1.3. Матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.
Матрица – набор числе записанных в таблице.
(m x n) матрица (m строк, n столбцов)
Бывает квадратной, прямоугольной, матрица-строка, матрица-столбец, единичная матрица, нулевая матрица, верхне-треугольная матрица, нижне-треугольная матрица, диагональная, транспонированная, др.
Операции над матрицами:
1. Равенство матриц.
А=В
Aij=Bij (размерности совпадают)
2. Сложение
А+В=С Cij=Aij+Bij i=1, … , m
j=1, … , n
a11+b11 a12+b12 a13+b13…
Свойства:
а) переместительный закон А+В=В+А
б) сочетательный закон (А+В)+С=А+(В+С)
3) Умножение матрицы на число
С=λА
Свойства:
а)λ(A+B)=λA+λB
б)(λ+μ)А=μА+λА
в)(λμ)А=λ(μА)
4. Разность матриц
А-В=А+(-1)*В
С=А-В Сij=Aij-Bij (i=1, … ,m j=1, … ,n)
5. Перемножение матриц
А=(aij) i=1, … ,m j=1, …,n
B= (bij) i=1, … ,n j=1, … ,k
C=A*B=(Cij) i=1,…,m j=,…,p
Cij=
Свойства:
а) АВ≠ВА
б) (АВ)С= А(ВС)
в) (А+В)С=АС+ВС
det(AB)=detA*detB
1.4. Обратная матрица и ее вычисление методом Крамера (методом присоединенной матрицы). Метод элементарных преобразований вычисления обратной матрицы.
Обратная матрица
1. Понятие обратной матрицы
Правая обратная матрица "В" : A*B=E;
Левая обратная матрица "С" : C*A=E;
Теорема 1. Если В и С существ., то В=С.
Доказ: А*В=Е; CA=E;
C=CE; C=C(AB)=(CA)B=EB=B;
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если она перестановочна с ней и А*А-1=А-1А=Е
Матрицы А и А-1 взаимно обратимы, т.е. (А-1)-1=А
Обратную матрицу может иметь только квадратная матрица.
Теорема 2. Для того, чтобы для квадратный матриц А существ.,правая и левая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Доказ: Необходимость
Пусть хотя бы одно из В, С сущ.: CA=E; det(CA)=detC*detA=1;
detC=1/detA; detAне равен 0.
Если обратная матрица существует, то она единственная.
А=(3 7 А-1= ( 5 -7
2 5 ) -2 3)
Метод присоединенной матрицы:
1. Вычислить определитель матрицы А
2. Вычислить все алгебраические дополнения Аij и составить из них матрицу алгебраических дополнений.( Аij=(-1)j+i*(минор))
3. Получить присоединенную матрицу Аji, путем транспонирования матрицы алгебраических дополнений.
4. Разделить матрицу Аij на определить detA:
+ дается в виде формулы
- вычисления громоздкие
Метод элементарных преобразований:
К элементарным преобразованиям относится:
1. Перестановка двух строк (столбцов)
2. Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на ненулевой сомножитель.
3. Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) элементов другой строки (столбца) умноженных на один и тот же сомножитель (можно линейные комбинации других строк (столбцов))
Теорема:
Пусть последовательность элементарных преобразований только над строками матрица А (detA≠0) приводят ее к единичной матрице Е. Тогда те же элементарные преобразования приводят единичную матрицу Е к обратной матрице А-1
Аналогично для столбцов.
Правило вычисления обратной матрицы:
1. Записать рядом две матрицы: А|Е
2. Получить верхне-треугольную (нижне-треугольную) матрицу А
3. Получить в главной диагонали преобразуемой матрицы единицы. Тогда на месте исходной единичной матрицы Е будет находиться обратная матрица.