Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

chirskii-lectures-2sem

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.04.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 1 из 10)

Билет 2. Интегрирование рациональных функций.

2.1.Алгебраическое введение

Рассмотрим некоторые нужные нам в дальнейшем сведения алгебраического характера.

Всякая рациональная функция может быть представлена в виде дроби P(x) , где P(x) и

Q(x)

Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами; т.е.

P(x) b0xm b1xm 1 ... bm 1x bm , b0 0

Q(x) a0xn a1xn 1 ... an 1x an

Не нарушая общности, можно считать, что a0 1.

Такую дробь называют обычно рациональной дробью. Если m n, то рациональная дробь называется правильной; если же m n – неправильной. Если рациональная дробь

P(x) является неправильной, то делением числителя на знаменатель она может быть

Q(x)

представлена в виде суммы	P(x)	S(x)	R(x)	,	(1)
	Q(x)
			Q(x)

в которой S(x) (частное) – многочлен с показателем степени k (k m n) и R(x) (остаток) – тоже многочлен, показатель степени которого ниже показателя степени n многочлена Q(x). Таким образом, неправильная рациональная дробь может всегда быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример 1:	x5 3x3 x2	x2 1	2x 1
	x3 2x 1		x3 2x 1

В высшей математике доказывается, что всякая правильная рациональная дробь

представима в виде суммы некоторого количества так называемых простых дробей следующих четырех типов:

x a

II.	A	, 2,3,4... ,
II.		, 2,3,4... ,
	(x a)

III.

Mx N

x2 px q

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 2 из 10)

IV.		Mx N		,	2,3,4...
IV.		x2 px q		,	2,3,4...
		x2 px q
						p2	q 0	(или q	p2
Где	A, M, N, a, p,		q – постоянные действительные числа и							0);
Где	A, M, N, a, p,		q – постоянные действительные числа и			4			4	0);
						4			4

т.е. трехчлен x2 px qне раскладывается на множители.

Рассмотрим эту теорему в частных случаях.

1.Если уравнение Q(x) xn a1xn 1 ... an 0 имеет только простые действительные корни a, b, … (их всего n), то правильную рациональную дробь R(x) можно

Q(x)

представить в виде суммы простых дробей

R(x)

...

(2)

Q(x)

x a x b ...

x a

x b

Пример:

2x 2

x2 2x 3

x 1 x 3

x 1

x 3

2.Пусть уравнение Q(x) xn a1xn 1 ... an 0 опять обладает только действительными корнями, но среди этих корней имеются кратные, например, корень a кратности α, корень b кратности β, и т.д. (в частности все корни могут быть кратными). Тогда

правильную рациональную дробь

R(x)

можно представить в виде суммы простых

Q(x)

дробей

R(x)

...

x b

Q(x) x a x b

...

x a

B 1

...

x b

где в недописанной части могут быть члены, соответствующие простым корням уравнения Q(x) 0.

3. Легко проверяется, что если уравнение Q(x) 0 имеет комплексный корень

a u iv v 0 (т.е. Q a 0), то оно обязано иметь также комплексно сопряженный ему корень a u iv (т.е. Q a 0). Действительно, на основании свойств комплексного сопряжения и условия вещественности коэффициентов многочлена Q(x) xn a1xn 1 ... an заключаем, что Q(a) Q(a), и так какQ(a) 0 0(число комплексно сопряженное к нулю равно нулю), то Q(a) 0.

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 3 из 10)

В этом случае

Q(x) x a x a ... x u iv x u iv ... x u 2 v2 ...

Множитель x u 2 v2 можно, очевидно, представить в виде x2 px q, так что

уравнение x2 px q 0 имеет только комплексные корни u iv; т.е., трехчлен x2 px qне раскладывается на действительные корни.

Пусть среди корней уравнения Q(x) 0 имеются комплексные корни, которые все являются простыми. Согласно сказанному выше, совокупности этих корней будут соответствовать множители (x2 px q), x2 rx s , ... разложения многочлена

Q(x)

(т.е., Q(x) (x2 px q) x2

rx s …). При этом правильную рациональную

дробь

R(x)

можно представить в виде суммы простых дробей

Q(x)

R(x)

M1x N1

U1x W1

(4)

...

