1 Статика

2. Сила есть мера меха-

F

нического взаимодействия тел.

F H ,

Сила вполне определяется тре-

мя параметрами – линией дей-

F

F .

ствия, направлением вдоль ли-

нии действия, модулем (вели-

Рис. 1.1.

чиной), т.е. силу можно пред-

ставить в виде скользящего

1.2. Аксиомы

F1

статики

Аксиома

1. Если

тело

F

F ,

находится

в

равновесии

под

1

2

действием двух сил, то эти си-

F F

0.

1

2

лы имеют общую линию дей-

F2

ствия,

противоположно

Рис. 1.2.

направлены и равны по вели-

чине (рис. 1.2).

Аксиома 2. Действие си-

стемы сил на тело не изменит-

F1

ся,

если к этой системе доба-

вить или отнять уравновешен-

F3

P

ную систему сил (рис. 1.3):

(F1, F2 , F3 )

(F1

, F2 , F3 ,S, P),

P

-S.

S

Следствие:

действие

си-

F2

лы на абсолютно твердое тело

Рис. 1.3.

не изменится, если силу пере-

нести в любую точку тела по

A

B

линии действия (рис. 1.4).

Аксиома 3. Если две силы

P

S

имеют общую точку, то их все-

S

P

гда можно заменить одной си-

A

B

лой их равнодействующей, ли-

ния действия которой проходит

Рис. 1.4.

через общую точку, а величина

и

направление

определяются

диагональю

параллелограмма,

построенного

на

этих силах

(рис. 1.5).

P S R,

(1.1)

P

R

P2

S2 2 P S cos(α),

R

P

S

R

.

(1.2)

0

sin( )

sin( )

sin( )

S

Рис. 1.5.

A

T

T1

F1

F

B

F2

0

T2

ствие (рис. 1.7).

1.3. Аналитическое

Земля

FЛ

Луна

задание и сложение

сил

Силы

можно за-

FЗ

FЗ -FЛ

давать

и

складывать

Рис. 1.7.

аналитически с

помо-

щью

их

проекций на

оси

координат

(рис.

y

F2

1.8, 1.9).

F3

ab F1x ,

F1

bc F2x ,

R

cd F3x ,

3

x

R

Fk .

0 a

b

c

d

1

Рис. 1.8.

1.4. Связи и реакции

связей

T

Связями

будем

называть все те тела, ко-

торые ограничивают пе-

P

ремещение данного тела.

Условились

дей-

ствия связей на тело за-

Рис. 1.11.

менять

силами,

которые

называются

реакциями

YA

связей.

RA

R B

Очевидно,

реакции

связей

всегда

направле-

A

XA

B

ны в сторону,

противо-

положную тому переме-

щению,

которое

они

ограничивают.

Типы связей

Рис. 1.12.

Характер

связей,

Величина и направление равно-

F2

действующей определяются замыкаю-

щей стороной силового (векторного)

F3

многоугольника (рис. 1.15). Для по-

F

1

строения такого многоугольника каж-

дая последующая сила откладывается

из конца предыдущей силы. Линия

действия равнодействующей проходит

F5

F

4

через точку пересечения сил.

Таким образом, для равновесия

Рис. 1.16.

системы сходящихся сил необходимо и

n

Fk 0.

1

Значит:

n

n

n

Fkx

0,

Fky 0,

Fkz 0.

(1.6)

k 1

k 1

k 1

AD

C

C

F

TC

R A

A

B

F

TC

D

D

Рис. 1.17.

мкнутый треугольник. Складывая любые две из них по аксиоме 3

замечаем, что тело будет находится в равновесии под действием

двух сил. Но из аксиомы 1 вытекает, что эти две силы направле-

ны по одной прямой, т.е. линии действия всех сил пересекаются в

одной точке.

На основе этой теоремы можно непосредственно опреде-

лять направление неизвестных реакций связей. Так, например,

для невесомой балки AB (рис. 1.7) реакция неподвижного цилин-

дрического шарнира A пройдет через точку пересечения силы F

и натяжения нити Tc . При известной силе F величина реакции

A

D

C

x

R A

найдется

построением

силового треугольника.

Пример

1.1.

Опреде-

лить

натяжения

троса ABC,

TA

B

TC

на котором подвешен улич-

ный

фонарь

весом

150 Н.

(рис. 1.18). Длина всего троса

равна 20 м, отклонение от

горизонта BD=0,1 м. Весом

троса пренебречь.

P

Решение.

На

основе

y

условий равновесия системы

схождения сил

(1.6)

можно

Рис. 1.18.

записать:

Fkx

-TAcos() TCcos( ) 0 ,

(а)

Fky

P - TAsin( ) TCsin( ) 0

(б)

Из уравнения (а)

находим

TA TC . Тогда из (б)

найдем

TA TC P

2sin( ) . По условию задачи BD ABsin() , отку-

да

BD ABsin( ) 0,1 10 0,05.

Следовательно

TA TC 7500 H , т.е. натяжение троса в 50 раз превышает вес

фонаря. Увеличение веса фонаря, например за счет намерзания на

нем льда, может привести к обрыву троса.

y

2.2. Сложение систе-

0

мы параллельных

сил

x

Теорема

1.

Рав-

T1 A

C

B

T2

нодействующая

двух

параллельных

сил

F2

R1

R

направленных

в

одну

F1

R 2

сторону им параллель-

на, при этом модуль

равнодействующей

ра-

Рис. 1.19.

вен сумме модулей сла-

гаемых сил, а линия дей-

пропорциональные силам.

Две параллельные силы F1

и

F2 можно преобразовать в две

сходящиеся силы

R1

и R 2 (рис. 1.19), которая на основе аксио-

мы 3 может быть заменена из равнодействующей R . Для этого

приложим в точках A и B две уравновешенные силы T1

-T2 .

Тогда с учетом аксиомы 2 получим:

(F , F )

(F , F , T , T ) (R , R

2

).

1

2

1

2

1

2

1

Найдем модуль равнодействующей:

2

R R2x R2y , R x Fkx

T1 T2 0,

k 1

4

R y Fky (F1

F2 ) 0, т.е.

k 1

R F1 F2.

(1.7)

F1

F2

R

.

(1.8)

BC

AC

AB

Пусть

для

определенности

F2

F1 F2

(рис. 1.20). Пользуясь преды-

A

C

дущим

результатом

разложим силу

B

F на две ей параллельные силы: F ,

1

2

приложенную в точке B и равную по

модулю силе F1 , и силу R , величина

F2

R

и точка приложения которой найдется

из выражения:

F1

F2

F1 - F2

R .

F

(1.9)

1

BC

AC

BC - AC

AB

Рис. 1.20.

Так как силы

F

и F

уравно-

2

2

вешены, то на основе аксиомы 2 их

можно отбросить. Следовательно,

оставшаяся сила R будет яв-