Лекция №3. Понятие вероятности. Условная вероятность. Формула Байеса.

С конца 19 века под вероятностью случайного события стали понимать меру объективной возможности, количественную степень возможной реализации события в определенных условиях, а применение этого понятия стало предлагать обязательный учет следующих моментов:

1. невозможность предсказания точного результата некоторого действия, испытания, эксперимента;

2. возможность повторения действия испытания или эксперимента в первоначальном комплексе условий бесконечное число раз;

3. невозможность точного предсказания результатов не только первого действия, испытания или эксперимента, но и каждого следующего.

В теории вероятностей существует несколько подходов к определению вероятности случайного события: 1) статистический; 2) классический и 3) аксиоматический.

Определение 18. Относительной частотой (частотой) случайного события А называют отношение k числа исходов испытания, в которых событие А наступило к общему числу испытаний n.

Определение 19. Статистической вероятностью события А называют число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты этого события при больших n.

Пример 14. Рассмотрим результаты бросания монеты 500, 1000, 1500, … раз и соответствующие им относительные частоты наступления события Г = {Выпал герб}.

Число испытаний	5000	10000	15000	20000	25000	30000	35000	40000	45000	50000	55000	60000	65000	70000	75000	80000	85000	90000	95000	100000
Относительная частота	0,50060	0,50150	0,50040	0,49785	0,49908	0,49827	0,49846	0,49965	0,50053	0,50034	0,50055	0,50040	0,49975	0,50053	0,49935	0,49970	0,49985	0,49961	0,49932	0,49925

Из таблицы видно, что с возрастанием числа испытаний колебания относительной частоты уменьшаются. Этот факт и является основанием для введения статистического определения вероятности.

Определение 20. События А₁, А₂, …, А_n называют равновозможными, если при реализации данного комплекса условий никакое из этих событий не обладает преимуществом наступать чаще остальных.

Определение 21. События А₁, А₂, …, А_n называют элементарными событиями, если они образуют полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий.

Определение 22. Классической вероятностью Р(А) события А называют отношение числа k элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех элементарных событий.

Пример 15. Проводится испытание по бросанию игрального кубика. Найти вероятность события А = {Выпало число очков, кратное трем}.

Решение. События А_i = {Выпало i очков} образуют элементарные события. Следовательно, вероятность события А равна 2/6, т.к. А₃ и А₆ – исходы благоприятствующие событию А, и всего элементарных исходов шесть.

При аксиоматическом подходе к определению вероятности перечисляются ее свойства:

АI.

АII.

АIII.

Свойства вероятности:

1^.

2^.

3^.

4^.

5^. Если А₁, А₂, …, А_n попарно несовместимые, то

Определение 23. Сигма-алгеброй (-алгеброй) событий S называют систему подмножеств пространства элементарных исходов , замкнутую относительно счетного числа теоретико-множественных операций ( и ).

Замкнутость множества натуральных чисел относительно операций сложения и умножения означает, что результат этих операций над натуральными числами снова будет натуральным числом. Так как подмножество  является событием, то операции над событиями, перечисленные выше, снова дают в результате события из .

Аксиоматическое определение вероятности в более точной формулировке следующее.

Определение 24. Пусть каждому событию А (т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов , принадлежащему -алгебре S) поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р(А), заданную на -алгебре S, называют вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. .

Задание вероятностного пространства (, S, Р) полностью определяют некоторую ситуацию (проведение испытания, определение неизвестных вероятностей и т.п.).

Пример 16. Построить вероятностное пространство для испытания с бросанием двух монет.

Решение. Построить вероятностное пространство – значит определить , S и Р: = {Г, Р}; S = { , ГГ, ГР, РГ, РР}; Р: Р(ГГ) = 1/4, Р(ГР) = 1/4, Р(РГ) = 1/4, Р(РР) = 1/4.