Контрольная по математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ «НИНХ»

Институт________________________________________________

Кафедра________________________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Учебная дисциплина :________Высшая математика_______________

Номер варианта контрольной работы:__6___

Наименование направления (специальности, профиля подготов-

ки): __

Ф.И.О студента:_____Фомина Ирина валерьевна_________________

Номер группы:_________________МОПО21Н____________________

Номер зачетной книжки___________123726_____________________

Дата регистрации контрольной работы кафедрой_________________

Проверил:__________________________________________________

(Ф.И.О.)

Оценочное заключение:

Новосибирск 2012

Вариант 6

Задача 1.

Дан треугольник АВС: А (2;0), В( -1;4), С (-4;3). Найти:

1. длину стороны АВ;

2. внутренний угол А с точностью до градуса;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4. точку пересечения высот;

5. уравнение медианы, проведенной через вершину С;

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС;

7. Сделать чертеж

Решение.

1. Вычисляем длину стороны АВ: АВ === 5.

2. Угол  — это угол между векторами и . Координаты этих векторов:

= (-1 – 2, 4 – 0) = (-3, 4); = (-4 – 2, 3 – 0) = (-6, 3).

Следовательно:

cos  =

По таблице косинусов находим значение угла  в радианах: =26,34⁰.

3. Высота СN ортогональна стороне AB. Поскольку сторона AB проходит через две заданные точки и не параллельна осям координат, то она имеет уравнение: ;

3y+4x-8=0

Расстояние от точки С(-4; 3) до прямой АВ 3y+4x-8=0

4. Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Уравнение CN найдено. Аналогично выведем формулу высоты BD, проходящей через точку B перпендикулярна вектору AC (-6;3)

-6(х+1)+3(у-4)=0;

6х-3у+18=0

отсюда x = 0, y = 6. Таким образом, точка пересечения высот имеет координаты (0, 6).

5. Чтобы получить уравнение медианы CD, определим координаты точки D, являющейся серединой стороны AB. Имеем:

x ₀ = = 0,5; y ₀ = =+2.

или 4,5y+x+9,5=0

6. Найдем систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС. В пп. 3 и 4 были получены уравнения сторон АВ и ВС. Сторона АС имеет уравнениеили 2y+x-2= 0.

Подставим в уравнения прямых, проведенных через две точки, третью.

В результате вычислений получаем:

Следовательно, система, определяющая треугольник имеет вид:

Чертеж:

Задача 2.

Даны векторы: = (0;-1;0;2); = (1;-2;2;1); = (-1;1;3;1); = (-2;-1;1;0);

= (-5;-1;0;1). Показать, что векторы , , , образуют базис четырехмерного векторного пространства R ⁽⁴⁾ и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Составим определитель из координат векторов , , , и вычислим его :

Прибавим ко третьему столбцу второй, затем к четвертому второй умноженный на 2.

Разложим определитель по первой строке, а затем применим правило треугольников.

Так как   0, то векторы , , , образуют базис, и вектор может быть разложен по векторам базиса. Пусть это разложение имеет вид:

Для нахождения коэффициентов разложения, используя линейные операции над векторами и условие равенства векторов, перейдем от векторного уравнения к следующей системе линейных уравнений:

Решение системы найдем по формулам Крамера:

x ₁ = ; x ₂ = ; x ₃ = ; x ₄ = ,

где определитель системы  = -40.

Вычислим далее аналогично:

Тогда координаты вектора в базисе , , , :

x ₁ = ; x ₂ = ; x ₃ = ; x ₄ = ,

а разложение вектора по базису , , , имеет вид:

Задача 3.

y’=

Задача 4.

1. Функция f (x) определена при всех x  (– ; 2)(2; ).

2. Поскольку f (– x)  f (x) и f (– x)  – f (x), то функция не является ни четной, ни нечетной. Следовательно, ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

3. f (x) непериодическая.

4. Вертикальная асимптота

Горизонтальная асимптота.

f (x) имеет вертикальную асимптоту х=2, и горизонтальную у=х+1.

5. Найдем точки пересечения графика с осями координат. Поскольку функция f (x) определена в точке x = 0, то ее график пересекает ось Oy и Ox.

точки пересечения с осями координат при y=0

При х=0

6. Исследуем функцию на возрастание, убывание, экстремумы.

х=2 – стационарная точка первого рода.

7. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

х=2 – стационарная точка первого рода.

x=1 точка перегиба.

Задача 5.

А)

Проверка

Б)

Проверка

проверка

Г)

Задача 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

f₁(x)=

f₂(x)=

чертеж:

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Шипачев В.С. Высшая математика.  М: Высшая школа,1998.

2. Сборник задач по математике (для ВТУЗов): линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича.  М: Наука, 1986.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

3. Владимиров Ю.Н. Множества, отображения, функции: учеб. метод. пособие.  Новосибирск: НГАЭиУ, 2001.

4. Владимиров Ю.Н. Аналитическая геометрия: краткий справочник.  Новосибирск: НГАЭиУ, 2001.

5. Владимиров Ю.Н. Линейная алгебра: краткий справочник.  Новосибирск: НГАЭиУ, 2001.

6. Владимиров Ю.Н. Математический анализ функций одной вещественной переменной: краткий справочник.  Новосибирск: Сатрен, 1998.

7. Владимиров Ю.Н. Математический анализ функций нескольких веществен-ных переменных: учеб. пособие. Новосибирск: НГАЭиУ, 2004.

8. Владимиров Ю.Н., Гвоздев С.Е., Каленкович Е.Е. и др. Высшая математика: учебно-методический комплекс (для заочной формы обучения).  Новосибирск: НГУЭУ, 2005.

9. Каленкович Е.Е. Аналитическая геометрия. Индивидуальное расчетно-графические задание и методические указания по его выполнению.  Новосибирск: НГАЭиУ, 1999.

10. Каленкович Е.Е. Интегралы. Индивидуальное расчетно-графическое задание и методические указания по его выполнению.  Новосибирск: НГАЭиУ, 2000.

11. Колодко Л.С. Линейная алгебра. Индивидуальное расчетно-графическое задание и методические указания по его выполнению.  Новосибирск: НГАЭиУ , 2000.

12. Чиркунов Ю.А. Исследование функций и построение их графиков. Индивидуальное расчетно-графическое задание и методические указания по его выполнению.  Новосибирск: НГАЭиУ, 2000.