L№1(Оосновные понятияТВ)

1. Испытания и события

До возникновения теории вероятностей объектом научных исследований были явления или опыты, в которых условия практически однозначно определяли исход. Так, если на материальную точку действует сила тяжести и в некоторый момент времени заданы положение и скорость материальной точки, то её дальнейшее движение однозначно определяется соответствующим дифференциальным уравнением. Однако эта механическая модель не всегда удовлетворительно описывает реальные физические явления.

Если, например, рассматривать движение пули, то её траектория практически уже не будет определяться однозначно; начальная скорость пули по многим причинам не остается постоянной при различных выстрелах и, следовательно, окажет влияние на неоднозначность всего опыта. Если колебания значений начальной скорости невелики, то можно использовать детерминированную механическую модель, в которой движение однозначно определяется начальными условиями. Однако для широкого круга явлений наблюдается неоднозначность исхода при сохранении основных условий опыта, в таких случаях говорят, что результат опыта случаен. Очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной степени элементы случайности.

Пример 1. Производится стрельба из орудия, установленного под заданным углом к горизонту. Пользуясь методами баллистики (науки о движении снаряда в воздухе), можно найти теоретическую траекторию снаряда, которая определяется: начальной скоростью снаряда, углом его вылета, баллистическим коэффициентом снаряда. Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно отклоняется от теоретической за счет совокупного влияния многих факторов: 1) ошибки изготовления снаряда; 2) отклонения веса заряда от номинала; 3) неоднородности структуры заряда; 4) ошибки установки ствола в заданное положение; 5) метеорологических условий и так далее.

Пример 2. Самолет совершает полет на заданной высоте; практически он летит горизонтально, равномерно и прямолинейно. Фактически полет сопровождается отклонениями центра массы самолета от теоретической траектории и колебаниями самолета около центра масс, что связано с турбулентностью атмосферы.

Пример 3. Производится ряд подрывов осколочного снаряда в определенном положении относительно цели. Результаты отдельных подрывов отличаются: меняются общее число осколков, взаимное расположение их траекторий, вес, форма и скорость каждого отдельного осколка. Эти изменения являются случайными и связаны с влиянием таких факторов, как неоднородность металла корпуса снаряда, неоднородность взрывчатого вещества, непостоянство скорости детонации и так далее. В связи с этим различные подрывы, осуществленные, казалось бы, в одинаковых условиях, могут приводить к различным результатам: в одних подрывах цель будет поражена осколками, в других – нет.

Какие же существуют методы исследования случайных явлений ? Практика показывает, что, наблюдая массовые однородные случайные явления, мы обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, присущие именно этим случайным явлениям.

Пусть по некоторой мишени производится один за другим ряд выстрелов, наблюдается распределение точек попадания на мишени. При ограниченном числе выстрелов точки попадания распределяются по мишени в полном беспорядке, без какой-либо видимой закономерности. По мере увеличения числа выстрелов в расположении точек попадания начинает наблюдаться некоторая закономерность, причем тем отчетливее, чем больше количество выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизительно симметричным относительно некоторой центральной точки: в центральной области группы пробоин они расположены гуще, чем по краям, при этом «густота» пробоин убывает по вполне определенному закону (нормальному закону Гаусса).

Подобные специфические, так называемые «статистические», закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массовыми однородными случайными явлениями. Подтвержденная опытом устойчивость массовых случайных явлений и служит основой для приложения вероятностных (статистических) методов исследования.

Вероятностные методы в настоящее время широко применяются в метеорологии и астрономии, электротехнике и радиотехнике, теории автоматического регулирования, в разнообразных областях военной техники: теории стрельбы и бомбометания, аэронавигации, тактике и множестве других разделов.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных явлений.

Теория вероятностей, как и другие математические науки, возникла из потребностей практики. Ещё в начале XVII века знаменитый физик Галилей рассматривал ошибки физических измерений как случайные и оценивал их вероятности. Возникновение теории вероятностей в современном смысле этого слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Гюйгенса (1629-1695) в области азартных игр.

Крупный шаг в развитии теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705), доказавшим теорему, получившую впоследствии название «закона больших чисел». Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и другим.

Новый, наиболее плодотворный период, связан с именами П.Л.Чебышева (1821-1894) и его учеников А.А.Маркова (1856-1922) и А.М.Ляпунова (1857-1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Её последующее развитие связано с такими русскими и советскими математиками, как С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнов и другими.

Под опытом (испытанием) в теории вероятностей понимают всякий эксперимент, который, в принципе, может быть повторен при соблюдении некоторых заданных условий неограниченное число раз.

Под событием в теории вероятностей понимается факт, который в результате опыта может произойти, а может и не произойти.

