§ 4.2 Дифракция света

Совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при его распространении в среде с резко выраженной оптической неоднородностью (например, при прохождении через отверстия в экранах, вблизи границ непрозрачных тел и т.п.) называется дифракцией света.

Вболее узком смысле под дифракцией света понимается огибание светом препятствий и попадание его в область геометрической тени, то есть отклонение от законов геометрической оптики.

Если на непрозрачный диск D падает свет от источника S, расположенного напротив центра O диска, то на экране Э мы увидим тень диска (геометрическую тень – по форме препятствия), а далее светлое поле экрана. Размер этой тени будет зависеть от расстояний: между источником света S и диском D, между диском D и экраном Э. Однако, если размеры диска соизмеримы с длиной волны , излучения, идущего от источникаS, то на экране вместо четко разграниченных областей света и тени будет наблюдаться система интерференционных максимумов и минимумов освещенности, то есть в случае диска будет наблюдаться система концентрических темных и светлых колец.

Причем в центре картинки будет не темное, а светлое пятно. Таким образом, прямолинейность распространения света нарушается, имеет место явление дифракции.

Для того чтобы объяснить, как попадает свет в область геометрической тени, Гюйгенс сформулировал волновой принцип. Согласно волновому принципу Гюйгенса, положение волнового фронта в некоторый момент времени (t) позволяет определить волновой фронт, а, следовательно, и направление лучей в любые последующие моменты времени . Под лучом в данном случае понимается нормаль к фронту волны.

Принцип Гюйгенса (1678г): каждая точка волнового фронта является источником вторичных сферических волн. Поверхность, огибающая вторичные волны, представляет собой поверхность волнового фронта в последующий момент времени. На рисунке рассмотрены два случая:

а) сферический фронт волны для точечного источника света S;

б) плоский фронт волны для источника света, удаленного на бесконечность.

Метод Гюйгенса – Френеля позволяет рассчитать распределение интенсивности света в разных направлениях в зависимости от формы и размеров препятствий (строго, но трудоемко решить любую задачу дифракции). Согласно Френелю (1815г), вторичные сферические элементарные волны являются когерентными и при поиске результирующей интенсивности в некоторой точке экрана необходимо рассмотреть интерференцию всех этих вторичных волн.

Принцип Гюйгенса–Френеля: каждый элементволновой поверхности служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента:.

Строго решить задачу с помощью принципа Гюйгенса–Френеля очень трудно. Для не очень строгого решения данной задачи Френелем был предложен метод зон, названный его именем. Этот метод сводится к следующей последовательности действий решателя задачи:

1. для каждой конкретной задачи следует определенным образом разбить фронт волны на участки (зоны Френеля);

2. эти участки рассматривать как самостоятельные одинаковые источники волн;

3. амплитуда волны в точке наблюдения определяется как результат интерференции от волн, которые якобы создаются зонами Френеля.

Рассмотрим монохроматическую световую волну с длиной волны , распространяющуюся в однородной среде из источникаS в некоторую точку наблюдения B. Фронт волны в таком случае будет представлять собой сферическую поверхность. Разобьем поверхность волнового фронта на зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки наблюденияB отличались на . Если обозначить расстояние от крайней точки волнового фронтаM₀ до точки наблюдения B как b, то ,,. Таким образом.

Зоны Френеля – это специальным образом выбранные кольцевые области на сферическом волновом фронте. Поскольку разность хода сходных точек (например,M₁ и M₂) двух соседних зон до точки наблюдения равна , то колебания, возбуждаемые в этой точке соседними зонами противоположны по фазе, а значит, амплитуда результирующего колебания в точкеB равна: , гдеA_m – амплитуда колебаний, возбуждаемых вторичными источниками, находящимися в пределах m-ой зоны (m=1,2,3,…). Величина A_m зависит от площади зоны, а, следовательно, от ее радиуса. Найдем радиус произвольной m-ой зоны . Для этого введем некоторые новые обозначения:,. Рассмотрим прямоугольные треугольникии. В них,,,m – номер зоны Френеля. Согласно теореме Пифагора: и. Тогда, или. При, следовательно, вторым слагаемым справа можно пренебречь. В этом случае, а значит. Прирадиусm-й зоны Френеля равен . Можно показать, что площади всех зон Френеля одинаковы.

