Глава 3. Момент импульса. Динамика твердого тела

Момент импульса. Момент сил. Уравнение моментов.

При анализе вращательного движения, как твердого тела, так и материальной точки важной характеристикой движения является момент импульса.

Моментом импульса называется векторное произведение радиус-вектора на вектор импульса: . Соответственно модуль момента импульса равен:, а направлен он перпендикулярно радиус-вектору и вектору скорости, согласно правилу нахождения векторного произведения.

Влияние сил, действующих на тело, на величину момента импульса можно учесть, используя II закон Ньютона. Для этого возьмем производную момента импульса по времени:

.

Здесь учтено, что , а скорость и импульс совпадают по направлению и их векторное произведение равно 0. Во втором слагаемом учтено, что согласно второму закону Ньютона .

Величина, представляющая собой векторное произведение радиуса-вектора на силу называется момент сил.:

.

Полученный результат ):

,

называется уравнение моментов. Согласно ему скорость изменения момента импульса равна моменту равнодействующей сил. Это соотношение подобно второму закон Ньютона, утверждающему, что скорость изменения импульса равна равнодействующей приложенных сил.

Как видно из определения, момент сил, так же как момент импульса зависит от выбора точки, из которой проводится радиус вектор. Поэтому в уравнении моментов эти величины должны рассчитываться относительно одной и той же точки.

Пара сил

Возможна ситуация, когда суммарный момент сил не будет зависеть от точки отсчета. Таким будет момент двух сил, если они удовлетворяют условию: . Действительно, тогда:

Рис. 14 Пара сил

И модуль момента импульса окажется равным: , гдеl-плечо ( расстояние между линиями действия сил)

Закон сохранения момента импульса

Если рассматривать движение не одной материальной точки, а системы материальных точек, то окажется, что в уравнении моментов нужно учитывать только моменты внешних сил. Моменты сил взаимодействия частей системы на результат не влияют. И для системы материальных точек (и для твердого тела) уравнение моментов примет вид:

.

Здесь под надо понимать суммарный момент импульса системы:, где- момент импульса отдельной материальной точки, а в правой части стоит сумма моментов внешних сил:.

Из данного уравнения следует, что

при равенстве нулю суммарного момента внешних сил суммарный момент импульса тела (или системы тел) остается постоянным.

Это утверждение и является законом сохранения момента импульса (ЗСМИ). Так же, как и закон сохранения импульса (ЗСИ), ЗСМИ должен выполняться в замкнутой системе. Но кроме этого возможна ситуация, когда тело находится в поле внешней силы (система незамкнута), а момент этой силы равен нулю. Такие силы называются центрально симметричными или просто центральными. Математически такая сила может быть представлена в виде: . Нетрудно видеть, что векторное произведение такой силы на радиус вектор равен нулю.

Таким образом ЗСМИ выполняется в замкнутой системе и в поле центральных сил.

Примеры центральных сил: сила гравитационного притяжения планет Солнцем, сила кулоновского взаимодействия ядра и электронов в атоме.

Особенности описания движения твердого тила

При движении твердого тела необходимо учитывать как перемещение тела в пространстве в целом, так и поворот его вокруг оси, проходящей через центр масс. Для анализа движения твердого тела его мысленно разбивают на множество материальных точек. Скорость каждой из них может быть представлена как сумма двух скоростей: , где- скорость отдельной (i-той) точки, - скорость центра масс твердого тела, а- скорость этой точки относительно центра масс. Проанализировав движение отдельной точки, пользуясь выводами динамики материальной точки, можно затем результат просуммировать (или проинтегрировать) для тела в целом. При этом удобнее применять именно операцию интегрирования, для чего отдельные части (точки) тела принимаются бесконечно малыми.

Движение центра масс

Согласно второму закону Ньютона для отдельно взятой элементарной массы, которую считаем материальной точкой, с учетом внешних сил и сил взаимодействиямежду отдельными массами этого тела можно записать:

Просуммировав получим равенство:

Учитывая, что согласно третьему закону Ньютона ,и так далее, получим, что сумма сил взаимодействия окажется равной нулю и в данном равенстве останутся только внешние силы:

Учтем, что положение центра масс определяется по формуле.: , тогда:. Дважды продифференцировав это равенство получим:

.

А это значит, что основное уравнение динамики (II закон Ньютона), для центра масс записывается так же, как и для материальной точки, но с учетом только внешних сил (для материальной точки все силы внешние):

.

Здесь - равнодействующая внешних сил, а- масса всего твердого тела.

Ускорение центра масс твердого тела, умноженное на полную массу тела, равняется равнодействующей внешних сил, действующих на тело.

Вращение вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим тело произвольной формы,

вращающееся вокруг оси Oz.

Разобьем его на элементарные массы .

Для каждой из них можно записать

уравнение моментов с учетом моментов

внешних сил и сил взаимодействия :

Запишем проекцию этого равенства на ось z:

Рис 15. Вращение вокруг

Момент импульса связан со скоростьюнеподвижной оси

тела и его импульсом: . А при

вращательном движении его можно записать через угловую скорость, используя взаимосвязь и: . В результате получим: , где(α – угол между радиусом вектором и осьюz)

Величина называетсямоментом инерции (в данном случае i-той элементарной массы):

Далее просуммируем приведенное выше равенство по всему твердому телу:

.

