6. Дифференциальное уравнение колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник – это материальная точка, прикрепленная к идеальной (невесомой и подчиняющейся закону Гука) пружине (Рис.2).

Основной закон динамики поступательного движения тела описывается 2-м законом Ньютона: . Пустьx– вектор смещения тела от положения равновесия. Со стороны пружины на тело действует возвращающая сила, которая согласно закону Гука записывается в виде. Помимо этого, будем считать, что на тело действует сила трения, пропорциональная скорости его движения и направленная в противоположную ей сторону. Учитывая, чтои, после некоторых преобразований запишем основной закон движения в следующем виде:

. (8)

В соответствии с формулами (3) и (4), решение этого уравнения имеет вид

, где. (9)

Выражение определяет коэффициент затухания колебаний. Приb=0пружинный маятник совершает незатухающие гармонические колебания с циклической частотой. Приколебания затухающие. Если же коэффициент затухания больше или равен критическому – колебания невозможны и система возвращается к положению равновесия без колебаний.

Рис.2 Изображение рабочего окна программы для изучения свободных колебаний пружинного маятника.

3. Задание

Выполнение лабораторной работы производится при помощи программы компьютерных моделей из курса «Открытая Физика», раздел «Механические колебания и волны».

1. «Свободные колебания (маятник)»

1. В разделе «Механические колебания и волны» выберите модель «Свободные колебания (маятник)». Ознакомьтесь с моделью маятника. Установите максимальную длину нити Lи начальный угол, указанные в таблице 1 для вашей бригады.

2. Рассчитайте критическое значение параметра b. Установите по очереди следующие значения параметраb:a) нулевое; б) критическое; в) среднее между ними. Нажав мышью на кнопку «СТАРТ», проследите за движением точки на графике угла во всех трех случаях. Сравните вид графиков и зарисуйте их.

3. Установите значение параметра b, указанного в таблице 1 для вашей бригады. Для каждого значения длины нитиL, указанного в таблице 2, запишите периодT. Рассчитайте обратную длину нитиL^-1и квадрат циклической частоты².

4. По формуле (или) рассчитайте приближенные значения ускорения свободного падения для каждой длины нити в предположении малости коэффициента затухания.

5. Постройте график зависимости ²от обратной длины нитиL^-1. Аппроксимируйте результаты прямой линией. Определив для этой прямой приращения квадрата циклической частотыи обратной длины нити, рассчитайте среднее значение. Сравните полученное значениеgсо значениямиg_ЭФФдля маятников с нитями разной длины. При какой длине нити влияние силы трения на полученное значение ускорения минимальное? Вывод обоснуйте.

1. «Свободные колебания (груз на пружине)»

1. В разделе «Механические колебания и волны» выберите модель «Свободные колебания (груз на пружине)». Ознакомьтесь с моделью пружинного маятника. Установите массу груза, значение коэффициента затухания и начальное смещение, указанные в табл. 1 для вашей бригады.

2. Установите значение коэффициента жесткости пружины, при котором видны несколько колебаний. Зарисуйте вид графика скорости. На том же графике другим цветом изобразите принципиальный вид графика кинетической энергии груза.

3. Поочередно установите значения коэффициента жесткости k, приведенные в таблице 3. Для каждого из них определите период колебанийTи рассчитайте квадрат циклической частоты².

4. Используя формулу , определите эффективную массу груза при каждом значенииkв предположении малости коэффициента затухания.

5. Постройте график зависимости ²отk. Аппроксимируйте результаты прямой линией. Определив для этой прямой приращения квадрата циклической частотыи коэффициента жесткости, рассчитайте среднее значение. Сравните полученное значениеmс исходно заданным, а также со значениямиm_ЭФФпри разныхk. При каком значении коэффициента жесткости величина эффективной массы наиболее близка к заданной? Вывод обоснуйте.

Таблица 1. Значения коэффициента затухания (вязкого трения), начального угла отклонения (для первого эксперимента) и начального отклонения и массы груза (для второго).

Номер бригады	b, кг/с	0, град	X0, см	m, кг
1	0.8	20	10	0.5
2	0.6	18	9	0.6
3	0.4	16	8	0.7
4	0.2	14	7	0.8
5	0.08	14	7	0.7
6	0.07	16	8	0.8
7	0.06	18	9	0.9
8	0.05	20	10	1.0

Таблица 2. Результаты измерений в эксперименте №1 (колебаний маятника)

b =_____, ₀ =_____.

Номер измерения	L, м	L-1, м-1	Т, с	,с-2	gЭФФ, м/с2
1	1,5
2	1,4
3	1,3
4	1,2
5	1,1
6	1,0
7	0,9
8	0,8
gГРАФИЧЕСКОЕ =

Таблица 3. Результаты измерений в эксперименте №2 (пружинный маятник)

X₀ =_____, m =_____.

Номер измерения	k,H/м	Т, с	,с-2	mЭФФ, кг
1	5
2	6
3	7
4	8
5	9
6	10
mГРАФИЧЕСКОЕ =