Глава 4. Неинерциальные системы отсчета и гравитационное поле.
Силы инерции
Рассмотрим
две системы отсчета:
инерциальную (ИСО) и неинерци-
альную
(НеИСО).
- ускорение
НеИСО, направленное вдоль оси х.
При t=0 системы совпадают. Через
некоторое
время t
уйдет отх
на
расстояние
.
И тогда
Рис. 20. ИСО и НеИСО
По
второму закону Ньютона в ИСО:
.
Используя преобразование координатыx,
получим:
и
Таким образом, мы видим, что при переходе из ИСО в НеИСО второй закон Ньютона изменяет свой вид:
для
ИСО:
для
НеИСО:
.
Но если записать второй закон Ньютона в форме
,
появляется возможность записывать его в НеИСО так же как в ИСО. Но для этого надо считать второе слагаемое справа некоей дополнительной силой. Эта сила называется силой инерции:
.
Поскольку сила инерции не связана ни с каким из выше перечисленных взаимодействий, она является некоей условной силой - псевдосилой. Благодаря введению понятия силы инерции, оказалось возможным записывать второй закон Ньютона в НеИСО так же, как и в ИСО:
;
Но
при этом надо учитывать, что под
понимается сумма равнодействующей
сил и действующих сил инерции:
Центробежная сила.
Центробежную силу надо учитывать во вращающейся НеИСО.
Рассмотрим
условие равновесия тела массой m
во вращающейся
НеИСО. На рисунке оно привязана к
оси диска вращающегося с частотой ω.
С точки зрения наблюдателя, находящегося
в ИСО тело вращается вместе с диском,
и сила, сообщающая телу нормальное
(центростремительное) ускорение – это
сила упругости пружинки, которой это
тело прикреплено к оси вращения. 
В ИСО :
,
где
.
В НеИСО тело покоится (относительно диска оно не смещается). Следовательно в
Рис. 21. Центробежная сила этой системе сумма сил, приложенных к
телу
(с учетом сил инерции) должна быть
равна нулю. В НеИСО:
,
то есть
.
Или:
Отсюда следует, что сила инерции направлено в сторону, противоположную силе упругости, и ее величина зависит от скорости вращения НеИСО. Поскольку эта сила направлено от центра, вокруг которого вращается НеИСО, она называется центробежная сила:
.
Сила Кориолиса
Если
тело движется
во
вращающейся
НеИСО, возникает эффект, требующий
учета еще одной силы инерции – силы
Кориолиса.
Дело в том, что любое движение во
вращающейся НеИСО (кроме движения
параллельно ось вращения ) приводит
к изменению момента импульса движущегося
тела. Так, например, если тело двигается
в радиальном направлении, у него
увеличивается радиус вращения и за
счет изменения мо-
мента
инерции (
)
согласно формуле
будет
увеличиваться и момент импульса.
Следовательно движение тела по прямой вдоль ра-
диуса (см. рис.) может быть осуществлено только,
если какая-то сила создает момент сил, изменяющий
момент импульса. Такой силой может быть реак- Рис. 22 Движение ция «заборчика» поставленного слева от траектории
в НеИСО этого тела. Он будет подталкивать движущееся тело
и увеличивать его момент импульса. Но с точки зрения наблюдателя в НеИСО тело движется по прямой и действие заборчика перпендикулярно траектории должно быть уравновешено другой силой, которая направлена тоже перпендикулярно, но в противоположном направлении. Эта сила и называется силой Кориолиса.
Для того, чтобы определить, чему равняется сила Кориолиса рассмотрим другой случай. Предположим, в НеИСО, вращающейся с угловой
скоростью
ω,
двигается тело по круговой траектории
со скоростью
(относительно
диска). В ИСО скорость
этого тела будет равна сумме относительной скорости
и скорости вращения вместе с НеИСО:
.
Сила, обеспечивающая такое движение по окружности, должна равняться произведению массы на нормальное (центростремительное) ускорение:
Рис.23. Сила
Кориолиса
С
точки зрения наблюдателя в НеИСО
Тело движется по окружности со
скоростью
и его нормальное ускорение равно
.
Тогда второй закон Ньютона в НеИСО
имеет вид:
.
То есть в этом случае мы должны учитывать две силы инерции (второе и третье слагаемое). Второе слагаемое - это центробежная сила, а третье сила Кориолиса. Совпадение знаков у этих двух слагаемых говорит о том, что в данном случае направления этих сил совпадают.
В общем случае направление силы Кориолиса зависит от направления вращения НеИСО и направления скорости тела, движущегося в этой системе отсчета. Поэтому сила Кориолиса записывается с помощью операции векторного умножения:
.
