- •Производная функции, ее геометрический смысл.
- •Производная суммы, произведения и частного.
- •3.Производная сложной функции. Производная обратной функции
- •Дифференциал функции
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Связь дифференциала с производной
- •2. Дифференциал суммы, произведения и частного.
- •4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
- •1. Производные высших порядков Понятие производных высших порядков
- •Формула Лейбница
- •4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
1. Производные высших порядков Понятие производных высших порядков
Пусть функция дифференцируема в некотором интервале. Тогда её производная , вообще говоря, зависит отх , то есть является функцией от х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании производной.
Определение. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной и обозначается символом или, то есть
.
Пример 1. Найти вторую производную от функции .
Решение. Найдем первую производную функции:
.
Находим вторую производную как производную первой производной:
.
Определение. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается символом или.
Определение. Производной n-ого порядка функции называется первая производная от производной (n-1)-го порядка данной функции и обозначается символом или:
.
Определение. Производные порядка выше первого называются высшими производными.
Пример 2. Найти производную четвертого порядка функции .
Решение. Находим последовательно первую, вторую, третью и четвертую производные:
, ,,.
Пример 3.Найти производную n-ого порядка для функции (k-const).
Решение. Имеем:
, ,,.
Пример 4. Найти производную n-ого порядка для функции .
Решение. Имеем:
,
,
,
,
.
Замечание. Аналогично можно получить формулу n-ой производной функции :
.
Пример 5. Найти производную n-ого порядка для степенной функции , гдеи- любое вещественное число.
Решение. Дифференцируя последовательно, получим:
, ,,
.
В частном случае, когда , гдеm – натуральное число, получим:
, при.
Замечание. При строгом выводе формулы для производной n-ого порядка следует применять метод математической индукции.
Вторая производная параметрически заданной функции
Если функция задана параметрически уравнениями , то для нахождения производной второго порядка нужно продифференцировать выражение для её первой производной, как сложной функции независимой переменной.
Так как , то
,
и с учетом того, что
,
получим
, то есть
.
Аналогично можно найти третью производную
.
Пример 7. Найти вторую производную параметрически заданной функции ,.
Решение.,
.
Формула Лейбница
Для нахождения производной n-ого порядка от произведения двух функций большое практическое значение имеет формула Лейбница.
Пусть u и v - некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка и y=uv. Выразим n-ую производную через производные функцийu и v.
Имеем последовательно
,
,
.
Легко подметить аналогию между выражениями для второй и третьей производных и разложением бинома Ньютона соответственно во второй и третьей степенях, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производной, а сами функции можно рассматривать как «производные нулевого порядка». Учитывая это, получим формулу Лейбница:
. (2)
Эту формулу можно доказать методом математической индукции.
Пример. Найти пятую производную функции .
Решение. Положим и. Найдем,,,,;. Подставляя эти выражения в формулу Лейбница при, получим
.