- •По дисциплине
- •Аннотация
- •Раздел 1. Основные понятия теории вероятностей
- •Тема 1. Пространство элементарных исходов и события.
- •Тема 2. Классическое определение вероятности
- •По определению полагается
- •Тема 3. Геометрическое определение вероятности
- •Тема 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Тема 5. Формулы полной вероятности и байеса
- •Тема 6. Схема бернулли.
- •Тема 7. Дискретные случайные величины
- •Тема 8. Непрерывные случайные величины
- •Тема 9. Законы распределения случайных величин
Тема 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теоремы сложения вероятностей:
Если события АиВнесовместны, то.
Если события АиВсовместны, то.
Если события попарно несовместны, то
.
Если события не являются попарно несовместными, то
.
Теоремы умножения вероятностей:
Если события АиВнезависимы, тоP(AB) =P(A)P(B).
Если события АиВзависимы, то.
Если события взаимно независимы (независимы в совокупности), то
.
Если события не являются взаимно независимыми, то
Пример 4.1. Для сигнализации об аварии в офисе некоторой фирмы установлены три сигнализатора различных типов, которые работают независимо друг от друга. Известно, что при аварии сигнализатор первого типа срабатывает в среднем в 95% всех аварий, второго типа – в 90%, третьего – в 80%. Найти вероятность того, что при аварии:
a) сработает только один сигнализатор;
b) сработают два сигнализатора;
c) сработают не менее двух сигнализаторов;
d) сработает хотя бы один сигнализатор;
e) все сигнализаторы поведут себя одинаково, т.е. либо сработают, либо нет.
Решение. Испытание – проверка функционирования трех сигнализаторов во время аварии. Пусть A, B, … , E – события, описанные в п.п. a), b), … , e) примера 4.1. Введем также следующие события:
Ai = {во время аварии сработает i–й сигнализатор}, i = 1, 2, 3.
По формулам классического определения вероятности и вероятности противоположного события находим
P(A1) = 0,95, = 1 –P(A1) = 0,05; P(A2) = 0,9, = 1 –P(A2) = 0,1;
P(A3) = 0,8, = 1 –P(A3) = 0,2.
Кроме того, по условию события А1, А2, А3 независимы.
a) Событие А произойдет, если произойдет какое-либо одно из следующих трех попарно несовместных событий:
сработает 1-й сигнализатор, а 2-й и 3-й не сработают – это событие ;
сработает 2-й сигнализатор, а 1-й и 3-й не сработают – это событие ;
сработает 3-й сигнализатор, а 1-й и 2-й не сработают – это событие .
Следовательно, событие А можно представить в виде суммы трех попарно несовместных событий: А = . Используя теорему сложения вероятностей для совокупности попарно несовместных событий и теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим
=
= 0,95×0,1×0,2 + 0,05×0,9×0,2 + 0,05×0,1×0,8 = 0,032.
b) Событие В означает срабатывание любых двух сигнализаторов их трех, т.е.
.
Снова по теоремам сложения вероятностей для попарно несовместных событий и умножения вероятностей для независимых событий, имеем
……………………………………………………………………………………………………………………………………….= 0,283.
c) Очевидно, событие С наступит, если сработают любые два сигнализатора из трех (событие В) или сработают все три сигнализатора (событие F = A1× A2× A3), т.е. C = B + F. Тогда, снова используя теоремы сложения вероятностей для попарно несовместных событий и умножения вероятностей для независимых событий, получим
Р(С) = Р(B + F) = Р(B) + Р(F) = …………………………………………… = 0,967.
d) Событие D представляет сумму несовместных событий А (включающего три варианта) и С (четыре варианта), т.е. D = А + С (семь вариантов). По теореме сложения вероятностей для двух событий находим
Р(D) = Р(А + С) = Р(А) + Р(С) = 0,032 + 0,967 = 0,999.
Можно проще найти вероятность события D, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант: . Применяя формулу для вероятности противоположного события и теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим
=
= 1 – 0,05×0,1×0,2 = 1– 0,001 = 0,999.
Таким образом, срабатывание во время аварии хотя бы одного сигнализатора является практически достоверным событием.
e)
Пример 4.2.Два игрока подбрасывают монету по три раза каждый. Определить вероятность того, что:
a) у игроков будет одинаковое число гербов;
b) уIигрока будет больше гербов, чем уII;
c) уIIигрока будет больше гербов, чем уI.
