4. Определение корреляционной функции сигнала

Требуется: для случайного сигнала с заданным энергетическим спектром W(), вид которого представлен на рис. 8, определить:

а) корреляционную функцию K();

б) эффективную ширину спектра;

в) интервал корреляции

W₀=0.1 Вт/Гц, =10000 рад/с

а) Нахождение корреляционной функции K();

Задача решается на основе теоремы Хинчина-Винера, устанавливающей связь между энергетическим спектром случайного сигнала и его корреляционной функцией:

(4.1)

(4.2) Нам дано:

 W₀   при 0    ,

W()= 

 0 при   .

Используем табличный интеграл (4.3)

и формулу (4.2) находим корреляционную функцию:

Строим графики B() иW():

Рис 4.1 Энергетический спектр случайного сигнала

Рис 4.2 Корреляционная функция случайного сигнала

б) Вычисление эффективной ширины спектра;

Эффективная ширина спектра определяется как ширина равномерного в полосе частот энергетического спектра эквивалентного данному по средней мощности.

(4.4)

По формулу (4.4) имеем:

в) Вычисление интервала корреляции;

Интервал корреляции – такая величина, при котором еще сохраняется статистическая связь между значениями случайного процесса.

(4.5)

Чтобы вычислить , необходимо вычислить B(0). По графику (4.2) видим, что. Преобразовав функцию корреляции используя алгебраические, тригонометрические преобразования и свойство первого замечательного предела припроверим графический метод:

Интеграл не удалось вычислить ни в ручную, ни пакетами программ Mathcad 14, MathLab 7.0, Advanced Grapher, SMathStudio, которые хоть и помогли, но результаты получались совершенно неприемлемые.

Попробуем вычислить графическим путем, используя свойство (4.6) и инструмент «трассировка» по графикув математических пакетах Mathcad 14 и Advanced Grapher.

(4.6)

Возьмем

По графику смотрим чему равно на первой положительной «полуволне»

Рис 4.3 Корреляционная функция случайного сигнала в увеличенном виде и окно трассировки.

Видим, что значение t_k при B(t_k)=1.6 равно: t_k≈6.34 ∙ 10^-4 c

Произведение эффективной ширины спектра и интервала корреляции должно равняться . Формула (4.7)

t_k≈6.34 ∙ 10^-4 c

(5.9)

Подставим:

6.34 ∙ 10^-4 c = 3.17 ≈ π

Условие (5.9) выполняется.

5. Нелинейное преобразование сигналов.

Требуется определить плотность распределения вероятностей w(y) процесса на выходе цепи y(t), его математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Стационарный гауссовский случайный процесс u(t) с заданными параметрами m(t) и (t) воздействует на безынерционную нелинейную цепь с характеристикой:

y= a₂  x² при -∞ < x < ∞, a₂=1

Рис 5.1 Характеристика безынерционного нелинейного устройства

Дан стационарный гауссовский случайный процесс u(t) с параметрами и.

Рис 5.2 Стационарный гауссовский случайный процесс u(t)

Плотность распределения вероятности процесса на выходе нелинейной безынерционной цепи (НБЦ) связан с плотностью распределения процесса на входе следующим выражением:

(5.1)

Найдем обратную функцию, ее производную и подставим в формулу(5.1):

Последнее выражение получилось потому, что функция неоднозначна.

Так как процесс на входе нелинейной безынерционной цепи является гауссовским случайным процессом с математическим ожиданием равным нулю (по условию m_x(t) = 0 B) (5.2), то его плотность распределения вероятностей определяется по следующей формуле:

(5.2)

Рис 5.3 Плотность вероятности случайного процесса с заданными

числовыми характеристиками

Подставим численные значения и построим графики выходных процессов.

Рис 5.4 Плотность вероятности сигнала на выходе НБЦ

Рис 5.5 Процесс на выходе НБЦ

Определим числовые характеристики сигнала на выходе НБЦ

Используя пакет MathCad вычисляем математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение по формулам (3.5), (3.6), (3.7) при условии, что a₂=1, =0.25 В:

D=²-()² = 0.054 – 0.206² = 0.012 В

σ ==≈0.11 В

Рис 5.6 Процесс прохождения случайного процесса через нелинейную

безынерционную цепь.