2. Координатный способ задания движения

Перейдем от координатного способа задания движения к векторному на основе (2.3). Тогда с учетом (2.6) имеем

(2.7)

Откуда

Следовательно проекции скорости на координатные оси определяются первыми производными по времени от соответствующих координат. Модуль скорости

.

(2.8)

Направляющие косинусы вектора скорости относительно координатных осей определяются выражениями (рис. 2.7):

5.3.3. Естественный способ задания движения

Дана траектория точки и закон изменения координаты по этой траектории

Пусть в момент времени tточка занимала положение М, а в момент времениt₁положение М₁(рис. 2.8).

За время координата получила приращение, тогдато есть средняя скорость равна отношению приращения криволинейной координаты к соответствующему промежутку времени.

Для нахождения истинной скорости перейдем к пределу

то есть

(2.9)

Численное значение скорости точки при естественном способе задания движения определяется первой производной по времени от криволинейной координаты. Скорость всегда направлена по касательной к траектории точки.

Пример 2.3.Определить скорость точки приt = 1 c, для ее движения по законум. На основе (2.9) находим. Для заданного момента временито есть скорость направлена влево (рис. 2.8).

Пример 2.4.ТочкаMдвижется в соответствии с уравнениями

, м; , м.

(а)

Определить величину и направление вектора скорости точки и указать ее положение на траектории в момент времени .

Решение.Исключая время из уравнений движения, по аналогии с примером 2.1, найдем уравнение траектории

.

(б)

Следовательно, в данном случае точка движется по эллипсу (рис. 2.9). Приточкаимела координаты;м. В заданный момент времениtкоординаты точким,м. Найдем проекции вектора скорости на оси координат:

, м/с; , м/с.

При ;м/c;м/c; тогда модуль скоростим/с. Направление вектора скорости можно найти по его проекциям на оси координат, или по направляющим косинусам. В частности,(). Очевидно, при выполнении рисунка в масштабе вектор скорости, найденный по его проекциями, должен быть направлен по касательной к траектории в точкеM.

5.4. Определение ускорения точки

5.4.1. Векторный способ задания движения

Ускорением материальной точки называется векторная величина, характеризующая изменение во времени величины и направления вектора скорости.

Пусть точка движется по криволинейной траектории. В момент времени tона занимает положение М и имеет скоростьV, а в момент времениt₁– положение М₁и скоростьV₁(рис. 2.10).

За промежуток временивектор скорости изменится на величину. Очевидно отношение

(2.10)

есть среднее ускорение за время . Истинное значение ускорения найдется как предел отношения (2.10):

(2.11)

Ускорение точки определяется первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиус-вектора точки по времени

.

(2.11’)

Вектор ускорения всегда лежит в плоскости движения и направлен в сторону вогнутости траектории.

5.4.2. Координатный способ задания движения

Для определения ускорения в соответствии с (2.11) вычислим векторную производную от вектора скорости (2.7)

(2.12)

Из (2.12) вытекает:

(2.13)

Следовательно, проекции вектора ускорения на координатные оси определяются вторыми производными от соответствующих координат по времени. Модуль ускорения

.

(2.14)

Направление вектора ускорения определяется через направляющие косинусы:

(2.15)