Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

chirskii-lectures-2sem

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.04.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Математический анализ I курс II семестр

Билет 3. Бимолекулярная реакция (стр. 1 из 1)

Билет 3. Бимолекулярная реакция

Пример применения неопределенных интегралов в исследовании математических моделей химических реакций.

Закон действующих масс для тримолекулярной реакции гласит: скорость химической реакции пропорциональна концентрациям участвующих в ней реагентов,– и выражается следующей формулой:

dx k a x b x c x , dt

где x концентрация продукта;

a, b, c, начальные концентрации реагентов.

Перепишем это равенство в виде:

kdt .

(1)

a x b x c x

Представим при a b,

a c ,

c функцию

в виде

a x b x c x

(2)

a x b x c x

a x

b x

c x

Для этого можно привести правую часть этого равенства к общему знаменателю:

A b x c x B a x c x C a x b x

a x

b x

c x

a x b x c x

A B C x2 A b c B a c C a b x Abc Bac Cab

a x b x c x

Откуда

, C

a b c a

a b b c

b c c a

Согласно (1) и (2):

a b c a

a x

a b b c

b c c a

a x b x c x

b x

c x

ln a x

ln b x

ln c x C0

a b c a

a b b c

b c c a

и, так как kdt kt C1 ,

получаем:

a x

ln b x

ln c x kt const

a b c a

a b b c

b c c a

Математический анализ I курс II семестр

Билет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.

	x
Интегрирование выражений R x,m	x	(стр. 1 из 6)
Интегрирование выражений R x,m		(стр. 1 из 6)
	x
	x

Билет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих

радикалы. Интегрирование выражений		x
	R x,m	x
	R x,m
		x
		x

4.1.Интегрирование рациональных выражений

Выше мы уже научились интегрировать рациональные дифференциалы. В дальнейшем основным приемом интегрирования тех или иных классов дифференциальных выражений будет поиск таких подстановок t x , которые привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в виде функции от t . Если при этом сама функция x , которую надлежит подставить вместо t, выражается через элементарные функции, то интеграл представится в виде функции от x.

Назовем этот прием методом рационального подынтегрального выражения. В качестве первого примера его применения рассмотрим интеграл вида

	x
R x,m	x	(1)
R x,m		(1)
	x
	x

R означает рациональную функцию от двух аргументов, m- натуральное число, а, , , - постоянные.

Пусть:	t x m	x	, tm	x	, x t	tm	.

		x		x		tm

Интеграл перейдет в R t ,t ' t dt ;

Здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как R , , ' - рациональные функции. Вычислив этот интеграл по правилу из билета 2, к старой переменной вернемся, подставив t x .

Кинтегралу вида (1) сводятся и более общие интегралы

R x, x r , x s ,... dx,

x x

где все показатели r,s,... рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общему знаменателю m, чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию x от

радикала m x .

Математический анализ I курс II семестр

Билет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.

Интегрирование выражений R x,m

(стр. 2 из 6)

Примеры.

x 1

dx.

(x 1)

x 1

Здесь дробно-линейная функция

свелась просто к линейной функции. Пусть

dx 2tdt ; тогда

x 1

t 2

2t 2

t 1 2

2t 1

x 1

dx 2

dt ln

arctg

(x 1)

t 1

x 1

t 1

где остается лишь подставить t x 1.

x 1

3 x 1 x 1

x 1 x 1

t3 1

6t2dt

Пусть t

x 1

, dx

; тогда

x 1

t3 1 2

3dt

t 2

t2 t 1

2t 1

x 1

3arctg

x 1 x 1

t 1 t

t 1

где t 3

x 1

4.2.Интегрирование биноминальных дифференциалов

Биноминальным называется дифференциал вида: xm a bxn p dx,

где a, b – любые показатели m, n, p – рациональные числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируемы.

Один такой случай ясен непосредственно: если p – число целое (положительное, нуль или отрицательное), то рассматриваемое выражение относится к типу, изученному в предыдущем пункте. Именно, если через обозначить наименьшее общее кратное

знаменателей дробей m и n, то мы имеем здесь выражение вида R x dx , так что для его представления в виде рационального выражения достаточна подстановка t x .

