chirskii-lectures-2sem

Математический анализ I курс II семестр

Билет 10. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (стр. 2 из 2)

Определение 10.1. Если для всех x a;b справедливо равенство x f x то x

называется первообразной для f x на (a;b).

Можно рассматривать первообразную и на отрезке [a;b], тогда в точке a должно выполнятся равенство прав a f a , а в точке b – равенство лев b f b .

x 0), т.е. x f (x) 1, поэтому в случае точки разрыва теорема может оказаться неверной.

Математический анализ I курс II семестр

Билет 11. Приёмы вычисления определённых интегралов (стр.1 из 1)

Билет 11. Приёмы вычисления определённых интегралов.

Уже сформулирована и доказана теорема Ньютона-Лейбница (см. бил. 10)

3.a, b;

4.t C , .

b

Тогда f x dx f t t dt

a

►Доказательство. Пусть F x — первообразная для f x . Тогда

F t F x t F t t . Поэтому выполняются равенства:

f x dx F b F a , f t t dt F b F a F b F a и требуемое

непрерывная функция, то существует её первообразная x , т.е. u x x x .

x ba u x x ba x dx u x x ba u x x dx.

Теорема доказана. ◄

Математический анализ I курс I семестр

Билет 12. Приложения интеграла: объём тела (стр. 1 из 3)

Билет 12. Приложения интеграла: объём тела.

Определение объема можно дать аналогично определению площади образом: считая известным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся в данном теле многогранников и множество объемов содержащих данное тело многогранников. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равно точной нижней грани второго, то тело называется кубируемым, или имеющим объем, равный общему значению этих точных граней.

Теорема 12.1. Если T представляет собой прямой цилиндр высоты H в основании которого лежит квадрируемая фигура P с площадью S P то T - кубируема, причем

Построим содержащийся в T и содержащий T многогранники высотой H , в основании которых лежат, соответственно, A и B. Тогда объемы этих многогранников

Теорема 12.2. Пусть T - пространственное тело, а оси расположены так, что любое сечение, перпендикулярное оси x этого тела, представляет собой квадрируемую фигуру

разбиения разность между верхней и нижней суммой Дарбу стремится к нулю. Это означает,

b

что T имеет объем, причем V T S x dx. ◄

a

1

Математический анализ I курс I семестр

Билет 12. Приложения интеграла: объём тела (стр. 2 из 3)

нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для интеграла из формулировки теоремы. По известной из школьного курса формуле для площади кругового сектора, эти суммы представляют собой площади фигур A1 P B1 .

2

Математический анализ I курс I семестр

Билет 12. Приложения интеграла: объём тела (стр. 3 из 3)

При измельчении разбиения эти суммы

равно искомой величине площади, поскольку A1 и B1 - квадрируемые фигуры.◄

3

Математический анализ I курс II семестр

Билет 13. Приложения интеграла: длина дуги кривой, площадь поверхности вращения (стр. 1 из 3)

Билет 13. Приложения интеграла: длина дуги кривой, площадь поверхности вращения

13.1. Длина дуги кривой

Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим

ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки.

Определение 13.1. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот

предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющей длину).

Теорема13.1. При сформулированных выше условиях (т. е. если кривая незамкнутая и без точек самопересечения, причем ее параметризация x x(t), y y(t) задается

i 0

Эта величина напоминает соответствующую интегральную сумму

Математический анализ I курс II семестр

Билет 13. Приложения интеграла: длина дуги кривой, площадь поверхности вращения (стр. 3 из 3)

Следствие 2. Если кривая задана полярным уравнением r r( ), , , то

l r2 ( ) (r'( ))2 d .

►Доказательство. Положим x r( )cos , y r( )sin . Тогда x' r'( )cos r( )sin , y' r'( )sin r( )cos , (x')2 (y')2 (r'( )cos r( )sin )2

(r'( )sin r( )cos )2 (r'( ))2 cos2 2r'( )r( )cos sin r2 ( )sin2

Вращаем кривую вокруг оси Ox . При этом получается поверхность вращения. Не входя в детали определения площади поверхности в общем случае - это будет сделано в курсе 4-ого семестра, и считая, что площадь поверхности вращения существует и обладает свойством

Действительно, считая поверхность вращения малого участка кривой вокруг оси Ox близкой к части поверхности усеченного конуса с основаниями y ti , y ti 1 и длиной образующей

2 2

x i y i (как и в теореме о длине дуги), получим, что

ti 0, получаем требуемое.

Математический анализ I курс II семестр

Билет 14. Несобственные интегралы и обобщение понятия площади плоской фигуры.