Построенные таким образом зоны Френеля разбивают сферический волновой фронт на равновеликие зоны, причем действия соседних зон ослабляют друг друга, поскольку посылаемые ими колебания доходят до точки B в противоположных фазах. Покажем это.

Рассмотрим действие световой волны в точке наблюдения, используя графический метод сложения колебаний.

Для графического изображения действия целой зоны необходимо разбить ее на равные кольцевые участки, столь малые, чтобы фаза колебаний, вызываемых в точке наблюдения различными воображаемыми источниками этого участка, практически могла считаться постоянной. Тогда действие всего этого участка может быть выражено вектором, длина которого дает суммарную амплитуду, а направление определяет фазу колебаний. Действие соседнего участка может быть выражено вектором, несколько повернутым относительно первого, так как фаза, определяемая источником второго участка, будет несколько отличаться от фазы, задаваемой первым участком. Длина же второго вектора практически не отличается от первого. Таким образом, векторная диаграмма, определяющая действие ряда участков, составляющих 1-ую зону, изобразится ломаной линией. Если разбить зону на бесконечно большое число бесконечно малых участков, то ломаная превратится в дугу, близкую к полуокружности. Таким образом, векторная диаграмма действия первой зоны выражается дугой. Вектор- результирующий вектор действия первой зоны. Векторная диаграмма действия второй зоны выражается дугойменьшего диаметра, так как вторая зона расположена несколько дальше от точкиB, чем первая. Вектор - результирующий вектор первой и второй зон.

Продолжая построение, мы получим диаграмму действия всего волнового фронта.- результирующий вектор действия всех открытых зон., то есть амплитуда колебаний, создаваемых в точкеB всем волновым фронтом, равна половине амплитуды колебаний, создаваемых одной первой зоной.

С помощью метода зон Френеля можно объяснить явления, наблюдающиеся, когда часть фронта световой волны перестает действовать из-за наличия препятствий на пути световой волны.

Различают два случая дифракции: дифракция Френеля (дифракция в сходящихся лучах) и дифракцию Фраунгофера (дифракцию в параллельных лучах).

В простейших случаях дифракция Френеля – это дифракция на круглом отверстии или диске.

Пользуясь методом зон Френеля, можно определить амплитуду световых колебаний в точкеB за круглым отверстием диаметром d на его оси. Результат дифракции в точке B будет зависеть от количества зон Френеля, укладывающихся на открытой волновой поверхности. Если в отверстие укладывается зон Френеля, то амплитуда A результирующих колебаний в точке B может быть найдена по формуле: . Еслиm-нечетное число, то , и в точкеB наблюдается дифракционный максимум. В случае же, если m-четное число, то , и в точкеB наблюдается дифракционный минимум.

Подтверждение этому легко найти с помощью векторной диаграммы. При неизменном положении источника число зон m зависит от диаметра отверстия d и от расстояния до экрана b. Если отверстие открывает всего одну или небольшое нечетное число зон, то интенсивность в точке наблюдения B будет больше, чем в отсутствии экрана. Это объясняется перераспределением энергии при образовании дифракционной картины. Максимальная амплитуда в точке B соответствует размеру отверстия в одну зону. Если же отверстие открывает небольшое четное число зон, то интенсивность в точке B будет меньше, чем при полностью открытом волновом фронте. Наименьшая интенсивность соответствует двум открытым зонам.

Если на пути световой волны стоит круглый диск небольшого размера, то амплитуда колебаний в точкеB равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной. В центре дифракционной картины в этом случае всегда будет светлое пятно. Это светлое пятно в центре геометрической тени называют пятном Пуассона.

Фраунгофер предложил иной способ наблюдения дифракции. В этом способе на дифракционный объект (отверстие, щель и т.д.) направляют параллельный пучок света (плоскую волну) и дифракционную картину наблюдают на достаточно большом расстоянии, то есть практически в параллельных лучах.

Можно получить критерий оценки характера дифракции. Для этого в формуле, определяющий радиус произвольной m-ой зоны Френеля, учтем, что плоскую волну можно получить, если удалить источник в бесконечность (), тогда эта формула примет вид. Отсюда следует, что. Поскольку характер дифракционной картины, как было отмечено выше, определяется только числомm открытых зон Френеля, значит выражение можно рассматривать в качестве некоторого параметраp – критерия оценки характера дифракции. В целях обобщения результата целесообразно заменить на некоторый характерный размерH отверстия в преграде и b на , то есть, гдеH – некоторый характерный размер: радиус или диаметр круглого отверстия или ширина щели и т.п.

