Лекции МГУ Артамонов Линал
.pdf
2. |
41 |
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¥®à¥¬ 8.14. (f; g) = rk+2. |
|
|
|
®ª § ⥫ìá⢮. § ¯à¥¤¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠|
¢ (37) ¢ë⥪ ¥â, çâ® rk+2jrk+1, ¨ â. |
||
¤. ®¤¨¬ ïáì ¢¢¥àå ¯®«ãç ¥¬, çâ® rk+2jg; rk+2jf. |
|
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¡à â®, ¥á«¨ d0jf; d0jg, â® ¨§ ¯¥à¢®£® à ¢¥á⢠|
¢ (37) ¯®«ãç ¥¬, çâ® d0jr1, |
¨§ ¢â®à®£® |
|
{ d0jg. ¢¨£ ïáì ¢¨§, ¯®«ãç ¥¬, çâ® d0jrk+2. |
|
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«¥¤á⢨¥ 8.15. ãáâì d = (f1; : : : ; fm). |
®£¤ |
áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¬®£®ç«¥ë |
|
u1; : : : ; um, çâ® |
|
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|
d = u1f1 + + umfm:
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫ㠯।«®¦¥¨ï 8.13 ¬®¦® áç¨â âì, çâ® m = 2, ¨ f1 = f; f2 = g. áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «£®à¨â¬®¬ (37). 
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.16. ®£®ç«¥ë f1; : : : ; fm ¢§ ¨¬® ¯à®áâë, ¥á«¨ (f1; : : : ; fm) = 1.
।«®¦¥¨¥ 8.17. ®£®ç«¥ë f1; : : : ; fm ¢§ ¨¬® ¯à®áâë, ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¬®£®ç«¥ë u1; : : : ; um, çâ®
1 = u1f1 + + umfm:
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.18. ®£®ç«¥ p á⥯¥¨ deg p 1 §ë¢ ¥âáï ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¬, ¥á«¨ p ¥ à §« £ ¥âáï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬®£®ç«¥®¢ ¬¥ì襩 á⥯¥¨.
¯à ¦¥¨¥ 8.19. ®ª § âì, çâ®
(1)«î¡®© ¬®£®ç«¥ ¯¥à¢®© á⥯¥¨,
(2)¬®£®ç«¥ X2 + 1 2 R[X]
¥¯à¨¢®¤¨¬.
।«®¦¥¨¥ 8.20. ãáâì p 2 R[X] ¥¯à¨¢®¤¨¬ ¨ f 2 R[X]. ®£¤ «¨¡® (p; f) = 1, «¨¡® pjf.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì d = (p; f), ¨ f = f0d. ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï 8.18 «¨¡® deg d = 0, «¨¡® deg d = deg p.
¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 8.7 í«¥¬¥â d ®¡à ⨬, â. ¥. ¢ ᨫ㠯।«®¦¥¨ï 8.13
¬®¦® áç¨â âì, çâ® d = 1.
ãáâì deg d = deg p. ®£¤ p = dc; £¤¥ c { ¥ã«¥¢ ï ª®áâ â , â. ¥. d = pc 1: âáî¤ f = pc 1f0. 
।«®¦¥¨¥ 8.21. ãáâì p 2 R[X] ¥¯à¨¢®¤¨¬ ¨ pj(fg), £¤¥ f; g 2 R[X]. |
®£¤ |
«¨¡® pjf, «¨¡® pjg. |
|
®ª § ⥫ìá⢮. ® ¯à¥¤«®¦¥¨î 8.20 ¬®¦® áç¨â âì, çâ® (p; f) = 1. ®£¤ |
1 = |
fu + pv ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 8.17. âáî¤ g = 1g = fgu + pvg: ®í⮬ã pjg. |
|
¥®à¥¬ 8.22. î¡®© ¥ã«¥¢®© ¬®£®ç«¥ à §« £ ¥âáï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¥¯à¨¢®¤¨- |
|
¬ëå ¬®£®ç«¥®¢. ᫨ |
|
f = p1 pn = q1 qm |
(38) |
{ ¤¢ à §«®¦¥¨ï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¬®£®ç«¥®¢ p1; : : : ; pn; q1; : : : ; qm, â® n = m, ¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ¯¥à¥áâ ®¢ª 2 Sn, çâ® pi = ciq i, £¤¥ ci { ¥ã«¥¢ ï ª®áâ â .
®ª § ⥫ìá⢮. ãé¥á⢮¢ ¨¥.
