- •13 В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.
- •Волновое число
- •22. Дифракционную решетку — систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками
- •Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме:
- •42 Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 к:
- •Свободная энергия Гельмгольца
- •Три закона внешнего фотоэффекта.
- •59 Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты u и ширины l можем записать
- •60 Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера учитывающему значение
- •Перечислим основные свойства ядерных сил:
- •68 Обнаруженное излучение было названо радиоактивным излучением, а само явление — испускание радиоактивного излучения — радиоактивностью.
- •Ядерные реакции классифицируются по следующим признакам:
1. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, 0 — круговая (циклическая) частота, — начальная фаза колебания в момент времени t=0, (0t+) — фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2, т. е.
Откуда Величина, обратная периоду колебаний, т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Получим
Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.
2 Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида
Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники,
колебательный контур
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна
или
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна
или
Сложив получим формулу для полной энергии:
3 Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.
4. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела
Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.
5 Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, =const — коэффициент затухания, 0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при =0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.
6 колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.
В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания.Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре. что заряд Q совершает гармонические колебания по закону где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой 0, называемой собственной частотой контура, т. е.и периодом называется формулой Томсона
7 Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации. =const — коэффициент затухания
— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна
(так как затухание мало (), то T принято равным Т0).
Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в
контуре (при R0) имеет вид принимая коэффициент затухания дифференциальное уравнение можно записать в виде
Логарифмический декремент затухания определяется формулой а добротность колебательного контура
8 Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим).
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.
Уравнения можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).
9 Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s=A cos (0t+). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью 0 вокруг этой точки.
10 Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды Построим векторные диаграммы этих колебаний Tax как векторы A1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью 0, то разность фаз (2—1) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет
В выражении амплитуда А и начальная фаза соответственно задаются соотношениями
Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (2—1) складываемых колебаний.
11. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем
где — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений параметра t. Записывая складываемые колебания в виде и заменяя во втором уравнении cost на х/А и sint на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:
Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.
Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз . Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:
1) = m(m=0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой
где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т а знак минус — нечетным значениям т Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой и амплитудой , совершающимся вдоль прямой составляющей с осью х угол =arctg. В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;
2) = (2m+1)(m=0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид
Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам Кроме того, если А=В, то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.
Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.
12. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны и +, причем <<. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе /2<<, найдем
Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда Аб, которого изменяется по следующему периодическому закону:
Частота изменения Аб в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: Период биений
13 В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.
Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.
или, учитывая, что T= 1/, где — частота колебаний,
Волновое число
Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.
Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.
14. Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Продольные волны могут возбуждаться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут возбуждаться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. в твердых телах; в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.
15 \
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.
В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
16 Существование электромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью
Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (или длин волн =c/, где с — скорость электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от друга по способам их генерации и регистрации, а также по своим свойствам. Поэтому электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновское и -излучения Следует отметить, что границы между различными видами электромагнитных волн довольно условны.
где — оператор Лапласа, v — фазовая скорость.
Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление. Давление электромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля волны действию сил Лоренца. Однако значение этого давления ничтожно мало.
Существование давления электромагнитных воли приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс. Импульс электромагнитного поля где W — энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как р=тс (поле в вакууме распространяется со скоростью с), получим р=тс= W/c, откуда
Это соотношение между массой и энергией электромагнитного поля является универсальным законом природы Согласно специальной теории относительности, выражение имеет общее значение и справедливо для любых тел независимо от их внутреннего строения
Уравнениям удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями
где E0 и Н0 — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны, — круговая частота волны, k=/v — волновое число, — начальные фазы колебаний в точках с координатой х=0. В уравнениях и одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковых фазах.
Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д.
Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах причем мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением
Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны
17 Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направления: х1=А1 cos( t + 1) и x2 = A2 cos( t + 2). то = ±2т, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, является условием интерференционного максимума. Если оптическая разность хода то = ±2(т+1), и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, является условием интерференционного минимума.
18 В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленка на металлах), возникающее в результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки.
Интерференция, как известно, наблюдается, только если удвоенная толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.
19 Особым случаем интерференции являются стоячее волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих воли, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.
Тогда соответственно уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, будут иметь вид
Сложив эти уравнения и учитывая, что k=2v/X получим уравнение стоячей волны:
Из уравнения стоячей волны вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты с амплитудой Aст=|2А cos (2х/)|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.
В точках среды, где амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (Аст=2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (Aст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.
Из выражений и получим соответственно координаты пучностей и узлов:
20. Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики.
Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.
Найдем в произвольной точке М амплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 257). Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта волны, идущей из S (поверхность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на /2, т. е. Р1М – Р0М = Р2М – Р1М = Р3М – Р2М = ... = /2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами b + , b + 2, b + 3, ... . Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на /2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М
где А1, А2, ... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, ..., т-й зонами.
21 Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным т.
Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска. В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна
Или так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.
Дифракция Фраунгофера, имеющая большое практическое значение, наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.