- •Федеральное агентство по здравоохранению и социальному развитию
- •I. Материалы ко второму этапу экзамена.
- •Тема №1:«дифференциальное и интегральное исчисления»
- •1. Если производные двух функций тождественно равны, то сами функции
- •26. Если f(X) является одной из первообразных для данной функции f(X), то самое общее выражение, для первообразной имеет вид
- •3. Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, классифицируется как
- •5. Дифференциальное уравнение относится к
- •6. Особым решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является ….
- •7. Общим решением дифференциального уравнения будет
- •11. Уравнение:является
- •16. Случайная величина х дискретного типа принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями. Определите вероятность того, что она примет значение 0
- •46. Дисперсия случайной величины х, имеющей равномерное распределение на отрезке [1, 9] равна
- •13. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •25. Задана функция плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •26. Статистические данные свидетельствуют о том, что вероятность рождения мальчика равна 0,516. Определите вероятность того, что новорожденный ребёнок окажется девочкой.
- •33. Случайная величина принимает шесть значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5 с равными вероятностями. Определите математическое ожидание.
- •50. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Определите вероятность того, что из 5 больных поправятся не менее 4.
- •51. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Определите вероятность того, что из 5 больных поправятся 4.
- •61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.
- •Тема №3. «Теория вероятностей и мат.Статистика»
- •Производные и дифференциалы.
- •Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
- •Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Справочные материалы
- •Оглавление
Теория вероятностей и математическая статистика.
1..;2.;3.4.; 5.;6. ;7.0,1;8. ;9.C= 8;10.Указание: при построении графиков необходимо учесть общий характер функции распределения вероятностей и тот факт, что стандартное отклонение определяет тангенс угла наклона графика функции распределения вероятностей в точке соответствующей математическому ожиданию.;
11.
F(x) |
0,00 |
при x ≤ -2 |
|
0,05 |
при -2 < x ≤ -1 | ||
0, 20 |
при -1 < x ≤ 0 | ||
0,30 |
при -0 < x ≤ +1 | ||
0,80 |
при +1 < x ≤ +2 | ||
1,00 |
при x > +2 |
12. ;13.;14.;15.;16.;
17. Математическое ожидание М(х) случайной величины Х (отклонение диаметра шарика от проектного размера) М(х) = 0. Стандартное отклонение σ = 0,4 задано по условию задачи. Тогда:гдефункция Лапласа. По таблице (см. Справочные материалы №4) находим:
Следуя классическому определению вероятности:,. Дляn= 100 иполучаемm=91,98 ≈ 92.
18. 19..20.
21. 1). Событие А - сигнальная лампочка прибора с перегорает при включении в сеть. 2). Найдём вероятность события противоположного событию А. Р(«не А») = 1 – Р(А) = 1 – 0,1 = 0,9. 3). Событие «лампочка не перегорает при первом включении» и событие «лампочка перегорает при втором включении» являются независимыми. Можно применить формулу умножения вероятностей для независимых событий. 4). Р(АВ) =Р(А)Р(В) . 5). Искомая вероятность Р = 0,90,1 = 0, 09
22.23. М(х) = 0,1;24.;25.М(х) = 0;
26. 1). Пусть случайным событием А является рождение мальчика. 2). Согласно статистическому определению вероятности: Р(А) =, гдеm- число рождений мальчиков,n- суммарное число рождений мальчиков и девочек. 3). Событие – «рождение девочки» является противоположным событию А.- случайное событие - рождение девочки. 4). Вспомнив аксиому сложения вероятностей:5).Найдём вероятность рождения девочки
27.28.;29. ;30.;
31. 1). В данном случае надежность системы представляет событие – «хотя бы один блок работает». 2). Событие противоположное событию – «хотя бы один блок работает» Это - «Ни один из блоков не работает». 3). События образуют полную группу попарно несовместных событий.
4). Применяя формулу сложения вероятностей для случая полной группы попарно несовместных событий: . 5). Надёжность системы:
32.33.35.;
36. 1). Событие А - событие, состоящее в том, что после 3 игр в коробке не останется не игранных мячей. 2). А = А1 ×А2 ×А3, где А1 – событие, состоящее в то, что для первой игры взяты три не игранных мяча. А2 - событие, состоящее в то, что для второй игры взяты три не игранных мяча. А3- событие, состоящее в то, что для третьей игры взяты три не игранных мяча. 3). А1- событие, равное произведению трёх событий В1 , В2и В3. В1- событие «первый мяч для первой игры оказался не игранным», В2- событие «второй мяч для первой игры оказался не игранным» и В3 - событие «третий мяч для первой игры оказался не игранным».4). Р(А1) = (9/9)×(8/8)×(7/7); Р(А2) = (6/9)×(5/8)×(4/7) ; Р(А3) = (3/9)×(2/8)×(1/7). 5). По формуле умножения вероятностей для зависимых событий Р(А) = Р(А1)×Р(А2)×Р(А3) = (9/9)×(8/8)×(7/7)×(6/9)×(5/8)×(4/7)×(3/9)×(2/8)×(1/7)»0,003
37.38.39.40.41.