Q(x)

(x2 px q) x2 rx s ...

(x2 px q)

(x2 rx s)

Где в недописанной части могут быть члены, соответствующие действительным корням уравнения Q x 0 (смотреть предыдущие два случая).

	x	x		1	x	1			1

Пример:			3 3					3		.
		(x2 x 1)(x 1)
	x3 1		x2 x				1	x 1

4.Среди корней уравнения Q(x) 0 имеются кратные комплексные корни, например,

корень u iv кратность – , корень u1 iv1 кратности , и т.д.

Согласно сказанному выше, этим корням будут соответствовать множители


(x2 px q) , x2 rx s
		, … разложение многочлена Q(x); т.е.,
Q(x)= (x2 px q)	x2 rx s
			…

При этом правильную рациональную дробь R(x) можно представить в виде суммы

Q(x)

простых дробей

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 4 из 10)

	R(x)								R(x)									M x N
	Q(x)				x2 px q					x2								x2 px q
	Q(x)				x2 px q					x2			rx s		...			x2 px q
		M		1	x N	1					M			x N			x			1	x
				1		1		...					1	1						1	1
								...				2									1
		x2		rx s			1				x	2	px q								1
		x2		rx s							x		px q			x2 rx s			x2 rx s
...			1x 1				...															(5)
...			x2 rx s				...															(5)
			x2 rx s

где в недописанной части могут быть члены, соответствующие простым комплексным корням и действительным корням уравнения Q(x) 0 (см. предыдущие три случая).

Рассмотренные нами четыре случая полностью решают вопрос о возможности представления всякой правильной рациональной дроби в виде суммы простых дробей. Теперь встаёт вопрос: как в том или ином случае практически находятся постоянные коэффициенты в числителях простых дробей соответствующего разложения? Это делается обычно с помощью метода неопределённых коэффициентов.

В первую очередь определяют, по какой из формул (2)-(5) следует представить данную правильную дробь. Затем записывают соответствующее разложение с буквенными коэффициентами. Далее приводят все дроби к общему знаменателю, которым, естественно, будет Q(x).

Отбрасывая слева и справа этот знаменатель, приходят к равенству двух многочленов, тождественному относительно x: справа с буквенными коэффициентами, слева – с конкретными числами. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, приходят к системе уравнений, из которой и находят значения буквенных коэффициентов. Соответствующие примеры рассмотрим в пункте 2.3.

2.2.Неопределённый интеграл от рациональной функции

Теорема 2.1. Неопределённый интеграл от всякой рациональной функции всегда выражается в конечном виде через алгебраические, логарифмические и обратные тригонометрические (круговые) функции; т. е., в конце концов, через элементарные функции.


►Доказательство С помощью формул (1)-(5) (пункт 2.1)			всякую	рациональную
функцию	P(x)	можно представить в виде суммы многочлена степени k ,		если показатель

	Q(x)
степени числителя P(x) на k единиц выше показателя степени			знаменателя Q(x), и
простых дробей типов I-IV.

Тогда нахождение интеграла от данной рациональной функции приведет к нахождению интегралов от многочлена и от простых дробей. Рассмотрим все возможные случаи интегрирования.

Интеграл от многочлена степени k есть многочлен степени k 1. Действительно,

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 5 из 10)

C0xk C1xk 1 ... Ck dx

C0xk 1

C1xk

... Ck x C (алгебраическая функция).

k 1

Интегралы простых дробей I и II типов выражаются через логарифмические и

алгебраические функции. Действительно,

Adx

Aln

x a

Adx

C ( 2, 3, 4,…)

( 1) x

x a

Интегралы простых дробей III и IV типов выражаются через алгебраические, логарифмические и обратные тригонометрические функции. Имеем сначала

Mx N

x2 px q

p 2

Пусть

тогда

dx dz и

N Mz N

Обозначим

(т. к.

