b=b/b=0,000386/0,5056140,00076.
Найти произведения приближенных чисел и указать их погрешности (считая в исходных данных все знаки верными): -13,49*0,993
Так как в числе -13,49 все знаки верные и имеем четыре знака, то относительная погрешность этого числа равна (-13,49)=10-4.
В числе 0,993 три верных знака, следовательно его относительная погрешность равна (0,993)=10-3.
При умножении складываются предельные относительные погрешности. Следовательно, имеем:
(-13,49*0,993)=(13,49)+(0,993)=11*10-410-3.
Так как относительная погрешность равна 10-3, то в произведении оставляем три верных знака:
-13,49*0,993-13,4.
Для абсолютной погрешности имеем:
(-13,49*0,993)10-3*(-13,4)=0,0134.
Варианты задания №2.
Найти абсолютную и относительную погрешность функции многих переменных при заданных значениях аргументов и их погрешностях.
U(x,y)=cos3(0,3*x)-1,8*y2 при x=1 и y=2, если абсолютная погрешность аргументов равна 10-2.
2 U(x,y)=sin2(3*x)-ln(5*y2) при x=0 и y=1, если относительная погрешность аргументов равна 10-2.
3. U(x,y)=tg(8,7*x)/y2 при x=2 и y=0,5, если относительная погрешность аргументов равна 10-4.
4. U(x,y)=sin(4*x2)*y2 при x=0,4 и y=0,7; если абсолютная погрешность аргументов равна 10-3.
5. U(x,y)=(9*ln(x+y))/x1/2 при x=20 и y=15, если абсолютная погрешность аргументов равна 10-1.
6. U(x,y)=(arctg(x-y))/(x+y)2 при x=3; y=5; если относительная погрешность аргументов равна 10-3.
7. U(x,y)=5*(x-y)1/2+7*(y+x)2 при x=0,8 и y=3,5; если абсолютная погрешность аргументов равна 10-1.
8. U(x,y,z)=3*sin3(x+z)+7,6*cos2(y-z) при x=0,8; y=3,5 и z=0; если относительная погрешность аргументов равна 10-4.
9. U(x,y,z)=ln(x+z)/(6,6*(ey+x)) при x=2; y=4 и z=4; если абсолютная погрешность аргументов равна 10-2.
10. U(x,y,z)=3,4*ctg(y-x)*(x+z)1/3 при x=0; y=3 и z=0,7; если относительная погрешность аргументов равна 10-3.
11. U(x,y)=ln(x-y2)/(2*arcsin(x+y)) при x=1,2 и y=0; если относительная погрешность аргументов равна 10-3.
12. U(x,y)=5,5*(xx+y2)2 при x=0 и y=1; если относительная погрешность аргументов равна 10-2.
13. U(x,y)=tg(x2+y2)/(3*x) при x=0,5 и y=15; если абсолютная погрешность аргумента x равна 10-2, а аргумента y равна 10-1.
14. U(x,y)=sin2(x-y)/ln(x3+y) при x=4 и y=2; если относительная погрешность аргумента x равна 10-3, а аргумента y равна 10-4.
15. U(x,y)=7*(xy-yx)2 при x=0,1 и y=0,5; если абсолютная погрешность аргумента x равна 10-2, а аргумента y равна 10-1.
16. U(x,y,z)=1,5*(x+z)1/3*tg(y-z) при x=0; y=-2 и z=0,5; если абсолютные погрешности аргументов x и y равны 10-2, а аргумента z=10-3.
17. U(x,y,z)=8*cos3(y-z1/2)*(x+z) при x=-10; y=-8 и z=6; если относительные погрешности аргументов x и y равны 10-3, а аргумента z=10-2.
18. U(x,y,z)=4*ln(x+z)/(y3+z2) при x=0,6; y=3 и z=4; если относительные погрешности аргументов x и z равны 10-2, а аргумента y=10-3.
