- •Федеральное агентство по здравоохранению и социальному развитию
- •I. Материалы ко второму этапу экзамена.
- •Тема №1:«дифференциальное и интегральное исчисления»
- •1. Если производные двух функций тождественно равны, то сами функции
- •26. Если f(X) является одной из первообразных для данной функции f(X), то самое общее выражение, для первообразной имеет вид
- •3. Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, классифицируется как
- •5. Дифференциальное уравнение относится к
- •6. Особым решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является ….
- •7. Общим решением дифференциального уравнения будет
- •11. Уравнение:является
- •16. Случайная величина х дискретного типа принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями. Определите вероятность того, что она примет значение 0
- •46. Дисперсия случайной величины х, имеющей равномерное распределение на отрезке [1, 9] равна
- •13. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •25. Задана функция плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- •26. Статистические данные свидетельствуют о том, что вероятность рождения мальчика равна 0,516. Определите вероятность того, что новорожденный ребёнок окажется девочкой.
- •33. Случайная величина принимает шесть значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5 с равными вероятностями. Определите математическое ожидание.
- •50. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Определите вероятность того, что из 5 больных поправятся не менее 4.
- •51. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80% случаев. Определите вероятность того, что из 5 больных поправятся 4.
- •61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.
- •Тема №3. «Теория вероятностей и мат.Статистика»
- •Производные и дифференциалы.
- •Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
- •Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
- •Интегралы. Неопределённые интегралы.
- •Определённые интегралы.
- •Дифференциальные уравнения.
- •Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Справочные материалы
- •Оглавление
Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
1.D = .
2. Относительная погрешность вычисленной площади , а её приближённое значение мы получим, заменив в этом равенстве ∆S на dS. В таком случае . Но площадь круга(x-диаметр), а поэтому . Таким образом. (Иначе:).По условию x = 6,7 см; dx = 0,03 см, а потому, а умножая эту величину на 100, получим погрешность в процентах, которая равна (0,009 · 100)% = 0,9%.
3.Объём шара вычисляется по формуле, гдеx- диаметр шара. Приближённо погрешность ∆V вычисленного объёма (приращение объёма как функции диаметра) равна. Относительная погрешность. Но относительна погрешность измерения диаметра, а поэтому, что и требовалось доказать.
4.DR = 0,66%.
5.поэтому относительная погрешностьDT=а так как относительная погрешность измерения длины маятникаDl≈тоDTDl.
6.Задача состоит в определении приращения периода как функции приращения длины маятника. Вспомнив, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, легко получить ответ, найдя дифференциал периода по переменной - длине маятника.) =Перейдя к конечным приращениям получим приближённую формулу:. Далее:. Длину маятника следует увеличить на 2,5 см.
7.Условие задачи позволяет считатьgфункцией только длины.
8.Dg = 2DT; 9. 10.11.;12.
13.;14. 15. ; 16.17.18.
19.«Градиент» скорости и скорость сдвига.
«Градиент» скорости , входящий в формулу закона Ньютона для вязкой жидкости, как это видно из рисунка, представляет собой, с математической точки зрения, смешанную производную от координатыyпо аргументамzиt. Обоснованно предположив независимость аргументов и непрерывность частных производных по этим аргументам получим:в физике называют скоростью деформации сдвига (скоростью сдвига) и эта величина измеряетсяили обратными секундами. Иначе говоря, скорость деформации при простом сдвигеравна градиенту скорости течения.
Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
1.Полагаяu=1, 2, 3, 4, 5, получим уравнения соответствующих линий уровня:
x + y = 1; x + y = 2; x + y = 3; x + y = 4; x + y = 5.
Построив эти линии в прямоугольной системе координатx0y, получим прямые, параллельные биссектрисе 2 – го и 4 - го координатных углов.
2.Написав уравнения линий уровня:x2+y2=1,x2+y2=2,x2+y2=3,x2+y2=4,x2+y2=5 и построив их в плоскостиx0y, получим концентрические окружности с центром в начале координат.