Соответственно модуль силы Кориолиса равен:
,
где
α – угол между векторами
и
.
Закон всемирного тяготения.
Ньютон сделал вывод, что природа силы, «заставляющей падать на землю яблоко» и силы, заставляющая вращаться вокруг Земли Луну, одинакова и это сила гравитационного взаимодействия тел:
.
Здесь m 1 и m2 - массы притягивающих друг друга тел, r12- расстояние между ними. А γ – гравитационная постоянная:
γ = 6,67·10-11Н м2/кг2.
Этот закон получил название закон всемирного тяготения, поскольку объединяет явления «земные» и «небесные». Приведенная выше запись закона всемирного тяготения дает информацию о величине (модуле) силы. При анализе явлений, связанных с законом всемирного тяготения возникает необходимость записывать и использовать вектор силы. Для этого чаще всего достаточно мысленно совместить начало координат с одним из тел m 1. Тогда вектор силы F21, действующий на второе тело m1 со стороны первого, может быть записан в виде:
;
здесь
- единичный вектор, совпадающий по
направлению с радиус- вектором
,
проведенным от первого тела ко
второму:
.
Строго говоря, приведенные выше формулы, применимы только для точечных масс. То есть для случая, когда, размеры взаимодействующих тел значительно меньше расстояния между ними. Если это ус
ловие
не выполняется, то в общем случае
для решения задачи о взаимодействии двух
тел необходимо мысленно разбить каждое
тело на элементарные (очень маленькие) массы
m и ml. И записать силу взаимодействия
Рис.24. К взаимодействию между двумя элементарными массами как
«габаритных» тел.. для точечных масс.А затем сложить все силы,
для чего применить операцию двойного суммирования:
.
Тем не менее можно показать, что в случае, когда большое по размеру шарообразное тело массой М взаимодействует с телом, которое можно считать материальной точкой (m), взаимодействие их подчиняется такой же формуле, что и взаимодействие точечных масс:
Гравитационное поле и его характеристики
Гравитационное взаимодействие осуществляется посредством гравитационного поля. Это означает, что любое тело, имеющее массу m , создает гравитационное поле, а другое тело m′ испытывает воздействие со стороны поля. В связи с этим задачу о гравитационном взаимодействии можно разделить на два этапа. Сначала найти характеристики этого поля, а затем, используя их определять результаты воздействия поля на тело, оказавшееся в этом поле. Таких характеристик две: напряженность и потенциал.
Напряженность гравитационного поля - это силовая характеристика поля, физический смысл которой - сила, действующая на единичную массу:
.
По
размерности напряженность гравитационного
поля совпадает с ускорением. И в
частном случае у поверхности Земли,
то есть, когда
а
модуль напряженности гравитационного
поля равен:
Эта
величина равняется ускорению свободного
падения:
(g=9,8
м/c2/).
Если сосчитать работу гравитационных сил, то окажется, что эта работа не зависит от формы и длины пути:
.
Это означает, что гравитационное поле имеет градиентный характер и с ним можно сопоставить потенциальную энергию. Поскольку в градиентном поле работа равна разности потенциальных энергий:
,
То можно сделать вывод, что потенциальная энергия тела масса которого m′ в гравитационном поле тела, имеющего массу m , равна:
.
Данная формула предполагает нулевой уровень потенциальной энергии на бесконечности.
Для того, чтобы ввести энергетическую характеристику поля необходимо также привести энергию к единичной массе. Эта величина называется потенциалом гравитационного поля:
.
В частности потенциал поля, которое создается массой m (если эту массу можно считать точечной), равен:
Некоторые выводы из закона всемирного тяготения
Ускорение у поверхности Земли. Сила тяжести.
Сила, с которой планета Земля притягивает тела, находящиеся у ее поверхности равна:
.
И ускорение, с которым будут падать тела
,
не зависит от массы тела. Эта величина называется ускорением свободного падения и равна g=9,8 м/c2. Являясь одинаковым для разных тел, ускорение свободного падения может отличаться в разных точках нашей планеты. Это является следствием того, что входящее в формулу
расстояние от центра масс Земного Шара до точки на поверхности Земли (Rз) может иметь различную величину в разных географических точках. Кроме того, влияние на величину g может оказать неоднородность по плотности земной коры.
Учитывая то, что ускорение свободного падения равно напряженности гравитационного поля у поверхности Земли, его используют для определения силы притяжения тел Земным Шаром (если эти тела находятся вблизи поверхности.). Эту силу называют силой тяжести:
Потенциальная энергия вблизи поверхности Земли
Формула
предполагает, что
на бесконечности. При учете потенциальной
энергии объектов вблизи поверхности
Земли удобнее задать нулевой уровень
потенциальной энергии на поверхности
Земли, то есть приr=Rз.