Преобразуем теперь данное выражение подстановкой z xn

Математический анализ I курс II семестр

Билет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.

	x
Интегрирование выражений R x,m	x	(стр. 3 из 6)
Интегрирование выражений R x,m		(стр. 3 из 6)
	x
	x

Тогда xm a bxn p dx	1		m 1	1				m 1
	1	a bz p z n			и,		предположив для краткости	m 1	1 q,
	n	a bz p z n			и,		предположив для краткости		1 q,
	n							n
будем иметь:
xm a bxn p dx						1	a bz p zqdz.	(2)
xm a bxn p dx						n	a bz p zqdz.	(2)

Если q число целое, то мы приходим к выражению уже изученного типа. Действительно, если обозначить через знаменатель дроби p , то преобразованное выражение имеет вид R z, a bz . Рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть и сразу – подстановкой:

t a bz a bxn .

a bz

p q

Наконец, перепишем

в виде

dz.

Легко увидеть, что

при p q

целом

мы

также

имеем изученный случай:

a bz

преобразованное выражение имеет вид R z,

. Подынтегральное выражение в

a bz

данном интеграле рационализируется и сразу подстановкой t

ax n b

Таким образом, оба интеграла в формуле (2) выражаются в конечном виде, если

оказывается целым одно из чисел: p, q, p q; или одно из чисел: p,	m 1	,	m 1	p.

	n		n

Эти случаи интегрируемости были известны ещё Ньютону. Однако лишь в середине прошлого столетия П.Л. Чебышев установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости для биноминальных дифференциалов нет.

Рассмотрим пример:

3			4								1		1					1
3		1	4	x dx x							1		1					1
		1		x dx x							2		(1 x				4	)		3	dx.


			x
						1								1					1				m 1			1		1
Здесь m						1		,	n					1		, p			1		; так как		m 1			2		1	2,то имеем второй случай
						2							4					3					n				1
																										4
интегрируемости. Заметив, что 3, положим (по общему правилу)
							, x t3 1 4 , dx 12t2 t3 1 3 dt;
	t 3 1 4
	t 3 1 4				x

						3 1 4									dx 12 t6							t3 dt		3	t4 4t3 7 C и т.д.
тогда						3 1 4						x												3
тогда
										x												7

Математический анализ I курс II семестр

Билет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.

		x
	Интегрирование выражений R x,m	x	(стр. 4 из 6)
	Интегрирование выражений R x,m		(стр. 4 из 6)
		x
		x
		R x,			. Подстановки
4.3.	Интегрирование выражений вида	R x,		ax2 bx c	. Подстановки

Эйлера

Переходим к рассмотрению очень важного класса интегралов R x,ax2 bx c dx.

Предполагаем, что квадратный трёхчлен не имеет одинаковых корней, так что корень из него может быть заменён рациональным выражением. Мы изучим подстановку, называемую подстановкой Эйлера (L. Euler), с помощью которой можно достигнуть здесь рационализации такого подынтегрального выражения.

Подстановка применима в случае, если a 0. Тогда полагают, что:


ax2 bx c t ax			(3)

Возведём это равенство в квадрат и приведём подобные слагаемые в обеих частях.

Получим x

t2 c

. Подставим x в формулу (3):

at b

t 2

at b

t2 c

at2

at2 ca

c t a

2 at b

at2

at b

И dx 2

at bt ca

at b 2

	Всё остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для определения x
получается уравнение первой степени , так что x,		а одновременно с ним также и радикал

	ax2 bx c выражаются рационально через t: t		ax2 bx c
	ax2 bx c выражаются рационально через t: t		ax2 bx c	ax.

4.4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрическую и

показательную функции. Интегрирование дифференциалов R sin x,cosx dx

Дифференциалы		вида R sin x,cosx dx всегда могут быть рационализированы
подстановкой t tg	x	x . Действительно,

Математический анализ I курс II семестр

Билет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.

Интегрирование выражений R x,m

(стр. 5 из 6)

2tg

1 tg

1 t2

2dt

sin x

cosx

x 2arctgt, dx

2 x

1 t2

1 tg

1 t2

1 tg

1 t2

так что:

1 t

2dt

2 ,

2 .

R sin x,cosx dx R

1 t

Таким образом, интегралы типа R sin x,cosx dx всегда берутся в конечном виде; для

их выражения, кроме функций, встречающихся при интегрировании рациональных дифференциалов, нужны лишь её тригонометрические функции.

Упомянутая подстановка, являющаяся универсальной для интеграла определенного типа, приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок. Предварительно сделаем следующие элементарные замечания из области алгебры:

Если целая или дробная рациональная функция R u, не меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов, например, u (т.е. если R u, R u, ), то она может быть приведена к виду R u, R1 u2, , содержащему лишь чётные степени u .