Учитывая, что сумма моментов сил взаимодействия (внутренних) равна нулю, а угловое ускорение для всех точек одинаково, получим:

.

И окончательно, уравнение динамики вращения твердого тела имеет вид:

,

где М_z проекция суммарного момента внешних сил на ось вращения, а

- момент инерции твердого тела.

Момент инерции.

Приведенная выше формула для расчета инерции: - удобна для расчета момента инерции системы из нескольких тел, если эти тела можно считать материальными точками (случай, так называемых, дискретных масс). Но если мы хотим вычислить момент инерции твердого тела (непрерывное распределение масс) необходимо использовать операцию интегрирования:

.

Здесь dm - элементарная бесконечно малая масса, аналог m_i в предшествующем анализе.

Например, если стержень вращается вокруг одного из своих концов, момент инерции находим следующим образом: выделяем элементарную массу (бесконечно тонкий слой стержня толщиной dx) dm:

.

Радиус вращения в данном случае обозначен x (смотри рисунок). Подставив dm и x вместо R в интеграл, получим:

.

Здесь l -длина стержня, m-масса стержня.

Итак, момент инерции стержня относительно оси проходящей через один из его концов равен:

.

Для того чтобы определить момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, надо изменить пределы интегрирования:

Момент инерции тела зависит от положения оси, относительно которой оно вращается.

Теорема Штейнера.

Теорема Штейнера позволяет сосчитать момент инерции J тела, имеющего массу m, относительно произвольной оси, если известен его момент инерции относительно центра масс J_c.

Рассмотрим 2 оси: осьCC’ , проходящую через центр масс и произвольную OO’.

Положение элементарной массы задается вектором

Момент инерции этой элементарной массы относительно оси OO’ будет равен:

Рис. 17. К теореме Штайнера. .

Просуммировав это равенство по всему

объему:

,

и приняв во внимание, что для центра масс координата , в итоге получим:

.

Это соотношение называется теорема Штейнера, здесь a – расстояние от центра масс до оси OO’, относительно которой считается момент инерции.

Моменты инерции различных тел:

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню:

Момент инерции цилиндра или диска, относительно его оси:

Момент инерции шара относительно его центра масс:

Кинетическая энергия и работа при вращении твердого тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела находится суммированием кинетических энергий элементарных масс (материальных точек), на которые мы мысленно разбиваем твердое тело. Кинетическая энергия одной элементарной массы m_i:

.

При суммировании учтем, что, а

.

В результате оказывается, что кинетическая энергия вращающегося тела может быть подсчитана по формуле:

Эта формула по структуре повторяет формулу расчета кинетической энергии при поступательном движении .

Аналогично формуле для расчета работы при поступательном движении записывается работа при вращательном движении:

,

Здесь момент силы, поворачивающий тело на угол.

Кинетическая энергия при плоском движении.

Плоское движение – такое движение, при котором любая точка твердого тела остается в какой-то одной своей плоскости. Самый простой пример: катящийся цилиндр или диск. В этом случае кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси цилиндра (или диска):

.

J_c – момент инерции цилиндра (или диска) относительно его оси.

Гироскопический эффект. Прецессия.

Гироскоп – массивное тело, имеющее ось симметрии, которое вращается вокруг этой оси с очень большой угловой скоростью. Какую скорость мы можем считать «очень большой»? Это требование важно для случая, когда гироскоп участвует в дополнительном вращательном движении с угловой скоростью .Тогда, при выполнении условия , можно считать, что направление момента импульса совпадает с осью вращения гироскопа:

.

Рис. 18 Гироскопический эффект Если на гироскоп подействовать силой

(на чертеже она направлена от нас), то возникающий момент сил направлен перпендикулярно этой силе (см. рис). Согласно уравнению моментов:

вектор изменения момента импульса совпадает по направлению с вектором момента силы. А это значит, что ось гироскопа будет стремиться повернуться в направлении перпендикулярном приложенной силе. То есть в приведенном примере мы действуем на гироскоп от нас, а он наклоняется в сторону - влево. Это одно из проявлений гироскопического эффекта.

Если сила, стремящаяся повернуть ось гироскопа, действует постоянно, то может возникнуть прецессия гироскопа. Рассмотрим в качестве примера волчок (гироскоп), ось которого наклонена. Тогда сила тяжести mg и реакция опоры N создают пару сил, стремящуюся опрокинуть волчок. Но момент этих сил направлен перпендикулярно оси волчка и так же направлен вектор изменения импульса. В этой ситуации ось волчка будет вращаться вокруг вертикали, проведенной из точки опоры волчка (см. рисунок).

Для того, чтобы определить частоту прецессии рассмотрим эту ситуа-

цию более подробно. Момент сил пары сил можно считать относительно

любой точки. Относительно точки опоры волчка момент сил будет равен ,модуль его соответственно ,где α – угол между радиус-вектором (направленным вдоль оси волчка) и силой тяжести.

:

Рис 19. Прецессия гироскопа

С другой стороны, если за время dt ось волчка повернется на dφ, то модуль изменения вектора момента импульса будет равен (см. рисунок) .Подставив эти результаты в уравнение моментов, приняв во внимание при этом, что , получим:. Отсюда следует, что частота прецессии равна:

.

Чем меньше частота вращения волчка-гироскопа, тем больше частота прецессии.