Тогда
потенциальная энергия тела, находящегося
на высоте h
(r=Rз
+h)от
поверхности будет равна:
.
Поскольку
у поверхности Земли
<<1,
можно считать, что
.
Тогда,
использовав, что
,
получим для потенциальной энергии
вблизи поверхности Земли (в поле силы
тяжести):
.
Закон всемирного тяготения позволяет вычислить массу Земли и массу Солнца. Для определения массы Земли нужно знать радиус Земли. Он был определен по навигационным данным мореплавателей. (Rз=6400км). Гравитационная постоянная была измерена в лабораторных условиях. Тогда из
следует
.
Подставив
числа, получим
.
Для
определения массы
Солнца
надо учесть, что благодаря притяжению
Солнца Земля двигается по орбите с
нормальным (центростремительным)
ускорением равным
, гдеRорб
– радиус орбиты Земли, а Т
– период
ее вращения вокруг Солнца (Т=
1год).
Первая и вторая космические скорости.
Первая космическая скорость не дает движущимуся телу упасть на Землю. Для того, чтобы спутник не упал на Землю сила притяжения Земли должна менять только направление скорости, то есть ускорение спутника должно равняться нормальному ускорению. Считая радиус орбиты приблизительно равным радиусу Земли, получаем
И
.
-
Первая
космическая скорость
Вторая
космическая скорость позволяет
объекту освободиться от притяжения
Земли, что произойдет, если этот
объект улетит очень далеко от Земли
(бесконечно далеко). На бесконечности
потенциальная энергия равна нулю
(если мы пользуемся формулой
).
Кинетическую энергию на бесконечности
тоже можем положить равной нулю, так
как объект вышел из сферы притяжения
Земли и нам неважно с какой скоростью
он теперь двигается. По закону
сохранения энергии при движении в
потенциальном поле суммарная
механическая энергия не изменяется,
значит у поверхности Земли сумма
потенциальной и кинетической энергии
также равна нулю:
.
Учитывая,
что
,
получим
.
-
Вторая
космическая скорость.
Принцип эквивалентности масс.
Сила гравитационного притяжения и силы инерции в НеИСО зависят от массы тела, на которое они действуют. И, строго говоря, мы должны учитывать, что имеем дело с различными свойствами тела: инертностью и гравитационным взаимодействием. Значит количественно эти свойства должны зависеть от разных величин: от массы инерционной (mин) и массы гравитационной (mгр).
Так в законе всемирного тяготения мы должны учитывать гравитационную массу:
.
М
-масса тела,
создающего гравитационное поле,
которое действует на тело, имеющее
массу mгр
. γ'
– гравитационная постоянная, значение
которой может отличаться от
.
В
результате действия этой силы телу
будет сообщено ускорение, связанное
с силой вторым законом Ньютона, где
присутствует масса инерционная:
.
Соответственно это ускорение находится
по сотношению:
.
В частности ускорение свободного падения оказывается зависящим от соотношения гравитационной и инерционной массы, которое нам неизвестно. Но результаты экспериментов, впервые проведенные Галилеем, говорят, что ускорение свободного падения одинаково для разных тел. Из этого следует, что у всех тел одинаковое отношение этих масс
.
И
нам не важно, чему это отношение
равно, потому что за гравитационную
постоянную мы принимаем величину
.
Итак, принцип эквивалентности масс утверждает, что отношение гравитационной и инерционной массы для всех тел одинаково. И, как следствие, мы выбираем такое значение гравитационной постоянной, чтобы можно было считать, что
.
Это дает возможность сделать важный вывод при сравнении условий, возникающих в НеИСО с одной стороны и в гравитационном поле с другой. Предположим, проводится эксперименты в ИСО, находящейся в гравитационном поле напряженностью G и в НеИСО, двигающейся с ускорением w=-G, как это проиллюстрировано на рисунке.
ИСО НеИСО
Рис25. Эквивалентность гравитационного поля
И неинерциальной системы отсчета
В обоих случаях наблюдатель обнаружит, что на тело действует сила
,
Поскольку
,
а
.
Значит, по эксперименту, проведенному в рамках одной системы отсчета, нельзя определить находимся мы в гравитационном поле или в НеИСО.
Гравитационное поле и неинерциальные системы отсчета эквивалентны.
Этот вывод был использован Эйнштейном для создания Общей теории относительности (ОТО).