- •Глава 12. Функциональные ряды
- •12.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •11.2. Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •11.3. Степенные ряды
- •11.4. Ряд Тейлора
- •11.5. Тригонометрические ряды Фурье
- •11.6. Свойства коэффициентов Фурье
- •11.7. Сходимость ряда Фурье
- •11.8. Тригонометрические ряды в комплексной форме
- •11.9. Интеграл Фурье
- •11.10. Контрольные вопросы
- •11.11. Задачи для самостоятельного решения.
11.2. Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
Теорема 4.(о перестановочности предельного перехода и суммирования).
а) Пусть выполняются условия:
1) последовательность равномерно сходится к функциина множестве;
2) – предельная точка множества;
3) существуют пределы.
Тогда последовательность сходится и
. (4)
б) Пусть выполняются условия:
1) ряд равномерно сходится кна;
2) – предельная точка множества;
3) существуют пределы .
Тогда ряд – сходится, причем
. (5)
Доказательство выполним только для последовательности. Покажем, что последовательность сходится. Т.к.сходится равномерно на, то в силу критерия Коши (теорема 1) длятакие, чтоивыполняется. Переходя к пределу в неравенстве при, так как, получим, т.е. последовательность фундаментальная, а это означает, что она сходится.
Докажем справедливость формулы (4). Возьмем . В силу равномерной сходимостидлятакое, чтоивыполняется
. (6)
Так как , то длявыполняется
. (7)
Возьмем . Для этогоN справедливы неравенства (6) и (7). Так как , то, что выполнится
при . (8)
Тогда будем иметь из (6) – (8):
,
т.е.
Замечание. Поскольку ,, то (4) можно записать
.
Таким образом, в случае равномерной сходимости и при существовании , порядок взятия предела можно изменять.
Аналогично для функциональных рядов имеем
.
Таким образом, если ряд равномерно сходится на множестве и существуют пределы, то операции предельного перехода и суммирования перестановочны.
Теорема 5. (о непрерывности предельной функции и суммы ряда).
а) Пусть последовательность непрерывных на отрезкефункций равномерно сходится кна, тогда ее пределтакже непрерывная на [a, b] функция.
б) Пусть все члены ряда непрерывные нафункции, а сам ряд сходится равномерно на, тогда его сумматакже непрерывна на
Доказательство для рядов. Пусть . Надо доказать, чтонепрерывна для. Возьмеми найдем пределв этой точке. Используя предыдущую теорему, получим
.
Аналогично для последовательности.
Если последовательность непрерывных функций (ряд) сходится неравномерно, то ее предел (сумма ряда) может быть разрывной функцией.
Пример 11. на отрезке.
Решение. Члены ряда непрерывны наи.
,
т.е. получили, что – разрывная в точках.
Теорема 6. (о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов).
а) Пусть задана последовательность , удовлетворяющая следующим условиям:
1) дифференцируема надля;
2) последовательность сходится при некотором;
3) последовательность равномерно сходится на.
Тогда последовательность равномерно сходится на отрезкек некоторой функциии (), причем
, . (9)
б) Пусть ряд удовлетворяет следующим условиям:
1) длядифференцируема на;
2) ряд сходится при некотором;
3) ряд сходится равномерно на.
Тогда ряд сходится равномерно нак некоторой функции, т.е., и причем
.
Доказательство приведем для последовательности. Покажем, что и сходится равномерно на. Используем критерий Коши. Пустьи. Из очевидного тождества
для
получим следующее неравенство
, .
Возьмем произвольное . Т.к. последовательностьсходится равномерно на, то, что при всехи длявыполнится
.
Так как сходится, то, что длявыполняется
.
Тогда получаем
для и, следовательно, в силу критерия Коши, последовательностьравномерно сходится нак.
Докажем равенство (9). Пусть – произвольная точка. Рассмотрим последовательностьопределенную на множествеи докажем, что она сходится равномерно. Рассмотрим. Применим кформулу Лагранжаили
.
Тогда
,
т.к. последовательность сходится равномерно.
Таким образом, для , что выполняетсядляив силу равномерной сходимости. Откуда следует, что последовательностьсходится равномерно на, причем
.
.
.
Поэтому , и по определению производной выполняется.
Тогда по теореме 1 последовательность сходится, причем. Так какпроизвольная точка, то теорема доказана.<
Таким образом, при выполнении условий теоремы операции предельного перехода и дифференцирования, а также суммирование и дифференцирование перестановочны.
Отметим, что если в теореме отбросить условие равномерной сходимости на, то теорема неверна.
Теорема 7. (об интегрировании функциональных последовательностей и рядов).
а) Пусть последовательность равномерно сходится к некоторой функциина отрезке, причем каждаяимеет первообразную на. Тогда
.
б) Пусть ряд равномерно сходится на отрезке, причем каждая из функцийимеет первообразную на. Тогда рядсходится равномерно на, причем
, (9)
т.е. ряд можно почленно интегрировать.
Докажем теорему для последовательностей. Положим,. Тогдапричем
1) – дифференцируемая функция;
2) последовательность – сходится;
3) последовательность сходится равномерно на.
Следовательно, последовательность по предыдущей теореме сходится равномерно нак некоторой функциипричем
.
Отсюда следует, что
.
Таким образом, прина.
Подставляя , получаем, что.<
Пример 12. Рассмотрим ряд . Он равномерно сходится на,по признаку Вейерштрасса. Тогда его можно почленно интегрировать. Получим:
.
Так как любое число из (0, 1), то представление справедливо. Таким образом, можно приближенно вычислить логарифмы.