Решение.Испытание – подбрасывание монеты по три раза каждым. ПустьA,B,C– события, описанные в п.п.a),b),c) примера 4.2.
Первый способ(использование классического определения вероятности). Рассматриваемое испытание эквивалентно, очевидно, подбрасыванию монеты 6 раз. Поскольку при каждом подбрасывании монета может выпасть двумя способами, то в силу правила умножения (см. тему 2) всего исходов испытанияN= 26= 64. Используя правила сложения и умножения можно подсчитать количество исходов испытания, благоприятствующих событиямA,BиC:N(A),N(B) и N(C).
Второй способ(применение теорем сложения и умножения вероятностей).
Введем следующие события: AIi= {уIигрока выпадетiгербов},AIIi= {уIIигрока выпадетiгербов},i= 0, 1, 2, 3. Тогда событиеAможно тогда представить в следующем виде:
A = AI0 AII0 + AI1 AII1 + AI2 AII2 + AI3 AII3 ,
где слагаемые являются попарно несовместными, а сомножители – независимыми событиями. Применяя теорему сложения вероятностей для попарно несовместных событий и теорему умножения вероятностей для независимых событий, получаем
P(A) = P(AI0)P(AII0) + P(AI1)P(AII1) + P(AI2)P(AII2) + P(AI3)P(AII3).
Вычисление отдельных вероятностей в последнем выражении опять же можно произвести двумя способами: непосредственным (используя классическое определение вероятности при 3-х кратном подбрасывании монеты) и с помощью теорем сложения и умножения вероятностей.
Пример 4.3. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в твердом переплете, а остальные – в мягком. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что из взятых учебников:
a) только один будет в твердом переплете;
b) два будут в твердом переплете;
c) не менее двух будут в твердом переплете;
d) хотя бы один будет в твердом переплете;
e) все будут в одинаковых переплетах .
Решение. Испытание – из 15 книг наудачу берутся 3 книг (без возвращения и без учета порядка следования книг среди отобранных). Следовательно, число всевозможных исходов данного испытания равно числу сочетаний из 15 по 3:
.
Обозначим через A, B, … , E – события, описанные в п.п. a), b), c), … , e) примера 4.2. Определим также следующие события:
Ai = {среди отобранных 3 книг i книг в твердом переплете}, i = 0, 1, 2, 3.
Найдем вероятности событий Ai (i = 0, 1, 2, 3) по формуле гипергеометрических вероятностей при n = 15 (все учебники на стеллаже), n1 = 5 (книги в твердом переплете на стеллаже), k = 3 (взятые книги со стеллажа) и k1 = i = 0, 1, 2, 3 (книги в твердом переплете среди взятых):
, i = 0, 1, 2, 3.
Отсюда
……………= …………… = 0,494;
……………= …………… = 0,220;
P(A3) = ……… = ………………= …………… = 0,022.
а) Очевидно, интересующее нас событие А = А1, поэтому P(A) = P(A1) = 0,494.
b) Аналогично, событие B = А2, поэтому P(B) = P(A2) = 0,2240.
c) Событие C произойдет, если два учебника будут в переплете (это событие А2) или три учебника будут в переплете (это событие А3). Следовательно, событие C можно представить в виде суммы двух несовместных событий: C = А2 + А3. Тогда по теореме сложения вероятностей для двух несовместных событий имеем
Р(C) = ………………………………………………………. = 0,242.
d) Первый способ. Событие D произойдет, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий:
будет один учебник в твердом переплете – это событие А1;
будут два учебника в твердом переплете – это событие А2;
будет три учебника в твердом переплете – это событие А3.
Следовательно, событие D можно представить в виде суммы трех попарно несовместных событий: D = A1 + А2 + А3. Тогда по теореме сложения вероятностей для совокупности попарно несовместных событий имеем
Р(D) = Р(A1 + А2 + А3) = Р(A1) + Р(А2) + Р(А3) = 0,494 + 0,220 + 0,022 = 0,736.
