- •Лекция № 1 Место и роль дисциплины в общеобразовательной структуре
- •Алгебра случайных событий
- •Понятие вероятности случайного события.
- •Лекция №2 Статистическая устойчивость вероятности события.
- •Аксиоматическое определение вероятности (по Колмагорову).
- •Элементарные теоремы теории вероятности.
- •Теорема вероятности полной группы событий.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Лекция № 3. Теорема о полной вероятности
- •(Схема независимых последовательных испытаний длиной n)
- •Биноминальное распределение (1) случайной величины
- •Геометрическая вероятность случайного события
- •Лекция №4 Полиномиальное распределение (схемы)
- •Ассимтотические приближения биноминального распределения (для схемы Бернулли)
- •3Способа аппроксимации данной формулы:
- •Лекция №5 Случайная величина
- •Функция распределения для непрерывной случайной величины
- •Лекция №6 Числовые характеристики случайной величины
- •Моментные характеристики
- •Центрированные моменты Центральные моменты
- •Дисперсия для непрерывной случайной величины
- •Лекция № 7
- •Примеры распределения случайной величины.
- •Лекция № 8
- •Лекция № 9
- •Лекция № 10
- •Лекция № 11 Теорема числовых характеристик
- •Лекция № 12 Центральные предельные теоремы
- •Случайные процессы
- •Свойства случайного процесса
- •Лекция № 13
- •Лекция № 14 Разложение апериодических случайных процессов.
- •Спектральная плотность случайного процесса.
- •Лекция № 15
- •Лекция № 16
- •Основные задачи математической статистики
- •Лекция №17 Задача оценивания параметров распределения Формальная постановка задачи
- •Лекция №18 Представление об интервальных оценках
- •Лекция 19 Логическая схема проведения испытаний статистической гипотезы.
- •Лекция № 20 Корреляционный и регрессионный анализ
- •Лекция № 21 Анализ временных рядов
Центрированные моменты Центральные моменты
Необходимо ввести понятие центральной случайной величины. Таковой будем называть следующую случайную величину:
X = X – M[X];
где X – центр случайной величины,
M[X] – мат. ожидание.
Это величина приведенная к центру, она рассчитана относительно центра.
К-й центральный момент случайной величины х по определению можно определить: 0 n
αк = M[ Xk] = ∑ xik p(xi)
0 i=1
xi = xi - M[X]
Перепишем в следующем виде:
0 n n
αк = M[ Xk] = ∑ xik p(xi) = ∑ (xi – mx)k p(xi)
i=1 i=1
В первом случае к менялось. Необходимо получить простой образ этого числа. Рассматриваем методологию, ведущую к упрощению.
n
Если к = 1, то ∑ (xi – mx)1 p(xi) = 0.
i=1
Если сумму представить как разность двух сумм, то получим два мат. ожидания с разными числами, и его можно будет вынести за скобку.
Если к = 2, то скобка не равна нулю.
n
α2 = D[X]= ∑ (xi – mx)2 p(xi)
i=1
p(xi) – признак усреднения, вес
Второй центральный момент и называется дисперсией случайной величины. Смысл: нужно представить, что каждая реализация xi сравнивается с центром математического ожидания. Это сравнение называют ожиданием.
xi M[X]
Дисперсия случайной величины характеризует среднее расстояние реализации случайной величины от своего центра (мат. ожидания). Две моментные характеристики, которые получили наибольшее распространение это: мат. ожидание и дисперсия, выступающая в качестве разброса реализации от своего центра.
Дисперсия для непрерывной случайной величины
a
D[X] = ∫ (x – M[X])2 f(x) dx
b
= σ – среднеквадратическое отклонение.
Моменты позволяют получить сведения о случайной величине, как разбросана случайная величина относительно центра.
Коэффициент ассиметрии позволяет получить сведения о таких особенностях.
f(x)
ассиметричное распределение
М[x] x
симметрично относительно математического ожидания
Ка = α3/ σ3 - третий центральный момент; значение коэффициента ассиметрии для случайной величины, распределенное по нормальному значению, т.е. все распределения ранжируются относительно нормального распределения.
Степень 3, если распределение ассиметрично число случаев, когда одни и те же реализации xi движутся относительно мат. ожидания будут разные, следовательно, интервал отличный от нуля. При нечетном порядке число отрицательных слагаемых в формуле для определения центрального момента будет совпадать с числом положительных слагаемых.
Лекция № 7
- математическое ожидание для дискретной случайной величины
Дисперсия -
среднеквадратическое отклонение
Коэффициент ассиметрии
Коэффициент эксцесса