Если же, наоборот, при изменении знака	u функция R u, также меняет знак (т.е.
если R u, R u, ), то она приводится к	виду R u, R2 u2 , u ;

Это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить к функции R u, . u

I.Пусть R u, меняет знак при изменении знака u ; Тогда:

R sin x,cosx dx R0 sin2 x,cosx sin xdx R0 1 cos2 x,cosx dcosx,

и рационализация достигается подстановкой t cosx.

II.Если R u, меняет знак при изменении знака , то

R sin x,cosx dx R* sin x,cos2	x cosxdx R* sin x,1 sin2 x d sin x, и здесь
0	0

целесообразна подстановка t sin x.

III.Предположим наконец, что функция R u, не меняет своего значения при одновременном изменении знаков u и :

R u, R u, .

Математический анализ I курс II семестр

Билет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.

	x
Интегрирование выражений R x,m	x	(стр. 6 из 6)
Интегрирование выражений R x,m		(стр. 6 из 6)
	x
	x

* u

В этом случае, заменяя u на

, будем иметь R u, R

. По

свойству функции R , если изменить знаки u и (отношение

при этом не

изменится), R

* u

как мы знаем, R

* u

, , а тогда,

tgx,cos

x R

Поэтому. R sin x,cosx R

tgx,

, т.е. R sin x,cosx

R tgx .

1 tg

Здесь достигает цели подстановка t

tgx

, ибо R sin x,cosx R

1 t2

Замечание. Нужно сказать, что каково бы ни было рациональное выражение R u, , его всегда можно представить в виде суммы трёх выражений рассмотренных выше частных типов. Например, можно предположить

R u, R u, R u, R u, R u, R u, R u,

2 2 2

Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака u , второе меняет знак при изменении знака , а третье сохраняет значение при одновременном изменении знака u и . Разбив выражение R sin x,cosx на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку t cosx, ко второму подстановку - t sin x и, наконец, к третьему – подстановку t tgx типа. Таким образом, для вычисления интегралов типа (1) достаточно этих трёх подстановок.

Для вычисления интегралов sin axcosbxdx,	sin axsinbxdx,	cosaxcosbxdx
используются формулы

sin axcosbx 1 sin a b x sin a b x , 2

sin axsinbx 1 cos a b x cos a b x , 2

cosaxcosbx 1 cos a b x cos a b x . 2

Математический анализ I курс II семестр

Билет 5. Площадь плоской фигуры (стр. 1 из 4)

Билет 5. Площадь плоской фигуры.

5.1.Площадь фигуры

Вэтом пункте мы дадим определение понятия «площадь фигуры». Задача о вычислении площади плоской фигуры, ограниченной кривыми линиями, является весьма актуальной. Отправной точкой считается понятие площадь треугольника. Это понятие считается известным. Для того, чтобы определить площадь многоугольника, разобьём его на треугольники, вычислим площади этих треугольников и просуммируем их. Следует доказать корректность этого определения. Это означает, что если разбить многоугольник на треугольники другим способом, то его площадь от этого не измениться. Докажем это.

►Возьмем два разбиения многоугольника на треугольники:

Построим общее разбиение:

Получится разбиение

многоугольников, которые можно

«доразбить» до треугольников.

Тогда площади частей как 1-го, так и 2-го разбиения получаются, как суммы площадей маленьких треугольников из результирующего разбиения. Поэтому суммы частей 1-го и 2- го разбиения.◄

Площадь многоугольника обладает следующими свойствами:

1.Площадь любого многоугольника неотрицательна;

2.Если A, B- многоугольники, то S A B S A S B S A B ,в частности,

если S A B 0, то S A B S A S B . Это свойство называется

аддитивностью площади. Из него следует, что если A B , то S A S B .

Пусть теперь P- ограниченная плоская фигура. Рассмотрим множество A

многоугольников таких, что A P и множество B многоугольников таких, что P B .

Математический анализ I курс II семестр

Билет 5. Площадь плоской фигуры (стр. 2 из 4)

Множество площадей {S A } многоугольников A P ограничено сверху площадью любого многоугольника B такого, что P B . Поэтому существует точная верхняя грань

этого числового множества, sup S A .

A P

Аналогично, для множества площадей {S B }многоугольников B , P B , существует

точная нижняя грань inf S B .

P B

Определение 5.1. Плоская фигура P называется имеющей площадь (квадрируемым множеством), если:

sup{S(A)} inf{S(B)} S P ,

A B P B

при этом общее значение этих величин называется её площадью S P .