¤ãªæ¨ï ¯® deg f. «ãç © deg f = 1 ®ç¥¢¨¤¥, â ª ª ª ¢ í⮬ á«ãç ¥ f ¥¯à¨¢®¤¨¬.ãáâì ¤«ï ¬¥ìè¨å á⥯¥¥© ã⢥ত¥¨¥ ¤®ª § ®. ᫨ f ¥¯à¨¢®¤¨¬, â® ã⢥ত¥¨¥
42 8.
¤®ª § ®. ᫨ f = gh, £¤¥ deg g; deg g < deg f, ⮠㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨¤ãªæ¨¥© ¤«ï g; h.
¤¨á⢥®áâì. ¤ãªæ¨ï ¯® deg f. «ãç © deg f = 1 ®ç¥¢¨¤¥. ãáâì ¤«ï ¬¥ì-
è¨å á⥯¥¥© ã⢥ত¥¨¥ ¤®ª § ®, ¨ ¢ë¯®«¥® (38). ® ¯à¥¤«®¦¥¨î 8.21 p1jqi ¤«ï ¥ª®â®à®£® i. ¥à¥ã¬¥à®¢ë¢ ï, ¬®¦® áç¨â âì, çâ® i = 1. ᨫ㠥¯à¨¢®¤¨¬®á⨠q1 ¯®«ãç ¥¬ q1 = c1p1, £¤¥ c1 { ¥ã«¥¢ ï ª®áâ â . ®£¤
p1(p2 pn (c1q2)q3 qm) = 0:
® ¯à¥¤«®¦¥¨î 8.8 ¨ ã¯à ¦¥¨î 7.24 ¯®«ãç ¥¬, çâ®
p2 pn (c1q2)q3 qm = 0;
¨«¨
p2 pn = (c1q2)q3 qm:
¯® ¨¤ãªæ¨¨ n 1 = m 1 ¨ pi = ciqi; i 2; ci 2 R . |
|
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.23. ᨫã ⥮६ë 8.22 ª ¦¤ë© ¥ã«¥¢®© ¬®£®ç«¥ |
f 2 R[X] ®¤- |
®§ ç® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ |
|
f = p1l1 pnln ; c 2 R ; li 2 N [ 0; |
(39) |
£¤¥ p1; : : : ; pn { ã¨â àë¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¬®£®ç«¥ë. ¨á«® li §ë¢ ¥âáï ªà â®áâìî pi ¢ f.
¥®à¥¬ 8.24. ãáâì char R = 0, ¨ f ¬®£®ç«¥ p ¢ f, â® ªà â®áâì p ¢ f0 à
2 R[X] n0. ᫨ k { ªà â®áâì ¥¯à¨¢®¤¨¬®£®
¢ |
k 1. |
|
®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥¥¬ f = pkg, £¤¥ (p; g) = 1. ®£¤ |
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||||||||||||
|
|
f0 = kpk 1p0g + pkg = pk 1(kp0g + pg0): |
|
(40) |
||||||||||
«¥¤®¢ ⥫ì®, pk 1 f0. ᫨ pk |
f0, â® ¯® |
p |
(kp0g + pg0), ¨ ¯®í⮬ã p kp0g. ® ¯à¥¤«®¦¥- |
|||||||||||
¨î 8.21 «¨¡® pjkp0 |
, j«¨¡® |
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
pjg, ® ¢â®à®¥ ¥¢®§¬®¦® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î, ¯¥à¢®¥ ¥¢®§- |
|||||||||||||
¬®¦®, ¨¡® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î kp0 = 0 ¨ deg(kp0) < deg p. |
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6 |
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«¥¤á⢨¥ 8.25. ãáâì char R = 0, ¨ f 2 R[X] n 0 ¨¬¥¥â à §«®¦¥¨¥ (39). ®£¤ |
||||||||||||||
|
|
d = (f; f0) = p1l1 1 pnln 1; ¨ |
|
f |
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= p1 |
pn: |
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d |
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||||||||||
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3. ®à¨ ¬®£®ç«¥®¢ |
|
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¥¤¥«¥¨¥ 8.26. ãáâì |
R |
{ ¯®«¥ ¨ |
c 2 R |
. «ï |
a |
¨§ (36) ¯®«®¦¨¬ |
a(c) = a0 + a1c + |
|||||||
¯àn |
: «¥¬¥â |
|
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||||||
+ anc |
ï¥âáï ª®à¥¬ a, ¥á«¨ a(c) = 0. |
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|
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|||||||
¯à ¦¥¨¥ 8.27. ãáâì f; g 2 R[X]. ®£¤
(f + g)(c) = f(c) + g(c); (fg)(c) = f(c)g(c):
¥®à¥¬ 8.28 ( ¥®à¥¬ ¥§ã). «¥¬¥â c 2 R ï¥âáï ª®à¥¬ f 2 R[X] ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ (X c)jf.