Другими словами, событие – это результат опыта.

Примеры:

1) Опыт –произведение выстрела по мишени, событие – попадание в мишень.

2) Опыт – извлечение наудачу карты из колоды, событие – появление туза.

3) Опыт- бросание монеты, событие – выпадение герба.

Замечание. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.

Определение. Событие называется достоверным, если оно осуществляется при любом опыте и невозможным, если в результате опыта оно никогда не произойдет.

Пример. Опыт – бросание одной игральной кости,

Событие А – выпадение не более 6 очков при бросании игральной кости – достоверное событие. Событие В – выпадение 7 очков при бросании одной игральной кости – невозможное событие.

Определение. Случайным называется событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти, в зависимости от того, какой именно исход имеет опыт.

Определение. Равновозможными называются случайные события, для которых нет оснований утверждать, что какое-либо из них в результате опыта имеет больше шансов появиться, чем другие.

Определение. Элементарные события, осуществление которых влечет за собой реализацию случайного события А, называются благоприятствующими событию А.

Пример. При бросании одной игральной кости элементарными событиями, благоприятствующими появлению события А- появление четного числа очков – являются: выпадение двух очков; выпадение четырех очков, выпадение шести очков.

Определение. События А и В, которым благоприятствует один и тот же набор элементарных событий называются равносильными и обозначаются .

Пример. Опыт – стрелок стреляет 3 раза по мишени.

Событие А – два попадания в мишень, событие В- один промах. .

Определение. Противоположным для события А (или его дополнением) называется такое событие , появление которого равносильно не появлению А.

Пример. Опыт – стрелок стреляет 3 раза по мишени. Событие А – три промаха, событие - хотя бы одно попадание.

Определение. Два события А и В называются несовместными, если появление одного из них в одном и том же испытании исключает появление другого и совместными в противном случае.

Пример. Опыт – один выстрел по мишени. Событие А – попадание в мишень, событие В – промах. А, В – несовместные события.

Определение. События образуют полную группу, если выполняются условия:

1. появление хотя бы одного из этих событий есть достоверное событие;

2. они попарно несовместны.

Пример. Произведено три выстрела по мишени. События – три промаха, – одно попадание, – два попадания, – три попадания. Эти события образуют полную группу.

2.Классическое определение вероятности. Другие определения вероятности

Рассмотрим испытания, исходы которого образуют полную группу равновозможных и несовместных событий.

Определение. Под вероятностью события А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания, то есть

. (1)

Формула (1) носит название классического определения вероятности. Рассмотрим примеры решения задач с применением формулы (1).

Пример. Найти вероятность того, что при бросании одной игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2.

Решение. Пусть А - выпадение числа очков, делящегося на 2. Число всех равновозможных исходов, образующих полную группу событий, . Число исходов, благоприятствующих появлению события А, (выпадение 2, 4, 6 очков). Поэтому .

Пример. В урне находится 15 шаров, из них 9 белых и 6 черных. Найти вероятность того, что вынутые наугад два шара оба окажутся белыми.

Решение. Число всех равновозможных исходов равно числу сочетаний из всего числа шаров по два, то есть , так как любые два шара из пятнадцати могут быть вынуты с равной вероятностью. Применяя формулу для нахождения числа сочетаний , получим:

.

Пусть А – событие, состоящее в появлении двух белых шаров. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно числу сочетаний из числа белых шаров по два, то есть .

Таким образом,

.

Классическое определение вероятности события предполагает, что во-первых, число всех элементарных исходов конечно, а, во-вторых, эти исходы равновозможны. Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом различных возможных исходов, поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено.

Укажем другие определения вероятности, иногда более удобные для решений. Пусть производится n однотипных испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А.

Определение. Относительной частотой (частостью) события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых появилось событие А , к общему числу испытаний, то есть

,

где - число появлений события А, - общее число проведенных испытаний.

Свойства частоты.

1.Относительная частота случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей., то есть

.

2.Относительная частота достоверного события равна единице.

3.Относительная частота невозможного события равна нулю.

При небольшом числе опытов относительная частота события может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Длительные наблюдения показывают, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.

Замечание. В различных опытах относительная частота изменяется мало ( тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно принимать за приближенное значение вероятности, которая называется статистической.

3.Пространство элементарных событий. Операции над событиями. Аксиомы теории вероятностей

Определение. Совокупность всех возможных, исключающих друг друга, исходов данного опыта называется пространством элементарных событий , а входящие в него исходы – элементарными событиями  .

Примеры:

1) Опыт – однократное бросание монеты, , где

- появление герба, - появление надписи.

2) Опыт – бросание игральной кости, , где

- выпадение очков на верхней грани .

