Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность появления событияв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, тотого, что событиевнезависимых испытаниях появится ровнораз, приближенно равна (чем больше, тем точнее) :

, где - функция Гаусса

Значения находим по таблице, при.

Учитываем ,что функция четная, то есть.

Пример 9. Найти вероятность того, что событие (переключение передач) наступит 70 раз на 243 – километровой трассе, если вероятность переключения на каждом километре равна 0,25.

¦ ,,,.

1) .

2)

3) .˜

Интегральная теорема Лапласа

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияравна. Чтобы вычислить вероятность, того, что событиепоявится не менеене болеераз, (), используем интегральную теорему Лапласа.

Теорема 7. (Интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единице, то вероятностьтого, что событиепоявится виспытаниях отдораз, приближенно равна определенному интегралу:

, где ,

Так как не выражается через элементарные функции, то его значение находим в таблице значений функции Лапласа.

Учитываем, что функция нечетная, то есть.

(для принимаем).

Таким образом,

.¢

Пример 10 . Вероятность выпуска нестандартной лампы . Чему равна вероятность того, что в партии из 2000 ламп число стандартных не менее 1790 штук.

¦ ,,,,.

,

.˜

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

С помощью функции Лапласа можно найти вероятность отклонения относительной частоты от вероятностивнезависимых испытаниях. Имеет место формула:

,

где - некоторое число.

Пример 11. Проверкой качества радиоламп установлено, что 95% из них служит не менее гарантируемого срока. Определить вероятность того, что в партии из 500 ламп, доля ламп, со сроком службы менее гарантируемого срока, будет отличаться от вероятности изготовления не более, чем на 0,02.

¦ ,,,.

.˜

Пример 12. Вероятность допущения дефекта при производстве механизмов равна 0,4. Случайным образом отбирается 500 механизмов. Установить величину наибольшего отклонения изготовленных механизмов с дефектами от вероятности 0,4, которую модно гарантировать с вероятностью 0,9973.

¦ ,,,.

По таблице для находим, что , откуда.˜

Формула Пуассона

Если , а вероятность появления события равна, так, чтоостается постоянным и, то вероятность вычисляем, используя формулу Пуассона:

Пример 13 . Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течение 1 часа работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того, что за 1000 часов работы устройства придется 5 раз менять микросхему.

¦ ,.

.

По формуле Пуассона: .˜

Случайные величины

Выше рассматривались случайные события, являющиеся качественной характеристикой случайного результата опыта. Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.