3.3.1. Примеры

Пример 3.6. Упростить логическое выражение: .

По закону дистрибутивности вынесем a за скобки:

.

По закону исключенного третьего скобочное выражение заменяем логической константой 1:

.

Используем закон исключения констант:

.

Пример 3.7. Упростить логическое выражение: .

Введем вспомогательный логический множитель :

.

На основании дистрибутивного закона раскрываем скобки и комбинируем (в соответствии с переместительным законом) два крайних и два средних логических слагаемых:

Используем закон поглощения:

.

Пример 3.8. Требуется упростить: .

Способ 1. Применим закон дистрибутивности:

.

К выражению в скобках применим закон противоречия:

.

Применим закон исключения констант:

.

Способ 2. Перемножим скобки (как в обычной алгебре чисел) на основании дистрибутивного закона:

.

К логическому слагаемому применим закон идемпотентности, потом два средних слагаемых сгруппируем и общий логический множитель вынесем за скобки, заменим последнее слагаемое (на основании закона противоречия) логической константой 0:

.

Используем законы исключенного третьего и исключения констант:

.

Используем закон исключения констант:

.

Применяем закон идемпотентности

.

Пример 3.9. Упростить ЛС из примера 2.1 (рис. 2.2). Логическое выражение, описывающее ЛС, имеет вид: .

Применим ко второму слагаемому закон де Моргана:

.

Применяем закон двойного отрицания:

.

Последнее выражение это неравнозначность относительно логических выражений и. Поэтому имеем:

.

Осталось нарисовать ЛС.

Пример 3.10. Составить логическую схему, реализующую логическую функцию f(x, y, z), заданную таблицей истинности (табл. 3.5).

Таблица 3.5
Таблица f(x, y, z)
x	y	z	f
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

Выберем строки таблицы, где значения функции равны 1. Таких строк 3, т. е. функция равна 1 только для этих трех наборов переменных. Отсюда выражение для функции можно записать так:

.

Замечание 3.5. Последнее выражение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Полученное выражение можно упростить. Для этого сгруппируем первые два слагаемых и вынесем множитель за скобки:

.

Применяя законы исключенного третьего и исключения констант, имеем:

.

Вынесем логический множитель y за скобки, а к скобочному выражению применим дистрибутивный закон:

.

Применяя закон де Моргана имеем:

.

Получилась очень простая логическая схема (рис. 3.5):

12