3.2. Плоскость в пространстве. Угол между плоскостями, условие парал­лельности и перпендикулярности плоскостей.

Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, ортогональный этой плоскости.

Направляющим вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, лежащий в этой плоскости или в параллельной плоскости

1) Общее уравнение

Ax+By+Cz+D=0

2) Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали.

L:Ax+By+Cz+D=0

M0(x0,y0,z0) принадлежит L → Ax0+By0+Cz0+D=0

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

n*τ=0

3) Векторное уравнение плоскости

n*τ=0 – векторное уравнение плоскости

n={A,B,C}

4) Уравнение плоскости проходящей через 3и заданные точки.

M1(x1,y1,z1)

M2(x2,y2,z2)

M3(x3,y3,z3)

M(x,y,z) принадлежит L

Построим 3 вектора:

М1М={x-x1,y-y1,z-z1}

M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}

M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1}

M1M,M1M2,M1M3 принадлежат L → (M1M x M1M2)*M1M3=0 (компланарность) → |x-x1 y-y1 z-z1|

|x2-x1 y2-y1 z2-z1| =0 (4)

|x3-x1 y3-y1 z3-z1|

5) Уравнение плоскости в отрезках

Ax+By+Cz+D=0 → Ax+By+Cz=-D

x/(-D/A)+y/(-D/B)+z/(-D/C)=1; a=-D/A; b=-D/B; c=-D/C

x/a+y/b+z/c=1 (5)

6) Угол меду плоскостями

L1:A1x+B1y+C1z+D1=0

L2:A2x+B2y+C2z+D2=0

n1={A1,B1,C1} n2={A2,B2,C2}

cosφ=(n1*n2)/(|n1|*|n2|)=(A1A2+B1*B2+C1*C2)/(√(A²1+B²1+C²1)* √(A²2+B²2+C²2) (6)

Условие параллельности и перпендикулярности

Условие параллельности плоскостей Р1 и Р2:

n1||n2 → A1/A2=B1/B2=C1/C2

Условие перпендикулярности плоскостей Р1 и Р2:

n1 |_ n2 → n1*n2=0 или A1A2+B1B2+C1C2=0

Отклонение точки от плоскости:

Отклонение точки от плоскости измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на плоскость.

Пусть М(x,y,z) – текущая точка плоскости, n={A,B,C} – ее нормальный вектор. Составим вектор ММ1={x1-x,y1-y,z1-z} Очевидно, что отклонение точки М1 от плоскости Р измеряется по перпендикуляру к плоскости:

d=пр_nMM1=n*MM1/|n|

Найдем отклонение в координатной форме. Для этого раскроем числитель и знаменатель последнего выражения:

d=(A(x1-x)+B(y1-y)+C(z1-z)/√A²+B²+C²=(Ax1+By1+Cz1-(Ax+By+Cz))/ (√A²+B²+C²)

Прибавим и отнимем: D:d=(Ax1+By1+Cz1+D-(Ax+By+Cz+D))/ (√A²+B²+C²)

Выражение в скобках равно нулю по условию. Получаем формулу для отклонения от плоскости:

d=(Ax1+By1+Cz1+D)/ (√A²+B²+C²)

Отклонение может быть положительным или отрицательным. Если точка и начало координат находятся по разные стороны от плоскости, то положительно. Если же по одну сторону, то отклонение отрицательно.

Расстояние от точки до плоскости является модулем отклонения:

|d|=|(Ax1+By1+Cz1+D)|/ (√A²+B²+C²)

Правило вычисления отклонения:

1) В общее уравнение подставить координаты точки и произвести вычисления

2) Разделить на нормирующий множитель: (√A²+B²+C²)

Расстояние между двумя параллельными плоскостями:

Вычисляется по аналогии с расстоянием между двумя параллельными прямыми: следует взять произвольную точку на одной плоскости и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

3.3. Прямая линия в пространстве. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве.

Направляющий вектор прямой в пространстве называется любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на параллельной прямой.

Нормальным вектором прямой в пространстве называется любой ненулевой вектор, ортогональный ее направляющему вектору.