®ª § ⥫ìá⢮. ¥«ï f á ®áâ ⪮¬ X c ¯®«ãç ¥¬, çâ® f = (X c)q + r, £¤¥ r 2 R. âáî¤ r = f(c). 
3. |
43 |
⬥⨬, çâ® ¥á«¨ c 2 R, â® ¤¥«ï «î¡®© ¬®£®ç«¥ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® á ®áâ ⪮¬ X c, ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï f à §«®¦¥¨¥ ¥©«®à
f = b0 + b1(X c) + + bn(X c)n: |
(41) |
§«®¦¨¬ á奬㠮à¥à ¤«ï ¡ëáâண® ¢ëç¨á«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ bi ¢ (41) ¯® ª®íää¨æ¨-
¥â ¬ f. «ï í⮣® 㦮 㬥âì ¤¥« âì ®¤¨ è £ ¤¥«¥¨ï |
X c. ãáâì |
|
f = a0 + a1X + + anXn = g(X c) + r; |
r 2 R; |
(42) |
£¤¥
g = s0 + s1X + + sn 1Xn 1:
®¤áâ ¢«ïï ¢ (42) ¯®«ãç ¥¬
a0 + a1X + + anXn = (X c)(s0 + s1X + + sn 1Xn 1) + r:
à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå X, ¯®«ãç ¥¬ |
||
an |
= |
sn 1 |
an 1 = sn 2 csn 1 |
||
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
||
a1 |
= |
s0 cs1 |
a0 |
= |
r cs0: |
âáî¤ |
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sn 1 |
= |
|
an |
|
|
|
|
|
sn 2 = an 1 + csn 1 |
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||||
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
(43) |
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s0 |
= |
a1 + cs1 |
|
|
||
|
|
r |
= |
a0 + cs0: |
|
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||
®à¬ã«ë (43) ¯®§¢®«ïîâ ¡ëáâà® § |
n 㬮¦¥¨© ¢ëç¨á«¨âì r = f(c). ¥§ã«ìâ âë íâ¨å |
|||||||
¢ëç¨á«¥¨© ®¡ëç® § ¯¨áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥ â ¡«¨æë |
|
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|||||
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an |
|
an 1 |
: : : |
a1 |
a0 |
(44) |
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a0 = sn 1 |
|
s1 |
|
|||
|
c |
sn 2 |
: : : |
r |
|
|||
¥«ï ¤ «¥¥ g á ®áâ ⪮¬ X c ¯®«ãç ¥¬, ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã ¥©«®à . ¥§ã«ìâ âë íâ¨å ¢ëç¨á«¥¨© § ¯¨è¥¬ ¢ â ¡«¨æã
|
an |
an 1 |
: : : |
a1 |
a0 |
|
|
c |
an = sn 1 |
sn 2 |
: : : |
s1 |
r = b0 |
|
|
c |
an = tn 2 |
tn 3 |
: : : |
t0 = b1 |
|
; |
(45) |
. |
. |
. |
. |
|
|
||
. |
. |
. |
. |
|
|
|
|
. |
. |
. |
. |
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c |
an = u1 |
u0 = bn 1 |
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|
|
c |
an = bn |
|
|
|
|
|
|
£¤¥ bi ¨§ (41).
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.29. à â®áâìî ª®àï c ¬®£®ç«¥ f §ë¢ ¥âáï ªà â®áâì ¥¯à¨- ¢®¤¨¬®£® ¬®¦¨â¥«ï X c ¢ f. à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ªà â®áâì à ¢ k, ¥á«¨ (X c)kjf, ®
(X c)k+1 - f.
â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ᮣ« ᮢ ® á ⥮६®© ¥§ã 8.28
¯à ¦¥¨¥ 8.30. «¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:
(1) ªà â®áâì ª®àï c ¬®£®ç«¥ f à ¢ k;
(2) ¢ ä®à¬ã«¥ ¥©«®à
f = bk(X c)k + bk+1(X c)k+1 + + bn(X c)n; bk 6= 0:
44 8.
᫨ c1; : : : ; cm { à §«¨çë¥ ª®à¨ f á ªà â®áâﬨ k1; : : : ; km, â® f = (X c1)k1 (X cm)km g:
®í⮬ã á¯à ¢¥¤«¨¢®
।«®¦¥¨¥ 8.31. 㬬 ç¨á« ª®à¥© (á ªà â®áâﬨ) ¥ ¯à¥¢®á室¨â á⥯¥¨ ¬®£®ç«¥ .
