kollokvium_lineyka

1. Матрицы. Операции сложения матриц и умножения матриц на число. Транспонирование матриц. Операция умножения матриц, её свойства.

2. Перестановки и подстановки, их свойства.

3. Определитель порядка n. Определитель транспонированной матрицы.

4. Свойства определителя : а) перестановка строк; б) умножение строки на число; в) разложение определителя, если строка - сумма двух строк.

5. Свойства определителя: а) признаки равенства определителя нулю; б) прибавление к одной строке другой.

6. Миноры. Теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение.

7. Теорема Лапласа.

8. Разложение определителя по строке или столбцу. Умножение элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки.

9. Правило Крамера.

10. Обратная матрица.

11. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

12. Следствия из теоремы о базисном миноре: а) о равенстве определителя нулю;

б) о линейной зависимости системы из (n+1) столбца размером из n элементов;

13. Следствие из теоремы о базисном миноре: о линейно независимой системе из k столбцов, линейно выражающихся через l столбцов.

14. Следствие из теоремы о базисном миноре: о линейном выражении столбцов матрицы через линейно независимую систему из r столбцов.

15. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной зависимости системы столбцов.

16. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

17. Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы.

18. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.

19. Теорема Кронекера-Капелли.

20. Формула Бине-Коши.

21. Следствие из формулы Бине-Коши: об определителе произведения матриц.

22. Следствие из формулы Бине-Коши: о представлении минора порядка р , являющегося минором произведения матриц.

23. Ранг произведения двух матриц. Неизменность ранга при умножении матрицы на невырожденную матрицу.

24. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: свойства решений,

эквивалентное урезание системы.

25. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: понятие о базисных и свободных неизвестных, условие нетривиальной совместности.

26. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: понятие о линейной зависимости решений, существование фундаментальной системы решений.

27. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: выражение базисных неизвестных через свободные.

28. Однородные системы линейных алгебраических уравнений: формула общего решения.

29. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений: формула общего решения. При подготовке к коллоквиуму рекомендуется решить следующие задачи (даны номера задач по задачнику Проскурякова И.В.) 120, 141, 142, 143, 206, 215, 216, 230, 231, 255, 287, 312, 327, 334, 364, 367, 423, 434, 623, 624, 626,627, 629, 635, 649, 650, 651, 653, 656, 820, 846, 847, 882,884, 888, 889. Рекомендуется также решить следующую задачу: Доказать, что при n > 1 ( n - порядок определителя ) определитель равен чётному числу, если все элементы матрицы определителя равны ± 1 .