Второй способ. События D и А0 являются противоположными, т.е. А0 =, поэтомуР(D) = 1 – = 1 –Р(А0) = 1 – 0,264 = 0,736.
e)
Пример 4.4. В коробке имеется 12 электролампочек, среди которых 4 бракованные, неотличимые по виду от доброкачественных. Некто наугад берет электролампочку, ввинчивает ее в патрон и включает ток. Бракованная лампочка сразу же перегорает; она выбрасывается и проверяется следующая. И так до тех пор, пока не будет гореть лампочка. Найти вероятность того, что будет выброшено не более двух электролампочек.
Решение.Испытание состоит в том, что поочередно (и без повторения) проверяются электролампочки до тех пор, пока не будет обнаружена доброкачественная. Пусть событиеАзаключается в том, что будет выброшено не более двух электролампочек, т.е. количество выброшенных лампочек равно 0, 1 или 2. Это событие, очевидно, эквивалентно тому, что будет удачной первая, вторая или третья попытка замены лампочки. Обозначим черезсобытие, состоящее в том, что i-я лампочка доброкачественная,i = 1, 2, 3. Тогда событиеАможно представить в виде
,
где слагаемые являются попарно несовместными событиями. Применяя вначале теорему сложения вероятностей для несовместных событий, а затем теорему умножения вероятностей для зависимых событий, находим
g
Пример 4.5.Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут наугад три мяча, и после игры их кладут обратно. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей? Предполагается, что при выборе мячей игранные от неигранных не отличаются.
Решение. Испытание – выбор трех мячей из девяти для трех игр, т.е. три раза, с возвращением мячей обратно в коробку. Пусть событиеАсостоит в том, что после трех игр все мячи в коробке будут игранными.
Первый способ(классическое определение вероятности).
Первое действие – выбор для 1-й игры 3 мячей (без возвращения и без учета порядка) из 9 мячей в коробке – может быть осуществлено способами; 2-е действие – выбор для 2-й игры 3 мячей (без возвращения и учета порядка) из 9 мячей – может быть осуществленоспособами; наконец, 3-е действие – выбор для 3-й игры 3 мячей (без возвращения и учета порядка) из 9 мячей – может быть осуществлено такжеспособами. Согласно правилу умножения число всевозможных исходов рассматриваемого испытания равно
.
Аналогичным образом находим N(A) = ……………………… и
.
Второй способ(теоремы сложения и умножения вероятностей).
Событие Аможно представить в виде произведения трехзависимыхсобытий:А=А1 А2 А3, где событиеАi= {взятые дляi-й игры три мяча – новые},i= 1, 2, 3. Тогда…
Пример 4.6.В урне 3 белых и 4 черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны наудачу по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот игрок, который раньше вытащит белый шар. Определить вероятность выигрыша 1-го игрока, т.е. игрока, первым начавшим игру.
Решение. Испытание – из урны, содержащей 7 шаров, два игрока поочередно вынимают по одному шару, не возвращая их обратно, до тех пор, пока не будет вытащен белый шар. Пусть событиеA= {1-й игрок первым вытащит белый шар}.
4.7.Завод выпускает изделия определенного вида, причем 5% продукции завода в среднем составляет брак. Изделия осматриваются одним контролером; он обнаруживает имеющийся брак в среднем в 95% всех проверок. Если брак не обнаружен, изделие пропускается в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать не бракованное изделие, что происходит в среднем в 7% всех проверок. Определить вероятность того, что изделие, наудачу выбранное из продукции завода, будет:
забраковано; b) забраковано ошибочно;
c) пропущено в готовую продукцию с браком.
Пример 4.8.Завод выпускает изделия определенного вида, причем 5% продукции завода в среднем составляет брак. После изготовления изделия последовательно осматриваются 4 контролерами;k-й контролер обнаруживает брак, если он имеется, в среднем в (91 +k)% ,k= 1, 2, 3, 4, всех проверок. Определить вероятность того, что изделие, наудачу выбранное из продукции завода, будет забраковано:
a) всеми контролерами;b) только четвертым контролером;
каким-либо одним контролером; d) хотя бы одним контролером.
Пример 4.9.Уходя из квартиры, восемь гостей, имеющих одинаковые размеры обуви, надевают туфли в темноте. Каждый из них может отличить правую туфлю от левой, но не может отличить свою от чужой. Найти вероятность того, что каждый гость наденет:
a) свои туфли;b) туфли из одной пары (может быть и не свои).
Пример 4.10.Та же задача, но гости не могут отличить не только свою туфлю от чужой, но и правую от левой и поэтому берут первые две попавшиеся туфли.