¯à ¦¥¨¥ 8.32. ãáâì R { ¯®«¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ 0. «¥¬¥â c 2 R ï¥âáï ªà â- ë¬ ª®à¥¬ (ª®à¥¬ ªà â®á⨠2) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ c ®¡é¨© ª®à¥ì ¬®£®- ç«¥ ¨ ¥£® ¯à®¨§¢®¤®©.
4. â¥à¯®«ïæ¨ï
ãáâì R { ¯®«¥ á à §«¨ç묨 í«¥¬¥â ¬¨ a0; a 1; : : : ; an, ¨ b0; b 1; : : : ; bn 2 R.áᬮâਬ ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ £à ¦
|
n |
(X |
a0) (X ai 1)(X ai+1) (X an) |
|
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|
||||||||||||||||||||||||
F = |
bi |
: |
|
(46) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Xi |
(ai |
|
a0) |
|
(ai |
|
ai |
|
1)(ai |
|
ai+1) |
|
(ai |
|
an) |
|
||||||||||||||
=0 |
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||
¥®à¥¬ 8.33. deg F n ¨ F (aj) = bj ¤«ï ¢á¥å j = 0; : : : ; n. |
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|||||||||||||||||||||||||
®ª § ⥫ìá⢮. |
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||
|
n |
|
(aj a0) (aj |
ai 1)(aj |
ai+1) (aj an) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
F (aj) = |
bi |
|
= bj: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Xi |
|
( a i |
|
|
a0) |
|
(ai |
|
ai |
|
1)(ai |
|
ai+1) |
|
(ai |
|
an) |
|
|||||||||||
|
=0 |
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥®à¥¬ 8.34. ãé¥áâ¢ã¥â ¢ â®ç®á⨠®¤¨ ¬®£®ç«¥ F á⥯¥¨ n á ãá«®¢¨¥¬
F (aj) = bj ¤«ï ¢á¥å j = 0; : : : ; n.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢ ¬®£®ç«¥ F1; F2 á í⨬ ãá«®¢¨¥¬. ®£¤ G = F1 F2 6= 0, ¯à¨ç¥¬ deg G n, ¨ í«¥¬¥âë a0; a 1; : : : ; an ï¥âáï ¥£® ª®àﬨ.â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⥮६¥ 8.31. 
«¥¤á⢨¥ 8.35. ãáâì R { ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®«¥. ᫨ ¤¢ |
¬®£®ç«¥ f; g § ¤ îâ ®¤¨- |
ª®¢ãî äãªæ¨î R, â. ¥. f(c) = g(c) ¤«ï ¢á¥å c 2 R, â® f = g. |
|
¥®à¥¬ 8.36. ãáâì R { ¯®«¥ ¨§ q í«¥¬¥â®¢. ®£¤ |
¥ã«¥¢®© ¬®£®ç«¥ Xq X |
§ ¤ ¥â ã«¥¢ãî äãªæ¨î R. |
|
®ª § ⥫ìá⢮. ᥠ¥ã«¥¢ë¥ í«¥¬¥âë R ¯®«ï R ®¡à §ãîâ ¬ã«ì⨯«¨ª ⨢ãî £à㯯㠯®à浪 q 1. ᫨ c 2 R , â® ¯®à冷ª c ¢ í⮩ £à㯯¥ ¤¥«¨â q 1 ¯® á«¥¤á⢨î 6.40.®í⮬㠯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 6.16 cq 1 = 1, ®âªã¤ cq = c. â® à ¢¥á⢮ ¢¥à® ¨ ¤«ï ã«¥¢®£® í«¥¬¥â .
5. ®à¨ ¬®£®ç«¥®¢ ¤ C ¨ R |
|
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¥®à¥¬ 8.37 ( ᮢ ï ⥮६ |
«£¥¡àë) . ãáâì f 2 C[X] |
¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì- |
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ãî á⥯¥ì. ®£¤ f ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ì. |
|
|
|
|
®ª § ⥫ìá⢮. ਢ¥¤¥¬ ¤¢ |
¤®ª § ⥫ìá⢠|
í⮩ ⥮६ë. |
|
|
¥à¢®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ |
|
|
|
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ãáâì f ¥ ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥©. ®£¤ F = |
1 |
«¨â¨ç |
¢ C ¨ ®£à ¨ç¥ . ® |
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|
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f |
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⥮६¥ ¨ã¢¨««ï ® ¯®áâ®ï . ® ⮣¤ ¨ f ¯®áâ®ï , çâ® ¥¢¥à® ¯® á«¥¤á⢨î 8.35.
