1. Абсолютные и относительные показатели вариации

Вариация - количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

К абсолютным показателям вариации относят:

• размах вариации

• среднее линейное отклонение

• среднее квадратическое отклонение

• дисперсию.

Размах вариации R. Это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю

Формула среднего линейного отклонения (простая)

Формула среднего линейного отклонения (взвешенная)

Дисперсия (среднее квадратическое отклонение в квадрате) – обобщающая хар-ка размеров вариации признаков совокупности

Средняя квадратическая простая

Средняя квадратическая взвешенная

Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формулы дисперсии взвешенной и простой :

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

Относительные показатели рассчитываются как отношение размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

Формулы расчета относительных показателей вариации:

где VR - коэффициент осцилляции; - линейный коэффициент вариации; - коэффициент вариации.

Совокупность считается однородной если коэф вариации не превышает 33%

2. Абсолютные и относительные средние показатели

Средней величиной называется статистический показатель, который дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные отклонения значений признака и учитываются изменения вызванные основным фактором.

Важнейшими условиями (принципами) для правильного вычисления и использования средних величин является следующие:

1. В каждом конкретном случае необходимо исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков и имеющиеся для расчета данные.

2. Индивидуальные значения, из которых вычисляются средние, должны относиться к однородной совокупности, а число их должно быть значительным.

Виды средних величин

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

• Арифметическая

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

• Гармоническая

Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1

• Геометрическая

Среднегеометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины

Геометрическая простая

где:

хi - цепной коэффициент роста

n - число этих коэффициентов роста

П - знак произведения

m - количество уровней ряда

уо - значение начального уровня ряда

уi - значение конечного уровня ряда

Геометрическая взвешенная

• Квадратическая

Среднеквадратические величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции. Здесь определяют среднеквадратическое отклонение от планового выпуска продукции за определенный период по следующей формуле:

Квадратическая простая

Квадратическая взвешенная

Структурные средние:

• Мода

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто.

где:

Mo - значение моды

Xo - нижняя граница модального интервала

h - величина интервала

fm - частота модального интервала

f (m-1) - частота интервала, предшествующего модальному

f (f+1) - частота интервала, следующего за модальным

• Медиана

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда)

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.