Мет. указ. к КР

В случае, если полученное значение mне удовлетворяет заданным требованиям, необходимо изменить значения f2, f3 и повторить расчет.

Далее для выбранного порядка фильтра m находят полюсы передаточной функции НЧ-прототипа по формулам:

Определим полюсы передаточной функции аналогового полосового фильтра по известным полюсам НЧ-прототипа. Для этого воспользуемся соотношением:

Одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции аналогового полосового фильтра. Одному вещественному полюсу НЧ-прототипа соответствует одна пара комплексно -сопряженных полюсов Н р аналогового полосового фильтра.

На втором этапе формируют передаточную функцию аналогового полосового фильтра в виде произведения сомножителей второго порядка:

Каждый сомножитель соответствует одной паре комплексносопряженных полюсов. Коэффициенты числителя и знаменателя определяются из следующих соотношений:

где bi 2 i ; b0i i2 i2.

i и i - действительная и мнимая части i-го полюса передаточной функции ПФ.

В результате найдена денормированная передаточная функция аналогового полосового фильтра.

21

Перейдем от передаточной функции аналогового полосового фильтра к передаточной функции дискретного полосового фильтра. Переменные р и z связаны между собой билинейным преобразованием:

где Т – период дискретизации.

Применение данного преобразования приводит к искажению частотных характеристик аналогового фильтра. Для исключения таких искажений существуют методы, изучаемые в курсе ЦОС.

Для уменьшения искажений в наших расчетах воспользуемся формулой:

где определяется из условия совпадения центральных частот аналогового и дискретного полосовых фильтров:

где f0 - центральная частота полосы пропускания, fд - частота дискретизации.

Для того, чтобы получить передаточную функцию полосового БИХфильтра, подставим формулу 2.40 в выражение 2.37, в результате получим выражение вида:

Каждый сомножитель передаточной функции реализуется в виде дискретной канонической рекурсивной схемы второго порядка. Звенья соединяются каскадно.

Расчет фильтра заканчивается построением его полной схемы с указанием значений элементов и расчетом его частотных характеристик. К частотным характеристикам относятся комплексная частотная характеристика фильтра, а также зависимость ослабления от частоты. Расчет той и другой характеристик

22

производится на основе передаточной функции H z путем замены z ej T .

При этом вначале на выбранных частотах рассчитывают H j отдельных звеньев, а затем всего фильтра, используя соотношение:

Так как частотная характеристика дискретной цепи – функция периодическая, ее достаточно рассчитать в диапазоне частот 0 д .

Для дальнейшего расчета сигнала на выходе фильтра число расчетных точек H j должно совпасть с числом отсчетов дискретного сигнала на периоде.

В число расчетных частот необходимо включить граничные частоты полос пропускания и непропускания.

ПРИМЕР РАСЧЕТА: Требуется рассчитать БИХ-фильтр для выделения второй гармоники при частоте генерируемых колебаний 10 кГц, Неравномерность ослабления в ПП А 1дБ , минимально допустимое ослабление в ПН Amin 20дБ (рис. 2.13), порядок НЧ-прототипа равен m 2, период дискретизации Т 6,25мкс.

Частота 2-ой гармоники равна 20 кГц, следовательно, 0= 20 кГц. Выберем границу полосы пропускания f2 21,025кГц и границу полосы не-

Определим требования к НЧ-прототипу:

Определим порядок фильтра Баттерворта по формуле 2.34.

23

При округлении в большую сторону до целого числа m 2. Полученный порядок фильтра удовлетворяет требованиям, можно продолжать расчет.

Запишем выражение для квадрата АЧХ передаточной функции:

где 2 f2 f2 2 21025 19025 12566,37рад/с;

02 2 f0 2 4 104 2 1,5791 1010 радс 2 .

Полученные значения полюсов удобно представить в виде таблицы.

Таблица 2.8 – Значения полюсов аналогового полосового фильтра

Передаточная функция ПФ может быть записана в виде произведения двух сомножителей второго порядка

Коэффициенты при р в знаменателях сомножителей bi 2 i ,а свободные члены b0i i2 i2. Их значения сведем в таблицу 2.9.

24

Таблица 2.9 – Значения коэффициентов передаточной функции аналогового полосового фильтра

Передаточная функция БИХ-фильтра может быть записана в виде произведения постоянного сомножителя и двух сомножителей второго порядка:

Передаточная функция искомого БИХ-фильтра с учетом полученного значения коэффициента имеет вид:

схема реализуется каскадным соединением умножителя и двух рекурсивных звеньев второго порядка. Схема БИХ-фильтра приведена на рисунке 2.11

25

Комплексную частотную характеристику БИХ-фильтра получим из пере-

Результаты расчета частотной характеристики фильтра приведены в таблице

2.11.

Рис. 2.14 – Схема БИХ-фильтра

Таблица 2.11 – Результаты расчета частотной характеристики фильтра

26

По результатам расчета построим график АЧХ цепи.

H f

1

Рисунок. 2.15 АЧХ полосового БИХ-фильтра.

В результате получена характеристика полосового фильтра с периодом повторения, равным частоте дискретизации.

Ослабление фильтра связано с частотной характеристикой выражением:

1

A 20lg H j .

В силу нелинейности преобразования 2.40 границы полосы пропускания и полосы непропускания дискретного БИХ-фильтра не будут совпадать с соответствующими значениями аналогового фильтра. Найдем их из соотношения

Где а- частота аналогового фильтра, fц - частота цифрового фильтра.

Определим ослабление в диапазоне частот f3ц f3ц , результаты запишем в таблицу 2.12.

27

Таблица 2.12 – Результаты расчета ослабления фильтра

По результатам расчета построим графики АЧХ и ослабления цепи.

H f

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

16 18 20 22 24 f ,кГц

Рисунок 2.15 – График АЧХ БИХ-фильтра в диапазоне частот f3ц f3ц

28

Таблица 2.13 – Результаты расчета спектра сигнала на выходе БИХ-фильтра.

Применим к полученным значениям U2 jk 1 ОДПФ, в результате получим отсчеты дискретного сигнала на выходе БИХ-фильтра.

Результаты расчетов представим в виде таблицы 2.14 Таблица 2.14 – Отсчеты дискретного сигнала на выходе БИХ-фильтра.

30