|
|
|
|
|
5. C R |
|
|
|
45 |
||||||||||
â®à®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||
¥¬¬ 8.38. ãáâì f 2 C[X] ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ìãî á⥯¥ì. ᫨ |
z ! 1, ¯® |
||||||||||||||||||
jf(z)j ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||
®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ f ¨¬¥¥â ¢¨¤ |
|
|
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|||||||||||
®£¤ |
|
|
|
f = a0 + a1X + + anXn; |
an 6= 0: |
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|
(47) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
jnzj1j |
jjzj0nj |
: |
|||
jf(z)j = jzjnjan + ajnzj1 + + jzj0n j jzjn janj j |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
||
à®á⮬ jzj ç¨á«® |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
janj |
jajnzj1j |
|
j 0j |
: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
jzjn |
|
|
|
|
|||||||||
®£à ¨ç¥® ᨧ㠥ª®â®àë¬ M. ®í⮬ã jf(z)j jzjnM. |
(47) ¨ f(z0) 6= 0, â® ¢ «î¡®© |
||||||||||||||||||
¥¬¬ 8.39 ( ¥¬¬ |
|
« ¬¡¥à ). ᫨ f ¨¬¥¥â ¢¨¤ |
|||||||||||||||||
®ªà¥áâ®á⨠z0 ©¤¥âáï â ª®¥ ç¨á«® z, çâ® jf(z)j < jf(z0)j: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
®ª § ⥫ìá⢮. §«®¦¨¬ f(z) ¢ àï¤ ¥©«®à |
¢ ®ªà¥áâ®á⨠z0. ¥«ï íâ® à §«®- |
||||||||||||||||||
¦¥¨¥ f(z0) 6= 0, ¯®«ãç ¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
f(z) |
= 1 + cpzp + cp+1zp+1 + + cnzn; cp; cn 6= 0: |
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ãáâì z1 2 C ¨ z1p = |
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. ᫨ z = z0 + tz1; t 2 (0; 1) R, ⮠|
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cp |
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f(z) = 1 tp + tp+1hn p 1(t); f(z0)
£¤¥ hn p 1(t) 2 C[t] ¨¬¥¥â á⥯¥ì n p 1. ᫨ C { ¬ ªá¨¬ã¬ ¬®¤ã«¥© ª®íää¨æ¨¥â®¢
1 hn p 1(t), â® ¯à¨ t < C(n p)
f(z)
f(z0) 1 tp + jhn p 1(t)j 1 tp + C(n p)tp+1 = 1 tp(1 C(n p)t) < 1:
¢¥à訬 ¢â®à®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë. ᫨ f 2 C[X] ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ìãî áâ¥- ¯¥ì, ¨ ã f ¥â ª®à¥©, â® 1 > M = infz2C jf(z)j > 0: 롥६ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì â ª¨å ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« zk, çâ® f(zk) ! M. ᫨ íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥®£à ¨ç¥ , â® ¨§
¥¥ ¬®¦® ¢ë¡à âì ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì zik ! 1. ®«ãç ¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á «¥¬¬®© 8.38.
ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì zk ®£а ¨з¥ . б¨«г ¯®«®вл C ¢ ¥© ¬®¦® ¢л¡а вм б室пйгобп ¯®¤¯®б«¥¤®¢ в¥«м®бвм. ¥§ ®£а ¨з¥¨п ®¡й®бв¨ ¬®¦® бз¨в вм, зв® нв® ¨б室 п ¯®б«¥¤®¢ в¥«м®бвм. в ª, zk ! z0. ®£¤ f(zk) ! f(z0) = M. ᨫ㠫¥¬¬ë« ¬¡¥à ¯®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. 
«¥¤á⢨¥ 8.40. ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¬®£®ç«¥ë ¤ C ¨¬¥îâ á⥯¥ì 1. ç áâ®áâ¨, ª ¦¤ë© ¬®£®ç«¥ f 2 C[X] ®¤®§ ç® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥
f = a(X c1)k1 (X cm)km ; a 2 C;
£¤¥ c1; : : : ; cm à §«¨çë¥ ª®à¨ f ªà â®á⥩ k1; : : : ; km.
®ª § ⥫ìá⢮. ®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६ ¬¨ 8.37, 8.28.
46 8.
