Лекцция 3 для готово для презент
.docx
Лекция 3
Дифференцируемость функции многих переменных.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Геометрические приложения частных производных.
Геометрический смысл первого дифференциала
П.1. Производные высших порядков.
Теорема о равенстве смешанных производных
Пусть дана дифференцируемая функция n переменных u(. Пусть также вычислена производная первого порядка по переменной . Эта функция тоже зависит от переменных .
Возьмем от производную по переменной :
=.
Функция называется частной производной второго порядка от функции u(по переменным
Таким же образом можно определить производные и третьего порядка .
Таким образом, справедлива рекуррентная формула
.
Производная называется смешанной, если среди переменных есть несовпадающие.
Пример. Рассмотрим функцию двух переменных . Производные , являются несмешанными производными, , - смешанными производными.
Теорема (о равенстве смешанных производных).
Пусть
1) функция определена в некоторой окрестности точки ;
2) существуют частные производные , , , в этой окрестности;
2) производные второго порядка , непрерывны в точке .
Тогда в точке .
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательное выражение:
.
Здесь h,k -достаточно малые чтобы оставаться в пределах окрестности из пунктов 1)-2).
Введем вспомогательную функцию
(*).
Очевидно,
Но непрерывна в точке .
Пусть . Тогда .
Рассмотрим выражение, аналогичное предложенному выше:
,
где
.
Аналогично получаем, что при выполнено .
Следовательно,
.
▲
Справедлива следующая общая теорема.
Теорема ( без доказательства).
Пусть функция определена в области . Пусть существуют и непрерывны все частные производные до k -го порядка включительно в области. Тогда смешанные производные до -го порядка не зависят от порядка дифференцирования.
Пример. Рассмотрим функцию двух переменных, у которой смешанные производные второго порядка существуют, но не равны в точке (0,0):
Имеем:
Видим, что
П.2. Дифференциалы высших порядков.
Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого
Рассмотрим дифференцируемую функцию n переменных . Вычислим ее первый дифференциал:
В правой части этого равенства стоит функция от переменных , - некоторые фиксированные постоянные. Возьмем дифференциал от левой и правой частей:
Формально можно записать:
Аналогично,
Вообще, справедлива формула:
Рассмотрим функцию двух переменных . Запишем формулы первого, второго и третьего дифференциалов этой функции:
Исследуем, является ли дифференциал порядка выше первого инвариантной величиной. Пусть функция является сложной функцией переменных
x=x(u,v), y=y(u,v);
Справедлива формула второго дифференциала:
(*)
Докажем, что нельзя записать, как это мы делали для первого дифференциала, что то есть форма второго дифференциала зависит от того, являются ли используемые переменные зависимыми или нет.
Имеем:
{так как первый дифференциал инвариантен}=
Если бы были независимыми переменными, то была бы справедлива формула, аналогичная формуле (*). Но в нашем случае, когда являются в свою очередь некоторыми функциями, видим, что форма второго дифференциала меняется, появляются два новых слагаемых и . Видим, что форма второго дифференциала неинвариантна.
Однако, существует частный случай, когда можно говорить, что форма второго дифференциала инвариантна. Это случай линейной замены переменных:
Отсюда в случае линейной замены переменных действительно получаем
П.3. Геометрические приложения частных производных.
Касательный вектор к кривой. Нормаль к поверхности.
Касательная плоскость
1) Касательный вектор. Рассмотрим кривую L в пространстве, заданную параметрическими уравнениями:
Фиксируем некоторое значение , тем самым фиксируем некоторую точку M на кривой L : Придадим переменной t некоторое приращение , получим точку Рассмотрим вектор
Пусть . Тогда из рисунка мы видим, что вектор направлен по касательной к кривой , в пределе можно записать формулу
Вектор является касательным вектором к кривой L .
2) Касательная плоскость к поверхности .
Пусть задана поверхность
Пусть точка - произвольная точка на поверхности то есть ее координаты удовлетворяют уравнению поверхности .
Проведем через точку M кривую L, целиком лежащую на поверхности : .
Строим - касательный вектор к кривой L в точке M. Пусть кривая L имеет следующие параметрические уравнения:
Но Функция одной переменной t тождественно равна 0 на отрезке [a,b]
Здесь мы ввели вектор - градиент функции
Вектор перпендикулярен касательному вектору ко кривой L в точке M.
Соотношение ( верно для любой кривой L, проходящей через точку M целиком лежащей на поверхности . Таким образом, вектор направлен вдоль нормали к поверхности S в точке M.
Учитывая этот факт, получаем, что касательная плоскость к поверхности в точке имеет уравнение:
Рассмотрим L - нормаль к поверхности в точке . Вектор является направляющим вектором этой прямой, отсюда выписываем уравнение нормали к поверхности в точке :
- уравнение нормали к поверхности.
Замечания.
1) Пусть поверхность задана явно:
этом случае уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид:
Нормаль к поверхности имеет уравнение:
2) Если в точке выполнено или хотя бы одна из частных производных не существует в этой точке, то касательная плоскость в точке не существует.
Рассмотрим геометрический смысл первого дифференциала. Используем результаты, полученные выше.
Рассмотрим функцию двух переменны . Пусть точка принадлежит области определения функции z. Тогда точка лежит на поверхности Фиксируем приращения . Имеем:
точка N лежит на поверхности, точка M лежит на плоскости, касающейся поверхности в точке :
Пусть P касательная плоскость к поверхности в точке
Пусть точка , где координата удовлетворяет уравнению плоскости P.
Имеем:
Отсюда получаем геометрический смысл первого дифференциала:
первый дифференциал геометрически равен приращению аппликаты точки приращению аппликаты точки касательной плоскости, если переменным
приданы приращения
Если функция z дифференцируема в точке, то верно соотношение ( точки K и N имеют совпадающие проекции на плоскость OXY )