19. U(x,y,z)=3*ctg(x+z)/ex-y при x=0; y=0 и z=0,3; если абсолютные погрешности аргумента x равна 10-2, аргумента y равна 10-3, а аргумента z=2*10-3.
20. U(x,y,z)=2*xx+3*ln(y-zy) при x=0,5; y=2 и z=0,5; если относительные погрешности аргумента x равна 10-3, аргумента y равна 5*10-2, а аргумента z=5*10-3.
21. U(x,y)=cos3(x2)-1,4*y3 при x=2 и y=1, если абсолютная погрешность аргументов равна 10-3.
22. U(x,y)=sin3(x2)-ln(2*x2) при x=1 и y=0, если относительная погрешность аргументов равна 10-3.
23. U(x,y)=ctg(x4)/(y+x) при x=1 и y=2,5, если относительная погрешность аргументов равна 10-3.
24. U(x,y)=sin2(y*x2)*y2 при x=1 и y=3; если абсолютная погрешность аргументов равна 10-5.
25. U(x,y)=ln2(x+y)/x1/3 при x=10 и y=5, если абсолютная погрешность аргументов равна 10-3.
26. U(x,y)=(arcctg(x+y))/(x-y)2 при x=3; y=5; если относительная погрешность аргументов равна 10-3.
27. U(x,y)=x*(x-y)1/2+7*(y+x)2 при x=0,8 и y=0,5; если абсолютная погрешность аргументов равна 10-3.
28. U(x,y,z)=cos3(x-z)+cos2(y-z) при x=2,5; y=3 и z=1; если относительная погрешность аргументов равна 10-2.
29. U(x,y,z)=ln(x+z)/(z*(ey+x)) при x=0.5; y=0.44 и z=1,2; если абсолютная погрешность аргументов равна 10-3.
30. U(x,y,z)=4*tg(y+x)*(x-z)1/3 при x=0,5; y=1 и z=2; если относительная погрешность аргументов равна 10-4.
31. U(x,y)=ln2(x+y2)/(2*arccos(x+y)) при x=2 и y=0,5; если относительная погрешность аргументов равна 10-2.
32. U(x,y)=y*(xx-y)3 при x=0,8 и y=2,7; если относительная погрешность аргументов равна 10-4.
33. U(x,y)=ctg(x3+y3)/(2*x) при x=1,5 и y=1,5; если абсолютная погрешность аргумента x равна 10-4, а аргумента y равна 10-2.
34. U(x,y)=ln(x-y)/ln(x2+y) при x=2 и y=0,5; если относительная погрешность аргумента x равна 10-2, а аргумента y равна 10-3.
35. U(x,y)=2*(xy+yx)3 при x=0,5 и y=0,1; если абсолютная погрешность аргумента x равна 10-3, а аргумента y равна 10-2.
36. U(x,y,z)=2,5*(x-z)1/4*ctg(y+z) при x=0,5; y=-1 и z=-1,5; если абсолютные погрешности аргументов x и y равны 10-3, а аргумента z=10-2.
37. U(x,y,z)=15*sin4(y+z1/2)*(x+z2) при x=1; y=-1 и z=-3; если относительные погрешности аргументов x и y равны 10-2, а аргумента z=10-3.
38. U(x,y,z)=2*ln2(x+z)/(y3-z2) при x=0,2; y=2 и z=3; если относительные погрешности аргументов x и z равны 10-3, а аргумента y=10-4.
39. U(x,y,z)=tg(x+z3)/ex-y при x=0,5; y=0,5 и z=0,9; если абсолютные погрешности аргумента x равна 10-3, аргумента y равна 10-3, а аргумента z=2*10-2.
40. U(x,y,z)=2*yx+ln3(y+zx) при x=5; y=0,3 и z=1; если относительные погрешности аргумента x равна 10-4, аргумента y равна 5*10-4, а аргумента z=2*10-3.