Физика(II семестр) -Лекция2

1

Лекция 2 Статистическая физика. Распределения Максвелла и Больцмана

Вероятность. Средние значения Статистическая физика – это раздел физики, в котором изучают

свойства макросистем, исходя из индивидуальных свойств составляющих макросистему частиц и взаимодействий между ними. Описание движения каждой частицы макросистемы (а их порядка 1022 1023) – задача совершенно немыслимая. Вместо этого статистическая физика оперирует со средними значениями параметров очень большого числа частиц. Колоссальное число частиц в макросистеме приводит, несмотря на очевидный хаос, к появлению новых, статистических закономерностей. Их изучение и делает возможным описание макросистем на основе сведений о свойствах отдельных частиц системы.

О вероятности. Основу статистической физики составляет теория вероятностей. Вероятность интересующего нас события характеризуется кратностью его повторения. Если в N случаях i-е событие происходит Ni

Так как на практике N всегда конечно, то для вычисления вероятности стараются, чтобы N и Ni были достаточно большими. Тогда можно считать, что

Ясно, что сумма вероятностей всех возможных результатов измерений равна единице:

Теперь обратимся к вычислению вероятностей сложных событий. Рассмотрим две основные теоремы: о сложении и умножении вероятностей. Проще всего это понять с помощью игрального кубика.

1. Теорема о сложении вероятностей заключается в том, что вероятность того, что в результате N бросаний кубика выпадет i или k, равна

2. Теорема об умножении вероятностей. Найдем вероятность того, что при двух бросаниях кубика выпадет последовательно i и k (или наоборот). Рассмотрим N двойных бросаний. Пусть первый кубик из каждой пары бросков дал i в Ni случаях (так что Pi Ni / N ). Теперь выделим из этих

Средние значения случайных величин. Зная вероятности появления различных результатов измерения дискретной величины х, можно найти их

3

где интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х. Из этого условия следует, что вся площадь под кривой f (x) равна единице (см. рис.11.1). Заметим, что (11.10) является аналогом

формулы (11.3).

Средние значения. Среднее значение величины х можно найти, зная ее нормированную на единицу функцию распределения f (x) . Обратимся к

формуле (11.6). Она справедлива и для случая, когда интервал изменения величины х будет разбит на небольшие участки. Уменьшая участки, мы должны, в конце концов, заменить Pi на dP и Σ – на интеграл. Тогда

где интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений х. Аналогичные формулы справедливы для любой функции f (x) , на-

пример

x2 x2 f (x)dx .

Флуктуации. Вероятность случайного события и экспериментально наблюдаемая доля результатов, когда событие осуществляется, – это не одно и то же. Последняя (доля результатов) испытывает случайные отклонения от предсказываемой вероятности. Именно такого рода отклонения происходят в любых макросистемах. Эти отклонения и обусловливают флуктуации.

Согласно теории вероятности, с увеличением числа N испытаний от-

носительная флуктуация любой величины уменьшается по закону 1/ N . Именно грандиозность числа N молекул и объясняет, почему макроскопические законы, получаемые на основе статистических представлений о движении частиц макросистемы, оказываются точными.

В дальнейшем мы часто будем использовать понятие бесконечно малого объема dV макросистемы. Под этим будет пониматься такой объем, размеры которого ничтожны по сравнению с размерами самой макросистемы, но все же намного превосходящие характерный размер ее микростроения. Каждая бесконечно малая область, предполагается, содержит число частиц dN настолько большое, что относительной флуктуацией их можно пренебречь.

Распределение Максвелла. Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, был найден Максвеллом (1859). Ход его рассуждений довольно сложен и полностью приводить его мы не будем, а ограничимся в основном рассмотрением подхода к решению этой проблемы, а также физического смысла закона Максвелла и некоторых его следствий.

Следуя Максвеллу, представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций vx , vy , vz , отдельных молекул. Тогда скорости каждой мо-

лекулы будет соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора

4

v. Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом равновесии.

Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости v (но не от v).

Итак, пусть макросистема (газ) содержит N молекул. Выделим в некоторой точке – конце вектора v – малый объем dvxdvydvz ; (рис.11.2, где

ось vz , направлена на нас). Относительное число точек (молекул) в этом

объеме, или другими словами, вероятность у того, что скорость молекулы, т.е. конец вектора v, попадет в этот объем, можно записать так:

молекул (точек) в тонком плоском слое от vx , v+ dvx .

Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах vx , v+ dvx , vy , v+ dv y и vz , v+ dvz являются независимыми (это

было доказано), поэтому в соответствии с теоремой об умножения вероятностей независимых событий можно записать

Из соображения равноправия осей vx , vy и vz , ясно, что функции

должны одинаковым образом зависеть от соответствующих проекций скоростей. Сопоставив (11.14) с (11.12), находим

аналогичный вид имеют функции (vy ) и (vz ) тогда согласно (11.15)

6

Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по

смысла не имеет.

Следует отметить, что полученные Максвеллом распределения по скоростям не зависят ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества.

Характерные скорости. К ним относятся три скорости: наиболее вероятная vвер средняя <v> и среднеквадратичная vкв .

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения F (v) . Эта скорость определяется из условия dF / dv 0 , от-

Этот результат можно получить и без интегрирования, а как следствие формулы (10.31).

Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции

vвер / v / vкв 1/1.13/1.22 .

Качественно это показано на рис.11.5.

Зависимость распределения от T . Подставив значение vвер из (11.22) в формулу (11.20), получим, что

7

единице. Кривые на рис.11.6 можно рассматривать и иначе – как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем m1 m2 m3 .

Формула Максвелла в приведенном виде. Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать скорости v молекул в относительных единицах – единицах наиболее вероятной скорости vвер . Тогда относительная

скорость молекулы

При переходе к новой переменной учтем, что должно выполняться равенство

F(u)du=F(v)dv .

Отсюда F(u)=F(v) dvdu . Заменив в правой части этого равенства v

В таком виде распределение Максвелла является универсальным: оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Распределение по энергиям молекул. Имеется в виду функция распределения по кинетическим энергиям поступательного движения. Обо-

значив эту функцию через Ф( ) , где mv2 / 2 , воспользуемся, как обыч-

Меняя угловую скорость или угол между радиальными щеля-

ми, можно выделить из пучка молекулы разных скоростей. Улавливая детектором эти молекулы в течение одинакового времени, можно найти их относительное количество в пучке.

В другом опыте левая часть установки (V, К на рис.2.8, а), формирующая параллельный пучок молекул, остается той же. Но селектор C и детектор D совмещены во вращающемся цилиндре со щелью S (см. рис. 11.8, б). Когда щель S попадает в падающий пучок C, через нее в цилиндр входит порция молекул. Молекулы с равными скоростями достигают противоположной стенки цилиндра с различным запаздыванием по отношению к моменту прохождения щели S пучком P и поэтому попадают на различные участки противоположной стенки цилиндра. Измерив, степень почернения различных участков D, можно определить распределение молекул в пучке по скоростям.

Разумеется, все эти опыты проводились в условиях высокого вакуума и, кроме того, с учетом различия распределения молекул по скоростям и в пучке и в объеме V.

Результаты этих и других опытов оказались в полном согласии с законом распределения, установленным Максвеллом.

Распределение Больцмана. В отсутствие внешних сил средняя концентрация n молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуация становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находящегося под действием силы тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается некоторое равновесие, и концентрация молекул становится зависящей от высоты. Как? Это и предстоит нам выяснить.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных (консервативных) сил, действующих для простоты в одном направлении и зависящих только от координаты z. При тепловом равновесии температура Т должна быть одинакова по всей толщине газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.