Значение параметра p определяет характер дифракции:

–дифракция Фраунгофера;

~ – дифракция Френеля;

–приближение геометрической оптики.

Вопрос дифракции параллельных лучей был рассмотрен в 1821-1822гг. Фраунгофером, поэтому дифракция параллельных лучей получила название дифракции Фраунгофера. Схематический опыт Фраунгофера представлен на рисунке. Точечный источникS расположен в фокусе линзы Л₁. Между линзами Л₁ и Л₂ расположен непрозрачный экран с отверстием в виде щели. Дифрагирующие под разными углами лучи света собираются линзой Л₂ в соответствующие точки экрана Э₂, расположенного в фокальной плоскости линзы Л₂. Задача дифракции, как и в других случаях, заключается в нахождении распределения интенсивности света в зависимости от угла дифракции . Распределение интенсивности по экрану зависит также от формы и размера отверстия.

Наибольший интерес представляет собой случай дифракции от щели. Щелью будем называть прямоугольное отверстие, имеющее незначительную ширину и практически бесконечную длину. Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической световой волны длинойот щели шириной. Для простоты предположим, что световая волна падает нормально к плоскости щели. Параллельный пучок света, пройдя через щель на непрозрачном экране Э₁, дифрагирует под разными углами в правую и левую сторону от первоначального направления падения лучей. Линза Л собирает параллельные пучки дифрагированных лучей в соответствующих точках экрана Э₂, расположенного в ее фокальной плоскости. Недифрагирующие лучи соберутся в точке B_. Поскольку параллельный пучок света падает нормально к плоскости щели, то фронт волны будет совмещен с плоскостью щели, то есть все точки фронта волны в плоскости щели будут колебаться с одинаковой фазой. Итак, на рисунке, MN – фронт волны. Опустим из точки M на крайний луч, дифрагирующий под углом , перпендикулярMF, тогда MF – это фронт волны, дифрагирующей под углом ,– это разность хода крайних лучей, идущих от щели под углом. Как видно из рисунка:. Разобьем разность ходана участки, длинойи проведем линии параллельныеMF до пересечения с фронтом волны MN. Фронт волны в плоскости щели будет при этом разбит на полоски равной ширины. Каждая полоска будет играть роль вторичного источника. Вследствие идентичности полосок амплитуды волн в плоскости щели будут одинаковы. Эти полоски на фронте волны и будут зонами Френеля. Если на щели для данного угла дифракции укладывается четное число зон Френеля, то в данном направлении будет наблюдаться дифракционный минимум, поскольку действия соседних зон ослабляют друг друга (колебания, посылаемые соседними зонами, происходят в противофазе). Таким образом, условие минимума интенсивности: , или, где

Если же на ширине щели для данного угла дифракции укладывается нечетное число зон Френеля, то в данном направлении будет наблюдаться дифракционный максимум. Таким образом, условие максимума интенсивности: .

Внаправлении(точкаB_ на рисунке) наблюдается самый интенсивный центральный максимум, поскольку колебания, вызываемые всеми участками щели, совершаются в одной фазе. Распределение интенсивности на экране при дифракции от одной щели будет иметь вид, представленный на рисунке. Почти весь свет сосредоточен в области центрального максимума или максимума нулевого порядка, интенсивность максимума первого порядка составляет около 4 от интенсивности центрального, поэтому можно считать, что практически весь световой поток, проходящий через щель, сосредоточен в центральном максимуме. Таким образом, в отличие от френелевской дифракции, при дифракции Фраунгофера в середине симметричной дифракционной картины всегда образуется максимум освещенности.

Шириной дифракционного максимума на экране называется расстояние между двумя ограничивающими его дифракционными минимумами.

Положение дифракционных максимумов и минимумов зависит от длины волны , поэтому при освещении щели белым светом на экране наблюдается совокупность дифракционных картин для разных цветов, сдвинутых относительно друг друга. Центральный максимум при этом является общим для всех длин волн.