Нетрудно заметить, что:

1.Площадь любой квадрируемой фигуры P неотрицательна, т.к., по определению

пл.(P) inf{пл.(B)},а все S B 0.

2.Аддитивность площади, т.е. равенство S Р1 Р2 S Р1 S Р2 S Р1 Р2 также имеет место для квадрируемых фигур P1,P2.

►Докажем это равенство в случае, когда S Р1 Р2 0

Пусть		0. Выберем многоугольники			Ai ,Bi ,i 1,2, так, чтобы
Ai Pi	Bi	, S P1	S Ai	, S Bi S Pi		Тогда A1 A2 P1 P2 B1 B2 и

			4		4
A1 A2	P1	P2,	откуда S(A1 A2) S(P1 P2) 0, т.е. S(A1 A2) 0.

Следовательно,


S(A A ) S(A ) S(A ) S(Р ) S(Р )									S(P) S(P )				.

1	2	1	2	1	2	4	4		1	2	2
S(B B ) S(B ) S(B ) S(P) S(P )								S(P) S(P )				.
						4					2
1	2	1	2	1	2		4		1	2

Поэтому:

S(P1) S(P2) 2 S(A1 A2) S(B1 B2) S(B1) S(B2) S(P1)

S(P2) 2.

Ввиду произвольности числа 0, это означает, что P1 P2 имеет площадь, и

S(P1 P2 ) S(P1) S(P2), что и требовалось доказать. ◄

Математический анализ I курс II семестр

Билет 5. Площадь плоской фигуры (стр. 3 из 4)

Теорема 5.1. Пусть P- плоская фигура, {R}- множество квадрируемых фигур

R,R P,{Q}- множество квадрируемых фигур и если sup{S(R)} inf{S(Q)},то P-

R P P Q

квадрируемая фигура, причем её площадь равна общему значению этих величин.

►Для доказательства достаточно для произвольного 0 выбрать сначала квадрируемые фигуры R, Q так, чтобы R P Q иS(Q) S(R) . Затем выберем

			2
многоугольники A и В, A R P Q B так, что S(R) S(A)				, S(B) S(Q)		,
					4
			4
тогда S(B) S(A)			.

4	2	2

Таким образом, для фигуры P можно выбрать многоугольники A и B так, что

A P B и площади A и B столь угодно близки, что и означает квадрируемость P .◄

5.2.Определение интеграла.

Для дальнейшего потребуется понятие разбиения отрезка.

Определение 5.2. Точки x0 a x1 ... xn 1 xn b задают разбиение отрезка a;b .

Для краткости будем обозначать разбиение буквой T .

Обозначим xi	xi 1 xi ,i 0,1,...,n 1.
Определение 5.3. Наибольшее из чисел
xi ,i 0,1,...,n 1	называется диаметром
разбиения T и обозначается d(T).
Определение 5.4. Если произвольным
образом выбрать точки i , i xi ;xi 1 ,i 0,1,...,n 1, то получится разбиение T с
отмеченными точками i ,i 0,1,...,n 1.

Иногда, для краткости, будем обозначать набор точек 0 , 1,..., n 1 символом .

Определение 5.5. Пусть функция f (x) определена на отрезке a;b , и пусть задано разбиение T этого отрезка с отмеченными точками . Интегральной суммой называется

n 1

величина i 0 f ( i ) xi .

Для обозначения интегральной суммы будем использовать символ ( f (x),T, ), или

просто .
	f x	Для	неотрицательной		функции		f (x)
		интегральная сумма		( f (x),T,		) представляет
f i
f i
		собой	просто	площадь		ступенчатого
		многоугольника,		составленного			из

xпрямоугольников с основаниями xi , имеющих высоты, равные f ( i ) .

a	i	b

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.04.201516.92 Mб619CFA Level 1 (2009) - 1.pdf
#
08.04.20157.1 Mб233CFA Level 1 (2009) - 2.pdf
#
08.04.20159.18 Mб705CFA Level 1 (2009) - 3.pdf
#
08.04.201510.48 Mб375CFA Level 1 (2009) - 5.pdf
#
03.05.201512.77 Кб26Charisma.docx
#
08.04.20151.57 Mб59chirskii-lectures-2sem.pdf
#
08.04.20153.67 Mб60chirskii-lectures-4sem.pdf
#
08.04.2015182.57 Кб17CHOVUSH1.pdf
#
09.09.2019122.88 Кб16Chto_est_filosofia.doc
#
08.04.2015179.2 Кб16Cмысловое строение социального мира.doc
#
08.04.2015168.12 Кб18deloproizvodstvo--konspekt-....pdf