।«®¦¥¨¥ 8.41. ãáâì f 2 R[X] ¨ c 2 C { ª®à¥ì f. ®£¤ c â ª¦¥ ª®à¥ì f.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f ¨¬¥¥â ¢¨¤ 47. ®£¤
0 = f(c) = a0 + a1c + + ancn = a0 + a1c + + ancn = a0 + a1c + + ancn = f(c):
¯à ¦¥¨¥ 8.42. ãáâì f 2 R[X] ¨ c 2 C { ª®à¥ì f ªà â®á⨠k. ®£¤ c â ª¦¥ ª®à¥ì f ªà â®á⨠k.
¥®à¥¬ 8.43. ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¬®£®ç«¥ë ¤ R ¨¬¥îâ á⥯¥ì 2: ç áâ®áâ¨, ª ¦¤ë© ¬®£®ç«¥ f 2 R[X] ®¤®§ ç® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥
f = a(X c1)k1 (X cm)km (X2 + p1X + q1)l1 (X2 + psX + qs)ls ; a 2 R;
£¤¥ c1; : : : ; cm à §«¨çë¥ ª®à¨ f ªà â®á⥩ k1; : : : ; km, ¬®£®ç«¥ë (X2 +piX +qi)li 2 R[X] à §«¨çë ¨ ¥ ¨¬¥îâ ¢¥é¥á⢥ëå ª®à¥©.
ਢ¥¤¥¬ ®æ¥ªã ¬®¤ã«¥© ª®à¥© ª®¬¯«¥ªá®£® ¬®£®ç«¥ .
¥®à¥¬ 8.44. ãáâì f 2 C[X] ¨¬¥¥â ¢¨¤ (47). ।¯®«®¦¨¬, çâ® an 1 = = = 0; ¨ an; ak 6= 0, £¤¥ 0 k < n. ®«®¦¨¬
B = max(jakj; jak 1j; : : : ; ja0j):
᫨ z 2 C { ª®à¥ì f, â® |
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B |
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jzj 1 + n sk |
B |
: |
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|
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jf(z)j = janzn + akzk + + a1z + a0j janznj jakzk + + a1z + a0j |
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a |
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z |
n |
k |
a |
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z |
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a z |
n |
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k |
z |
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a |
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z |
n |
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B |
jzjk+1 1 |
= |
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njj j |
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jjj j |
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j njj j |
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Pj=0 j j |
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njj j |
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j j |
jzjn(jzj |
1) |
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jzjk+1 + |
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> |
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j j |
jzjn(jzj 1) |
|
jzjk+1 = |
||||||||||||||||||||||||
jzj 1 |
janj |
janj |
jzj 1 |
janj |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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z k+1 |
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jzjn k 1(jzj 1) |
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: |
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jzj 1 |
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janj |
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ª¨¬ ®¡à §®¬, ®áâ ¥âáï ¯®ª § âì, çâ® |
|
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1) > |
B |
: |
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jzj 1 = n sk |
B |
> 0: |
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jzjn k 1 |
B |
(1 + )n k 1 n k = [(1 + )n k 1 n k 1] > 0; |
(jzj 1) janj |
¨¡® 1 + > :
5. C R |
47 |
ਢ¥¤¥¬ «£®à¨â¬ âãଠ¯à¨¡«¨¦¥®£® 宦¤¥¨ï ¢¥é¥á⢥ëå ª®à¥© ¬®- £®ç«¥®¢ ¢¥é¥á⢥묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ f 2 R[X], â® ¯® á«¥¤áâ-
f
(f; f0) 2 R[X] ¨¬¥¥â ⥠¦¥ ª®à¨, çâ® ¨ f, ® ¨å ªà â®á⨠áâ ®¢ïâáï
f
à ¢ë¬¨ 1, â. ¥. (f; f0) ¥ ¨¬¥¥â ªà âëå ª®à¥©.
|
f 2 R[X] |
.¥ «¥¥ ª ¦¤®¥ ¤«ï «î¡®£® |
|
|
¥®à¥¬ 8.45 ( âãà¬). ãáâì |
|
¨¬¥¥â ªà âëå ª®à¥©. ®áâந¬ ¯®- |
||
á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì âãଠf0 = f; ¨ f1 = f0 |
|
fi 1, â. ¥. |
i 2 ç¥à¥§ fi |
|
®¡®§ 稬 ®áâ ⮪ á® § ª®¬ - ®â ¤¥«¥¨ï fi 2 |
|
|||
fi 2 = gi 1fi 1 fi: |
|
(48) |
||
ãáâì u < v { ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ ç¨á« , ¥ ïî騥áï ª®àﬨ f. «ï «î¡®£® ¢¥é¥á⢥- ®£® ç¨á« a ç¥à¥§ W (a) ®¡®§ 稬 ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¢ àï¤ã
f0(a); f1(a); : : : ; fn(a); n = deg f: |
(49) |
®£¤ ç¨á«® ¢¥é¥á⢥ëå ª®à¥© ¢ [u; v] à ¢® W (u) W (v).
