Задача 1

Фирма производит два вида изделий, используя три вида ресурсов, и получает доход от реализации выпущенной продукции. Нормативы затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, наличные объемы ресурсов и цены реализации продукции приведены в таблице.

Ресурсы	Нормативы затрат		Наличный объем
	Изделие 1	Изделие 2
Сырье (кг)	1	4	90
Оборудование (ст./час)	4	2	80
Труд (чел./час)	2	4	140
Цена единицы (тыс. руб.)	9	8

Задача фирмы состоит в том, чтобы определить программу выпуска, которая обеспечивает получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Составить экономико-математическую модель расчета производственной программы и записать ее в виде задачи линейного программирования.

2. Найти графическим методом оптимальную программу выпуска продукции.

3. Составить двойственную задачу и с помощью условий "дополняющей нежесткости" определить оптимальные двойственные оценки ресурсов.

4. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.

1. Построение математической модели

Необходимо найти объемы выпуска каждого изделия. Поэтому модель должна содержать две переменные: х₁— количество выпускаемых изделий 1 их₂— количество выпускаемых изделий 2. Производственная программа (план) выпуска изделий задается векторомх= (х₁,х₂). Ее можно выполнить лишь тогда, когда он будет обеспечен необходимым количеством ресурсов. Поэтому модель должна включать для каждого ресурса, используемого в производстве, ресурсное ограничение вида

расход ресурса для выпуска изделий ≤наличный объем ресурса (*)

Подсчитаем, сколько сырья понадобится для выпуска плана х. Чтобы выпуститьх₁единиц изделия 1, нужно затратитьх₁кг сырья; а выпускх₂единиц изделия 2 потребует 4х₂кг сырья. Значит, всего для выполнения планахтребуетсях₁+ 4х₂кг сырья. Его наличный запас равен 90 кг. Поэтому ресурсное ограничение (*) для сырья имеет вид:

х₁+ 4х₂≤ 90.

Ограничения по остальным ресурсам выглядят так:

4х₁+ 2х₂≤ 80 (оборудование),

2х₁+ 4х₂≤ 140 (труд).

Так как по своему экономическому смыслу х₁их₂не могут быть отрицательными величинами, то кроме ресурсных ограничений должны также выполняться неравенства

х₁ ≥ 0 их₂ ≥ 0.

Любая пара неотрицательных чисел х₁их₂, удовлетворяющая всем ресурсным ограничениям, определяет допустимый (выполнимый) план выпуска.

Пусть х= (х₁,х₂) — некоторый план выпуска. ВыручкаZот продажих₁единиц изделия 1 их₂единиц изделия 2 вычисляется по формуле

Z(х₁,х₂) = 9х₁+ 8х₂.

Основная цель производственной деятельности фирмы состоит в получении максимальной выручки от продажи произведенной продукции. Следовательно, Zявляется целевой функцией.

Таким образом, на множестве всех допустимых планов х= (х₁,х₂), ищется план, на котором достигает максимума целевая функцияZ, т.е. математическая модель задачи имеет вид:

Z= 9х₁+ 8х₂max,(1)

х₁+ 4х₂≤ 90, (2)

4х₁+ 2х₂≤ 80, (3)

2х₁+ 4х₂≤ 140, (4)

х₁ ≥ 0,х₂ ≥ 0. (5)

Так как Z— линейная функция, а все ограничения — линейные неравенства, то эта модель является задачей линейного программирования.