0). Получаем

Mx N

Mz N

px q

2zdz

ln(z

)

arctg

2 z

Возвращаясь к переменной x и подставляя вместо a его значение, получаем:

Mx N

ln(x2

px q)

N Mp

arctg

2x p

x2 px q

4q p2

Осталось указать только способ вычисления интеграла

Mx N

( 2, 3, 4,…) .

px q

Сделав преобразование и подстановку так же, как и в предыдущем случае, получаем:

Мх N

Mz (N

)

2zdz

)

(x2 px q)

(z2 a2 )

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 6 из 10)

Первый из этих интегралов находим подстановкой v z2 a2, т. е.,

2zdz

(z2 a2)

v 1

(z2 a2 ) 1

Второй интеграл

находим с помощью рекуррентной формулы

(z2 a2 )

2z2dz

(z2 a2 a2 )dz

z2 a2

2 I

2 a2I 1,

откуда

I 1

(2 1)I

, 0,1,2,...

2 a2

2 a2 (z2

a2)

Применяя

эту

формулу 1раз,

мы

приходим

вычислению

интеграла

arctg

Во всех полученных таким образом решениях заменяем

zчерез

x. На основании этих

результатов

получаем

выражение для

dx,

которое

представляет собой

(x2

px q)

выражение, содержащее алгебраическую и обратную тригонометрическую функцию

Из результатов интегрирования представленных формулами 1, 2, 3, 4, 5 вытекает справедливость теоремы.◄

2.3.Метод интегрирования рациональных функций

Доказанная в пункте 2.2 теорема позволяет сформулировать следующий метод интегрирования рациональных функций.

В данной рациональной дроби

P(x)

Q(x)

выделяется в качестве слагаемого многочлена S(x)

целая часть степени k, если показатель степени числителя P(x) выше показателя степени знаменателя Q(x) на k единиц; т. е. выписывается формула (1). Затем раскладывается знаменатель Q(x) на действительные линейные и квадратные множители, так что

Q(x) ... (x a) ... (x2 px q) . Далее правильная рациональная дробь	R(x)	формулы (1)
	Q(x)

представляется в виде суммы простых дробей согласно формулам (2)-(5); при этом коэффициенты разложения определяются методом неопределённых коэффициентов. После

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 7 из 10)

всех этих преобразований данной рациональной дроби			P(x)	находится её неопределенный
всех этих преобразований данной рациональной дроби			Q(x)	находится её неопределенный
			Q(x)
интеграл, который определяется доказанной в пункте 2.2 теоремой.
Рассмотрим примеры на применение изложенного метода интегрирования.
	x5 x4 8
1. Найти		dx
1. Найти		dx
	x3 4x

Решение. В подынтегральной функции выделяется многочлен второй степени делением числителя на знаменатель:

x5 x4 8

x2 x 4

4x2 16x 8

(6)

x3 4x

Раскладываем знаменатель данной дроби на простые множители

x3 4x x(x 2) (x 2) .

Правильную рациональную дробь формулы (6) представляем по формуле (2)

4x2 16x 8 A B

x 2

x3 4x

x x 2

Домножив на знаменатель x3 4x, получаем:

4x2 16x 8 A x2

4 Bx x 2 Cx x 2

(7)

Приводим подобные слагаемые:

4x2 16x 8 x2 A B C x 2B 2C 4A

Получаем систему трех уравнений:

A B C 4,

2B 2C 16,

4A 8.

Решая эту систему, находим A 2, B 3, C 5. Поэтому

4x2 16x 8 2

(8)

x3 4x

x 2

Приняв во внимание (6) и (8), находим:

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 8 из 10)

x4 8

dx =

x 4

)dx

x 2

4x 2ln

3ln

x 2

5ln

x 2

Замечание. Часто при нахождении коэффициентов разложения применяют другой прием, который сводится к тому, что в тождестве, полученном после отбрасывания общего знаменателя в обеих его частях придают х некоторые «выгодные» числовые значения и тем самым получают опять-таки уравнения, служащие для отыскания неизвестных коэффициентов простых дробей. Этот прием особенно выгоден в случае простых корней.

