Линал. Экзамен

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине " Линейная алгебра " для групп А - 5,13,14 - 13

1. ) Понятие евклидова пространства. Неравенство Коши - Буняковского.

Неравенство треугольника.

2. ) Понятие унитарного пространства. Неравенство Коши - Буняковского.

Неравенство треугольника.

3. ) Существование в евклидовом и унитарном пространствах ортонорми-

рованных базисов. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

4) Свойства ортонормированных базисов.

5. ) Определитель Г рама и его свойства : связь с линейной зависимостью

системы векторов.

5. ) Определитель Г рама и его свойства : оценки для величины определителя

снизу и сверху.

5. ) Понятие ортогонального дополнения к подпространству, его свойства.

8. Понятие линейного оператора. Примеры. Матрица оператора. Связь между координатами образа и прообраза.

9. Преобразование матрицы оператора при переходе к новым базисам.

10. Эквивалентные и подобные матрицы. Критерий эквивалентности

прямоугольных матриц.

8. Действия над линейными операторами : сложение, умножение на число, умножение операторов, возведение в целую положительную степень; соответствующие действия с их матрицами.

9. Ядро и образ оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

Ранг матрицы оператора.

8. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.

14 ) Обратный оператор. Условия обратимости оператора. Матрица обратного оператора.

15) Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Линейная независимость системы собственных векторов.

16. Характеристический многочлен линейного оператора, его независимость от выбора базиса.

17. Матрица оператора в базисе из собственных векторов. Оператор простой структуры.

18. Инвариантные подпространства линейного оператора, индуцированный оператор. Теорема о характеристическом многочлене индуцированного оператора.

19. Операторный многочлен, его свойства. Существование у оператора инвариантного подпространства размерности (ш - 1).

20. Треугольная форма матрицы оператора. Подобие любой квадратной матрицы треугольной матрице.

21 ) Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств с помощью операторного многочлена.

22) Единственность разложения пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.

23 ) Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств.

24) Теорема Кэли-Гамильтона.

25. ) Построение базиса в одном корневом подпространстве.

26. ) Циклические подпространства. Разложение корневого подпространства в

прямую сумму циклических подпространств. Матрица индуцированного оператора в циклическом подпространстве.

27. Корневой базис. Каноническая форма Жордана матрицы оператора.

28. Условие подобия квадратных матриц.

29 ) Понятие сопряженного оператора, его существование и единственность.

30) Связь сопряженного оператора с исходным оператором. Матрица сопряжённого оператора.

31. ) Двойственный базис. Матрица сопряженного оператора в двойственном

базисе.

31. ) Операторные уравнения. Теорема Фредгольма.

32. ) Теорема Шура

34. ) Нормальный оператор, его свойства.

35. ) Унитарный оператор, его свойства.

36. ) Эрмитов оператор, его свойства.

37) Арифметический корень степени m из неотрицательного эрмитова оператора : существование и единственность.

38. ) Сингулярные базисы и сингулярные числа линейного оператора.

Матрица оператора в сингулярных базисах.

38. ) Симметрический (самосопряжённый) оператор в евклидовом пространстве. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов.

40) Квадратичные формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.

41 ) Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду.

42) Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.

43 ) Закон инерции квадратичных форм.

44) Положительно определенные квадратичные формы.

45 ) Критерий положительной определённости квадратичной формы (критерий Сильвестра).

46. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

47. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к канони­ческому виду.

48 ) Неравенства Юнга, Гёльдера и Минковского.

49) Линейные нормированные пространства : норма, различные нормы в пространстве Rⁿ.

50 ) Понятие об эквивалентности норм. Теорема об эквивалентности двух норм.

51. Линейные нормированные пространства : сходимость по норме и покоординатная сходимость.

52. Операторы в линейном нормированном пространстве : непрерывность и ограниченность линейного оператора.

53. ) Норма линейного оператора . Подчинённая норма и её свойства.

54. ) Спектральная норма оператора, её свойства.

55) Матричные нормы линейного оператора: ||А||₁,||А||_∞, ||А||₂.

56 ) Множества с алгебраическими операциями. Бинарные операции, полугруппы и моноиды. Обратимые элементы. Примеры.

57. Группы, определение и примеры. Изоморфизм групп, его определение и свойства. Примеры.

58. Понятия кольца и поля. Примеры. Z_m-кольцо классов вычетов по модулю ш, его основное свойство (без доказательства).