- •Тема 1. Кинематика поступательного и вращательного движения
- •Тема 2. Динамика поступательного движения. Элементы специальной теории
- •Тема 3. Динамика вращательного движения
- •Тема 4. Работа и энергия. Законы сохранения в механике
- •Тема 5. Распределение Максвелла и Больцмана
- •Тема 6. Средняя энергия молекул
- •Тема 7. Первое начало термодинамики. Работа при изопроцессах
- •Тема 8. Второе начало термодинамики. Энтропия
- •Тема 9. Электростатическое поле в вакууме
Тема 5. Распределение Максвелла и Больцмана
В случае анализа свойств макроскопических систем (МС), например, идеального газа, бесполезно интересоваться физическими свойствами отдельных частиц в данный момент времени, но важно знать, какова вероятность присутствия в системе частиц с тем или иным значением физической величины. Законы распределения – это закономерности устанавливающие связь между физическими величинами в МС с вероятностью их присутствия в системе при определенных условиях.
Если система состоит из идентичных, различных частиц, которые могут обладать любым значением спина, то ее физическая статистика определяется распределением Больцмана:
,
- вероятность того, что частицы системы обладают энергией Ei при температуре Т; В – коэффициент, определяемый физической величиной r. Например, идеальный газ подчиняется распределению Больцмана.
Из распределения Больцмана следует распределение Максвелла – распределение молекул идеального газа по скоростям:
,
где m0 – масса молекулы. Кривая распределения имеет максимум соответствующий наиболее вероятной скорости молекул газа при данной температуре:
.
На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла). Свойства распределения Максвелла:
- доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до + в расчете на единицу этого интервала;
площадь под кривой всегда равна единице;
если, не меняя температуры взять другой газ с меньшей молярной массой и таким же числом молекул, то площадь под кривой и величина максимума не изменятся, максимум сместится вправо в сторону больших скоростей;
если, не меняя температуры взять другой газ с большей молярной массой и таким же числом молекул, то площадь под кривой и величина максимума не изменятся, максимум сместится влево в сторону меньших скоростей;
если, увеличить температуру - максимум сместится вправо в сторону больших скоростей, величина максимума уменьшится;
если, уменьшить температуру - максимум сместится влево в сторону меньших скоростей, величина максимума увеличится.
Пример 5.1. На рисунке (см. выше приведенный рисунок) представлен график распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где f(v) – доля молекул, скорости которых заключены в интервал от v до v+dv в расчете на единицу этого интервала. Если, не меняя температуры и числа молекул, взять другой газ с меньшей молярной массой, то
максимум сместится вправо в сторону больших скоростей
максимум сместится влево в сторону меньших скоростей
площадь под кривой уменьшится
Решение: смотри 2 и 4 свойство функции распределения.
Пример 5.2. В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода (μ=0,002 кг/моль), гелия (μ=0,004 кг/моль), азота (μ=0,014 кг/моль). Какая кривая соответствует распределению молекул водорода?
Решение: кривая распределения имеет максимум при скорости прямо пропорциональный температуре и обратно пропорциональный массе молекул: . Масса молекул водорода минимальна из всех приведенных, значит, ей соответствует кривая (3) с наибольшим значением наиболее вероятной скорости молекул.
Распределение скоростей молекул гелия будет описывать кривая 2, азота – 1.
Пример 5.3. Используем тот же рисунок, газ находится при разных температурах, какая кривая соответствует минимальной температуре?
Решение: кривая распределения имеет максимум при скорости прямо пропорциональный температуре, следовательно минимальная температура – минимальная скорость, это кривая (1). Соотношение между температурами: . Кроме того, на рисунке верно изображено увеличение величины максимума при его смещении в сторону меньших скоростей при понижении температуры.