Так, в рассмотренном примере имеем тождество (7). Уравнение x3 4x 0 имеет корни

x1 0, x2 2,			x3 2. В тождестве (7) придаем x последовательно значения, равные этим
корням. Это сразу дает
При х=0			8 4A

При х=-2			24 8B
При х=2			40 8C,

Откуда A 2, B 3, C 5 (прежний результат)

Таким образом, в этом случае не приходится решать сложную систему уравнений со многими неизвестными.

x2dx

2. Найти x3 5x2 8x 4

Решение. Подынтегральная функция есть правильная дробь. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители: x3 5x2 8x 4 x 2 2 x 1 . Представляем данную дробь по формуле (3)

x2		A	A	B
		2	1
(x 2)2		(x 2)2	x 2	x 1
	(x 1)

Домножив на x 2 2 x 1 , получаем

x2 A2(x 1) A(x 2)(x 1) B(x 2)2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему трех уравнений:

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 9 из 10)

B 1,

A2 3A1 4B1 0,

A 2A 4B 0.

Решая эту систему, находим A2

4, A1

0, B1 1. Следовательно

(x 2)2(x 1)

(x 2)2

x 1

С учетом этого:

x2dx

x 1

(x 2)

(x 1)

(x 2)

x 1

x 2

Найти

4dx

x3 4x

Решение. x3 4x x(x2 4), следовательно по формуле (3)

Mx N

x(x2 4)

x2 4

После домножения на x x2

получаем:

4 A(x2 4) x(Mx N) (A M)x2 Nx 4x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему трех уравнений

A M 0,

N 0,

, откуда A 1,

M 1,

N 0,

так что

x2 4

x(x2 4) x

4A 4.

Следовательно,

4dx

xdx

x2 4

x 4

4. Найти

(x2 x) (x2 1)

Решение. По формуле (4)

Mx N

, откуда

x(x 1) (x2 1)

x 1

x2 1

1 A(x 1) (x2 1) Bx(x2

1) (Mx N)x(x 1)

(9)

Математический анализ I курс II семестр

Билет 2. Интегрированиерациональных функций (стр. 10 из 10)

При x 0, получим A 1, при x 1																		имеем B			1	,	при x 1 с участием найденных
При x 0, получим A 1, при x 1																		имеем B				,	при x 1 с участием найденных
																		2								1					1
значений, получим M N 1, при x 2 имеем 2M N																										1	, и следовательно, M				1	,
			1																				2				2
N			1		. Поэтому
N					. Поэтому
		2
						1			1		1	1			1	x 1		и
	x(x 1) (x2 1)																	и
	x(x 1) (x2 1)								x 2 x 1						2 x2 1
						dx				dx			1	dx			1	x 1	dx ln	x			1	ln	x 1				1	ln(x2 1)
						dx				dx			1	dx			1	x 1					1						1
				2			2											2
		(x				x) (x		1)			x 2			x 1 2				x 1					2					4

1 arctgx C

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.04.201516.92 Mб619CFA Level 1 (2009) - 1.pdf
#
08.04.20157.1 Mб233CFA Level 1 (2009) - 2.pdf
#
08.04.20159.18 Mб705CFA Level 1 (2009) - 3.pdf
#
08.04.201510.48 Mб375CFA Level 1 (2009) - 5.pdf
#
03.05.201512.77 Кб26Charisma.docx
#
08.04.20151.57 Mб59chirskii-lectures-2sem.pdf
#
08.04.20153.67 Mб60chirskii-lectures-4sem.pdf
#
08.04.2015182.57 Кб17CHOVUSH1.pdf
#
09.09.2019122.88 Кб16Chto_est_filosofia.doc
#
08.04.2015179.2 Кб16Cмысловое строение социального мира.doc
#
08.04.2015168.12 Кб18deloproizvodstvo--konspekt-....pdf