3.Линии уровня 2y=x2,y=x2, 2y= 3x2,y= 2x2, 2y= 5x2представляют параболы, симметричные оси 0yс общей вершиной в начале координат.
4.Находим частные производные функцииuи вычисляем их значения в точке А:
Подставляя в формулу: найдём производную функцииuв точкеAпо любому направлению
Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииuпо заданному направлению.
Для биссектрисы первого координатного угла: α = β = 450, cosα =cosβ =
5.Находим частные производные функцииuи вычисляем их значения в точке А:
Подставляя в формулу найдём производную функцииuв точкеAпо любому направлению
Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииuпо заданному направлению.
Для вектора :, cosα =cosβ =
6.Находим частные производные функцииuи вычисляем их значения в точке А:
Подставляя в формулу: найдём производную функцииuв точкеAпо любому направлению
Находим далее косинусы углов α и β, образованныхзаданным направлением дифференцирования с осями координат, и производную функцииuпо заданному направлению.
Для вектора :, cosα =cosβ =
7.Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функцииu(M) при переходе точкиMв точкуPчисленно равна модулю градиента функции в точкеP. При этом функция,будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точкаMпри переходе через точкуPдвигаться по направлению градиента функции в точкеPили по прямо противоположному направлению.
Руководствуясь этими положениями, находим частные производные функции uи по формуле ─ её градиент в любой точке:
Далее находим:
1)
2) его модуль, численно равный искомой наибольшей скорости возрастания функции u(M)при переходе М через М0, будет
8.Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения (возрастания или убывания) функцииu(M) при переходе точкиMв точкуPчисленно равна модулю градиента функции в точкеP. При этом функция, будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точкаMпри переходе через точкуPдвигаться по направлению градиента функции в точкеPили по прямо противоположному направлению.
Руководствуясь этими положениями, находим частные производные функции uи по формуле ─её градиент в любой точке:
Далее находим:
1)
2) искомый вектор, имеющий прямо противоположное направление, будет
─
Чтобы функция u(M) убывала с наибольшей скоростью, при переходе через точкуM1точкаMдолжна двигаться в направлении ─
9.Чтобы в некоторой точкеPпроизводная функции по любому направлению была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке все частные производные первого порядка функции одновременно обращались в нуль. [Согласно формуле:.]
Поэтому, найдя частные производные:
и и решая систему уравненийи, получим две точки: (-3, 1) и (1, -1), в которых функция стационарна.
10.Поверхностями уровня данного поля являются концентрические сферы с центром в начале координат:x2+y2+z2= С.
11.
12.Найдём единичный вектор:
а затем производную скалярного поля Uпо направлению векторав точке А:
Так как то данное скалярное поле убывает в направлении вектора.
13. 1). Воспользуемся определением градиента скалярной функции:
2). Направим ось x поперёк мембраны снаружи внутрь. Учтём, что вданном случае, потенциал – скалярная функция только одной координаты х, тогда:. 3). Изобразим график зависимости потенциала от координатыx.
4). По графику можно определить tgα. Видно, что он отрицательный и по определению равен производной потенциала по координате x. Вычислим производную.
5). , т.е. вектор градиент потенциала направлен наружу клетки и по модулю равен
14.По известному выражению для потенциала поля точечного электростатического диполянайдём модуль напряжённости поля. При этом учтём, что особым выделенным направлением в данном случае окажется направление, совпадающее с направлением дипольного моментаP. Если расположить диполь в пространстве так, что он находится в начале координат и направлен вдоль осиY, то картина силовых линий поля диполя окажется одинаковой для любой плоскости, проходящей через вектор дипольного момента.φи Ε симметричны относительно осиY.
Воспользуемся связью напряжённости электростатического поля с его потенциалом и найдём проекции вектора напряжённости
и . После чего модуль вектора напряженности получится как:.
На плоскости XY,и.
Для проекции получим
.
Для проекции получим:
.
Итак:,иначе.