®ª § ⥫ìá⢮. ¬ ¯®âॡã¥âáï àï¤ «¥¬¬.
¥¬¬ 8.46. ᫨ fi(c) = 0, â® fi+1(c) 6= 0. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ i > 0, â® fi 1(c) =
fi+1(c):
®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ ¡ë fi(c) = fi+1(c) = 0, â® ¯® (48) f(c) = f0(c) = 0, â. ¥. c { ªà âë© ª®à¥ì f, çâ® ¥¢®§¬®¦® ¢ ᨫã (8.24) ( ¬. â ª¦¥ ã¯à ¦¥¨¥ 8.32).
â®à®¥ ã⢥ত¥¨¥ ¢ë⥪ ¥â ¨§ (48).
¥¬¬ 8.47. ãáâì fi(c) = 0, £¤¥ i > 0. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ " > 0, çâ® fi 1(x); fi+1(x) ¨¬¥îâ à §ë¥ § ª¨ ¯à¨ x 2 (c "; c + ").
®ª § ⥫ìá⢮. 㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¥¯à¥à뢮áâìî fj ¤«ï ¢á¥å j.
¢¥à訬 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë. ãáâì 2 (u; v) ¥ ï¥âáï ª®à¥¬ f. áᬮâਬ ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ W (x) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠c. ᫨ ¢á¥ fj(c) 6= 0, â® ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ- ®á⨠c ¢á¥ fj(c) ¨¬¥îâ ¯®áâ®ïë© § ª. ®í⮬ã W (x) ¯®áâ®ï® ¢ í⮩ ®ªà¥áâ®á⨠c.᫨ ¦¥ ¥ª®â®à®¥ fj(c) = 0; j 1, â® ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠c ¯® «¥¬¬¥ 8.47 äãªæ¨¨ fj 1(x); fj+1(x) ¨¬¥îâ ¯®áâ®ïë© § ª, ¨ ¯®í⮬ã ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¢ àï¤ã
fj 1(x); fj(x); fj+1(x) |
(50) |
¯®áâ®ï®. ¥àï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ íâ¨å ®ªà¥áâ®á⥩ ¤«ï ¢á¥å j, ¯®«ãç ¥¬ ®ªà¥áâ®áâì c, ¢ ª®â®à®© W (x) ¯®áâ®ï®.
ãáâì f(c) = 0: ® «¥¬¬¥ 8.46 ¨¬¥¥¬ f1(c) 6= 0. ãáâì f1(c) > 0. ®£¤ |
¢ ¥ª®â®à®© |
®ªà¥áâ®á⨠U â®çª¨ c äãªæ¨ï f(x) ¢®§à áâ ¥â. ãáâì f(x) < 0; f(y) > 0; ¯à¨ |
|
x; y 2 U; x < c < y: |
(51) |
᫨ fj(c) 6= 0, â® ¬®¦® áç¨â âì, çâ® fj(x) ¨¬¥¥â ¯®áâ®ïë© § ª ¢ U. ᫨ fj(c) = 0; j > 1, â® ¬®¦® áç¨â âì, çâ® ¢ àï¤ã (50) ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¯®áâ®ï®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï ç¨á« W (a) ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¢ àï¤ã (49) ¯®«ãç ¥¬ W (x) W (y) = 1, ¥á«¨ x; y ¨§ (51).
ãáâì f1(c) < 0. ®£¤ ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠|
U â®çª¨ c äãªæ¨ï f(x) ã¡ë¢ ¥â. |
ãáâì f(x) > 0; f(y) < 0; ¯à¨ |
|
x; y 2 U; x < c < y: |
(52) |
᫨ fj(c) 6= 0, â® ¬®¦® áç¨â âì, çâ® fj(x) ¨¬¥¥â ¯®áâ®ïë© § ª ¢ U. ᫨ fj(c) = 0; j > 1, â® ¬®¦® áç¨â âì, çâ® ¢ àï¤ã (50) ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¯®áâ®ï®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï ç¨á« W (a) ¯¥à¥¬¥ § ª®¢ ¢ àï¤ã (49) ¯®«ãç ¥¬ W (x) W (y) = 1, ¥á«¨ x; y ¨§ (52). 
