- •Раздел второй Кинематика точки и твердого тела
- •Глава 5. Кинематика точки
- •5.1. Введение в кинематику
- •5.2. Способы задания движения точки
- •5.2.1. Координатный способ задания движения точки
- •5.2.2. Векторный способ задания движения
- •5.2.3. Естественный способ задания движения
- •5.3. Определение скорости точки
- •Векторный способ задания движения точки
- •Координатный способ задания движения
- •5.3.3. Естественный способ задания движения
- •5.4. Определение ускорения точки
- •5.4.1. Векторный способ задания движения
- •5.4.2. Координатный способ задания движения
- •5.4.3. Естественный способ задания движения
- •Глава 6. Поступательное и вращательное движения твердого тела
- •6.1. Поступательное движение твердого тела
- •6.2. Вращательное движение твердого тела
- •6.6. Определение линейных скоростей и ускорений точек вращающегося тела
- •Глава 7. Плоское движение твердого тела
- •7.1. Уравнения плоского движения
- •7.2. Определение скоростей точек тела
- •7.3. Мгновенный центр скоростей.
- •7.4. Определение ускорений точек тела
- •7.5 Мгновенный центр ускорений
- •Глава 8. Сложное движение точки
- •8.1. Относительное, переносное и абсолютное движения
- •8.2. Определение абсолютной скорости
- •8.3. Определение абсолютного ускорения. Теорема Кориолиса
- •Глава 9. Сложное движение твердого тела
- •9.1. Сложение вращательных движений вокруг параллельных осей
- •9.1.1 Вращения направлены в одну сторону
- •9.1.2 Вращения направлены в противоположные стороны
- •9.2. Сложение поступательных движений
- •9.3. Сложение поступательного и вращательного движений
- •9.4. Сложение вращательных движений относительно пересекающихся осей
- •9.5. Сферическое движение тела
- •9.6 Общий случай движения твердого тела
9.4. Сложение вращательных движений относительно пересекающихся осей
По аналогии с предыдущим можно утверждать, что результирующее движение будет мгновенно вращательным относительно подвижной оси, совпадающей с вектором мгновенной угловой скорости (рис. 2.41). Величина и направление вектора мгновенной угловой скорости может быть найдена по правилу сложения векторов
. |
(2.53) |
В данном случае точка О является неподвижной. Такое движение, при котором одна точка тела остается неподвижной, называется сферическим.
9.5. Сферическое движение тела
Для удобства назовем вращение тела относительно подвижной оси OAотносительным движением, а вращение вокруг неподвижной осиOB– переносным движением (рис. 2.42). Тогда величина и направление вектора абсолютной мгновенной угловой скорости будет определяться геометрической суммой векторов относительной и переносной угловых скоростей
, |
(2.54) |
или
Пример 2.15.В планетарном редукторе водило 1 делает 9 об/мин. Определить угловую скорость колеса 2 относительно водила; радиус неподвижного колеса 3 в 1,5 раза больше радиуса колеса 2 (рис. 2.43).
Решение.Вектор относительной угловой скорости колеса 2 направлен по оси водилаAB, а переносной по сои 0A. Вектор абсолютной угловой скорости должен проходить через точкуC, в которой подвижное колесо 2 соприкасается с неподвижным колесом 3. Изложенное позволяет построить параллелограмм векторов угловых скоростей на основе (2.54), из которого находим.
Пусть n– число оборотов водила, тогда его угловая скорость. Уголнайдем из соотношения радиусов подвижного и неподвижного колес:.
Окончательно получим:
При решении задач удобнее пользоваться аналитическим методом, спроектировав уравнение (2.54) на оси координат.
Тогда . |
(2.55) |
Угловое ускорение мгновенного вращения равно векторной производной от абсолютной угловой скорости по времени
(2.56) |
| ||
или |
(2.57) |
| |
| |||
| |||
(2.58) |
Определение скоростей и ускорений точек тела при сферическом движении
Рассмотрим порядок решения таких задач применительно к произвольной точке М.
Скорость точки Mможно найти как произведение абсолютной угловой скорости на расстояние точки до оси вращения
. |
(2.59) |
Вектор скорости точки Mперпендикулярен плоскости треугольникаOKMи направлен в сторону абсолютного вращения Если задать положение точкиMрадиусом-вектором, то вектор скорости точкиMможно определить векторным произведением
. |
(2.60) |
Проецируя (2.60) на оси координат получим:
(2.61) |
Для определения ускорения точки необходимо вычислить векторную производную от вектора скорости (2.60):
или
. |
(2.62) |
Первое слагаемое называется вращательным ускорением, а второе– осестремительным. Тогда
(2.63) |
9.6 Общий случай движения твердого тела
Движение тела в общем случае можно рассматривать как сложное, состоящее из поступательного движения вместе с некоторым центром О и сферического движения относительного данного центра. Таким образом уравнения движения тела в общем случае имеют вид:
(2.64) |
Скорость любой точки Mможно найти как геометрическую сумму скорости центра О от поступательного движения тела и ее скорости от сферического движения относительно центра О
(2.65) |
Заметим, что для равновесия тела в общем случае также необходимо выполнить шесть условий, при этом все уравнения (2.64) не будут зависеть от времени.