Пример. При бросании одной игральной кости элементарными событиями, благоприятствующими появлению события А- появление нечетного числа очков – являются , поэтому .

Замечание. Так как А является подмножеством множества , то можно сделать вывод, что случайные события можно рассматривать как множества.

Определение. Суммой (объединением) событий А и В называется новое событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из данных событий ( или А или В или и А и В ), то есть .

Замечание. Сумма событий А и В на рис.1, а) представлена заштрихованной областью (объединением соответствующих множеств).

Определение. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Замечание. Суммироваться может и бесконечное (счетное) число событий.

Определение. Произведением событий А и В называется новое событие С, состоящее в совместном появлении как события А, так и события В ( или А или В), то есть .

Замечание. Произведение событий А и В на рис.1, б) представлено объединением соответствующих множеств.

Замечание. Перемножаться может и бесконечное (счетное) число событий.

а) б)

Рис.1

Событие получается в результате объединения всех элементарных событий, входящих в состав А и В. В частности, , что иллюстрируется геометрически на рис.2. Пространство элементарных событий при этом удобно изображать в виде квадрата.

Рис.2.

Введем аксиомы теории вероятностей.

Аксиоматическое определение вероятности (определение Колмогорова).

1⁰. Каждому случайному событию поставлено в соответствие неотрицательное действительное число , называемое вероятностью.

2⁰. Вероятность достоверного события равна единице.

3⁰. Имеет место аксиома сложения вероятностей: если и несовместные события, то

.

Определение. Вероятностным пространством называется тройка , в которой удовлетворяет аксиомам теории вероятностей, - пространство элементарных событий, - алгебра событий с введенными в ней суммой и произведением событий, отрицанием события, достоверным и невозможным событиями.

Замечание. Множество не только является алгеброй событий, но ещё и замкнуто относительно счетных сумм и произведений.

Рассмотрим пространство элементарных событий и поставим в соответствие каждому элементарному исходу положительное число - вероятность этого исхода, . Само наступает при любом исходе испытания, поэтому является достоверным событием, а - невозможным событием.

Так как , вероятность достоверного события равна единице, а вероятность события равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих , которые несовместны, то

.

Элементарные события являются равновозможными, вероятность каждого из них одна и та же и равна , то есть . Пусть событию благоприятствует исходов. Тогда вероятность события равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих :

.

Отсюда получена классическая формула вероятности, которая является следствием аксиомы сложения вероятностей:

.

Непосредственный подсчет вероятностей

Для непосредственного подсчета вероятностей необходимо вспомнить основные формулы комбинаторики, при помощи которых осуществляется подсчет общего числа элементарных исходов.

Предположим, что даны групп элементов, причем - я группа состоит из элементов. Общее число способов, с помощью которых можно осуществить указанный выбор, определяется равенством

(2)

Это равенство называют основной формулой комбинаторики. Доказательство этой формулы ведется методом математической индукции.

Пример. В трех ящиках находятся радиодетали трех типов с различными значениями параметров. В первом ящике находится резисторов, во втором - конденсаторов и в третьем - транзисторов . Найти вероятность того, что схема, собранная из выбранных наугад трех элементов разного типа, будет содержать элементы с минимальными значениями параметров.

Решение. По формуле (1) , где , а , поэтому .

Результат выбора элементов из группы, содержащей элементов, будем называть выборкой из элементов по элементов. Если, при этом, элемент после выборки вновь возвращается в группу, то выборку называют выборкой с возвращением. Если же выбранный элемент не участвует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения.

Число размещений (без повторений) из элементов по определяется формулой

Число размещений (с повторениями) из элементов по определяется формулой

Пример. Замок камеры хранения открывается при выборе определенной комбинации из четырех цифр от 0 до 9. Пассажир забыл свой номер и набирает комбинацию наугад. Найти вероятность того, что он откроет замок с первого раза.

Решение. Элементарным исходом является появление любой четверки из цифр от 0 до 9, т.е. любое размещение с повторениями из 10 элементов по 4 элемента. Значит

; ; .

Число сочетаний (без повторений) из элементов по определяется формулой

.

Число сочетаний (с повторениями) из элементов по определяется формулой

.

Пусть требуется найти число размещений с повторениями из элементов по элементов, в которых первый элемент встречается ровно раз, второй элемент встречается ровно раз, …, -й элемент встречается ровно раз, где . Число таких размещений обозначается и определяется формулой

.

Пример. Из цифр 1, 2,3 случайным образом составляют шестизначное число. Требуется найти вероятность того, что в этом числе цифра 1 будет встречаться 1 раз, цифра 2 – два раза и цифра 3 – три раза.