48 |
8. |
6. ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¬®£®ç«¥ë ¤ Z ¨ Q
¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.48. ®£®ç«¥ ¨§ Z[X] §ë¢ ¥âáï ¯à¨¬¨â¨¢ë¬, ¥á«¨ ¯à¨ç¥¬ ¨- ¡®«ì訩 ®¡é¨© ¤¥«¨â¥«ì ¢á¥å ¥£® ª®íää¨æ¨¥â®¢ à ¢¥ 1.
¥®à¥¬ 8.49 ( ãáá). ந§¢¥¤¥¨¥ ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¬®£®ç«¥®¢ ï¥âáï ¯à¨¬¨â¨¢ë¬.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f; g 2 Z[X] ¯à¨¬¨â¨¢ë, ® fg ¥ ¯à¨¬¨â¨¢®. ®£¤ áã- é¥áâ¢ã¥â ¯à®á⮥ ç¨á«® p, ¤¥«ï饥 ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë fg. ¥à¥©¤¥¬ ª ª®«ìæã ¢ëç¥â®¢ Zp. ᫨ f; g { ®¡à §ë f; g ¢ Zp[X], â® ¢ Zp[X] ¯®«ãç ¥¬ fg = 0, çâ® ¥¢®§¬®¦®, â ª ª ª
Zp[X] { ®¡« áâì.
|
᫨ f 2 |
Q[X] n 0, â® f = |
|
n |
f; £¤¥ n; m |
2 Z, ¯à¨ç¥¬ (n; m) = 1, ¨ f |
Z[X], { |
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m |
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¯à¨¬¨â¨¢ë© ¬®£®ç«¥. |
|
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e |
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e 2 |
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¥®à¥¬ |
8.50. ãáâì f 2 Z[X] ¯à¨¬¨â¨¢¥, ¨ f = gh, £¤¥ g; h 2 Q[X]. ®£¤ |
f = uv, |
||||||||||||||
£¤¥ u; v 2 Z[X], ¨ u = 1g; v = 1h. |
|
|
|
|
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Z, ¨ (r; s) = 1. |
«®£¨ç®, h |
= |
|
c h, |
|||||||
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®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥¥¬ g e= r g; r; s |
|
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2 |
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e |
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c; d |
2 |
Z, ¨ (c; d) = 1. â ª, f = |
rc |
gh, s¨«¨ |
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(53) |
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e(sd)f = (rc)gh; |
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® ⥮६¥ 8.49 ¨¡®«ì訩 ®¡é¨© ¤¥«¨â¥«ì |
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ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à ¢®© ç á⨠(53) à ¢¥ |
, |
||||||
á ¤à㣮© áâ®à®ë, ¯® (53) ® à ¢¥ sd. âáî¤ rs = cd: âáî¤ |
f = gh. |
|
|
|
|
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«¥¤á⢨¥ 8.51. ®£®ç«¥ f |
2 |
Z[X] ¥à §«®¦¨¬ ¢ Z[X] ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥e¨¥ ¬®£®ç«¥- |
||||||||||||||
|
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®¢ ¬¥ì襩 á⥯¥¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥¯à¨¢®¤¨¬ ¢ Q[X]. |
|
|
|
|
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|
¥®à¥¬ |
8.52 ( à¨â¥à¨© ©§¥è⥩ ). ãáâì f 2 Z[X] ¨¬¥¥â ¢¨¤ (47), ¯à¨ç¥¬ |
|||||||||||||||
áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¯à®á⮥ ç¨á«® p, çâ® |
|
|
|
|
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(1)p - an;
(2)pjan 1; : : : ; pja1; pja0;
(3)p2 - a0.
®£¤ ¬®£®ç«¥ f ¥¯à¨¢®¤¨¬ ¢ Q[X].
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì d = ¢á¥å ª®íää¨æ¨¥â®¢ f. ®£¤ p - d. ®í⮬ã f ¬®¦® § ¬¥¨âì d 1f ¨ áç¨â âì, çâ® f ¯à¨¬¨â¨¢¥. ãáâì f = gh { ¥âਢ¨ «ì®¥ à §«®¦¥¨¥
f ¢ Z[X] (á¬. ⥮६ã 8.50). ªâ®à¨§ãï ¯® ¬®¤ã«î p ¯®«ãç ¥¬ ¢ Zp[X] à §«®¦¥¨¥
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®ª § ⥫ìá⢮. §®¬®à䨧¬ § ¤ ¥âáï ¯® ¯à ¢¨«ã a 7!(a; 0; : : : ) 2 R[[X]].
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