42.43. ;44. 45. ;46.Указание: см. задачу 11;47. 48.
49.1). Уясним, что речь идет о случайной величине, распределенной по нормальному закону с известным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией.
2). Схематически изобразим её график
3). Воспользуемся свойствами симметрии графика. Вертикаль, проходящая через математическое ожидание, делит весь график функции на две равные части.
4). Геометрически определённый интеграл представляет площадь под кривой плотности распределения вероятностей
5). По условиям нормировки непрерывной случайной величины вся площадь под кривой равна единице. Половина площади под кривой равна 0,5.
50.0,92;51.; 52. (6,87 ; 7,73);
53. Закон распределения Пуассона можно записать в виде следующей таблицы:
X |
0 |
1 |
2 |
… |
k |
… |
P |
|
|
|
… |
|
… |
a– средняя по ансамблю (мат.ожидание, дисперсия).P(0) =e-a,что и обеспечивает нам знание среднего по ансамблю (в данном случае среднее число клеток в квадратном участке решётки). Р(0) =75/900 ≈ 0,0833, -lnP(0) ≈ -ln(0,0833) ≈ 2,485. Общеечисло имеющихся клеток можно оценить :N≈ 2,485× 900 ≈ 2236.
54. 4;55.; 56.0,018; 57. 3500∙= 5;58. 1-(1+5+12,5)59.= 1-0,9999 = 0,0001,n= 0,000160. 0,184;
61.Пусть случайная величинаX– число болезнетворных микробов, находящихся в 2 дм3воздуха. Примем гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов, которые могут быть обнаружены в этом объёме. Математическое ожиданиеXравно:а =Вероятность, что в данном объёме будет обнаружен хотя бы один микроб, равна.
62.Обозначим событие: С – абоненту придётся набрать номер не более, чем три раза.
Это событие состоит в том, что абоненту придётся набрать номер или один, или два или три раза. Рассмотрим следующие события:
С1– абонент будет набирать номер один раз;
С2- абонент будет набирать номер два раза;
С3- абонент будет набирать номер три раза;
- в первый раз не набрана нужная цифра;
А - во второй раз набрана нужная цифра;
- во второй раз не набрана нужная цифра;
В – в третий раз набрана нужная цифра.
Событие С представляет собой сумму несовместных событий С1,С2и С3: С = С1+С2+ С3.Вероятность события С1равна.
Событие С2состоит в том, что в первый раз нужная цифра не набрана, а во второй - набрана. Это означает, что С2представляет произведение событийи А: С2=∙ А. Вероятность событияравна. Событие А является зависимым от события; условная вероятность. Вероятность события С2найдём по теореме умножения вероятностей зависимых событий..
Событие С3состоит в том, что и в первый, и во второй раз нужная цифра не набрана, а в третий раз – набрана. Это означает, что С3представляет собой произведение зависимых событий,и В: С3=∙∙ В. Условная вероятность; условная вероятность. Вероятность наступления события С3найдём по теореме умножения вероятностей зависимых событий.
Искомую вероятность события С найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий.
63. = ; 64.; 65.P=1-(1 – (; 66.67. = 1 – (
68. Фаг Т2 размер 200нм, длина волны видимого света (760-380 нм) больше размера фага, рассеяния нет, раствор прозрачный. Бактерия кишечной палочки – много больше, взвесьбактерий интенсивно рассеивает свет (пробирка с бактериями выглядит мутной). Предположим, что процесс взаимодействия вирусов с бактериями описывается распределением Пуассона.Закон распределения Пуассона можно записать в виде следующей таблицы:
X |
0 |
1 |
2 |
… |
k |
… |
P |
|
|
|
… |
|
… |
a– средняя по ансамблю.P(0) =e-aчто и обеспечивает нам знание среднего по ансамблю.
Хотя бы один вирус попал в клетку P(1),P(2) …… .P(0) – клетка не заражена.В 38 пробирок оставшихся мутными вирусы не попали.
69. =, =70.P=1-(1 – (
71.1, , .
72.,
73.