термех 2 часть

Билет №8 Плоскопараллельное движение тела Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение тела в плоскости OXY. При движении тела величины  и  будут меняться: Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.  Плоскопараллельное движение можно представить состоящим из поступательного и вращательного движений.

Скорости точек тела при плоскопараллельном движении.  Теорема 1. Абсолютная скорость  любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости  поступательного движения плоской фигуры и вращательной скорости  во вращательном движении фигуры.  Положение любой точки тела можно определить равенством

Взяв производную от обеих частей уравнения по времени получим, 

, где  - искомая скорость;  - скорость полюса;  - скорость точки В при вращательном движении тела вокруг полюса А при  Таким образом  Теорема 2. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны и имеют одинаковый знак. Зная, что , спроецируем данное выражение на прямую АВ, тогда

Теорема 3. Плоская фигура в каждый момент времени имеет одну точку, абсолютная скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС). При движении плоской фигуры положение МЦС непрерывно меняется. Графически МЦС находится как точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из двух точек к направлениям их скоростей

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от них до мгновенного центра скоростей.

Если за полюс выбран МЦС, то скорость любой точки плоской фигуры есть вращательная скорость вокруг МЦС. Модуль скорости пропорционален расстоянию от точки до МЦС.

Зная для данного момента времени положение МЦС и скорость какой-либо точки плоской фигуры, можно определить угловую скорость и скорость любой точки плоской фигуры. Если известна по модулю и направлению скорость одной точки и направление скорости другой точки, то можно определить скорости всех точек плоской фигуры. Частные случаи определения положения МЦС. Если угловая скорость плоской фигуры равна нулю, то МЦС удален в бесконечность и тело совершает мгновенно- поступательное движение. Скорости всех точек плоской фигуры равны по величине и направлению.  Если скорости двух точек плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны линии, соединяющей эти точки, то МЦС можно найти из условия пропорциональности скоростей точек расстояниям от этих точек до МЦС.

При качении без скольжения одного тела по поверхности другого неподвижного тела МЦС совпадает с точкой соприкосновения тел, так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю. Определение ускорений точек тела. Абсолютное ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Движение плоской фигуры задано   Ускорение  точки В во вращательном движении вокруг полюса найдем по формулам  или  и  Вектор  всегда направлен от точки В к полюсу А, вектор  направлен перпендикулярно ВА в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное. 

№9 Сложное движение точки

Основные понятия и определения.

Движение точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением точки.

Движение точки относительно подвижной системы координат называется относительным движением точки.

Движение подвижной системы координат в неподвижной системе координат называется переносным движением.

Теоремы о сложении скоростей точки и об абсолютной производной вектора.

где _A - абсолютная скорость начала подвижной системы координат; dρ / dt является производной вектора ρ, известного в подвижной системе координат, которую находят в неподвижной системе координат и называют абсолютной производной вектора ρ.Найдем абсолютную производную вектора ρ:

Сумма называется относительной или локальной производной:

Теорема о локальной производной.

Абсолютная производная вектора равна сумме относительной (локальной) производной вектора и векторного произведения угловой скорости подвижной системы координат на сам этот вектор.

Подставляя (7) в выражение (1), имеем

Выделим переносную скорость точки, используя прием замораживания. Тогда после останова точки ее относительная скорость равна нулю V_r = 0, а абсолютная скорость равна ее переносной скорости V = V_e, так как остановленная в относительном движении точка (вмороженная в подвижную систему координат) продолжает перемещаться в неподвижной системе координат за счет переносного движения подвижной системы координат. Учитывая это, из выражения (8) имеем

Абсолютная скорость точки, участвующей в сложном движении, равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей. , где

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).

Абсолютное ускорение точки, участвующей в сложном движении, равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений. ,где

Величина кориолисова ускорения вычисляется по формуле

а направление вектора определяется по правилу построения вектора векторного произведения векторов ω_e и V_r 

№11 Центр масс системы материальных точек

ЦЕНТР МАСС (центр инерции) системы материальных точек – условная (или эквивалентная) точка, представляющая собой одну из геометрических характеристик распределения масс в системе. Пусть  – масса -той () точки системы, а  – радиус-вектор этой точки в некоторой системе координат. Тогда радиус-вектор  точки С – центра масс определяется по формуле

 , Моментом инерции системы материальных точек или тела относительно полюса (точки) называют алгебраическую сумму  произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния  их до полюса 0. При непрерывном распределении массы по объему тела момент инерции относительно полюса

Момент инерции тела зависит от:

1. расстояния до оси вращения;

2. формы тела;

3. массы тела;

4. распределения массы тела по его объему.

Теорема Гюйгенса-Штейнера Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела М на квадрат расстояния между осями:  I = I_c + Ma², где а — расстояние между осями.

№10 Законы Ньютона.

Основные законы динамики. Законы Галилея - Ньютона

1. Закон инерции: изолированная материальная точка неспособна вывести себя из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения без воздействия внешних сил или полей;2. Основной закон динамики: сила, действующая на тело, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и совпадает с ней по направлению: , масса - мера инертности точки: .3. Закон равенства действия и противодействия;4. Закон про равнодействующую силу: несколько одновременно действующих на точку сил сообщают ей такое ускорение, какое сообщает ей одна сила, равная их геометрической сумме: .

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах

Метод кинетостатики: если к движущейся под действием сил точке приложить силу инерции, то геометрическая сумма всех сил будет равна нулю: , где Ф - сила инерции.

Так как: , то проектируя на ось координат получаю:, так как: то аналогично для y и z получаю:

Основные задачи динамики точки

1. Зная массу материальной точки и уравнение ее движения определить модуль и направление равнодействующей силы, под действием которой точка движется.

2. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу и начальные условия движения определить траекторию.

№12 Кинетическая энергия материальной точки.

Теорема Кёнига

Кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс: , где  — полная кинетическая энергия,  — энергия движения центра масс,  — относительная кинетическая энергия. Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы вовращательном движении относительно центра масс.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Кинетическая энергия материальной точки - скаляр, равный половине произведение массы точки на квадрат ее скорости.

Теорема: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Основное уравнение динамики: , домножим на элементарное перемещение: ; ; . Интегрируя полученное выражение:

Работа

Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы.

Работа постоянной по модулю и направлению силы F на прямолинейном перемещении s ее точки приложения равна

Если угол  α  острый, то работа силы положительна, если тупой – отрицательна. 

Если направления силы и перемещения совпадают (α=0), то A = Fs; 

Если направление силы перпендикулярно направлению перемещения (α=90◦), то А = 0; 

Если направление силы противоположно направлению перемещения (α=180◦), то A = -Fs.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ - силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий, ни от закона движения этих точек. Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости, сила кулоновского (электростатического) взаимодействия

Для консервативных сил выполняются следующие тождества:

 — ротор консервативных сил равен 0;

 — работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0;

 — консервативная сила является градиентом некой скалярной функции , называемой силовой. Эта функция равна потенциальной энергии  взятой с обратным знаком. Соответственно,  и  связаны соотношением

Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Рср силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол α, определяется по формулеПереходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем истинную мощность:

Как было указано, F cos α является проекцией силы на направление движения материальной точки. Обозначив F cos α через Fv, получим, так как Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду, 

Кинетическая энергия механической системы при различных видах движения

Кинетическая энергия механической системы - скаляр, равный сумме кинетических энергий всех точек системы: .

При поступательном движении:

При вращательном движении:

При плоскопараллельном движении: , где d - расстояние от центра масс до МЦС.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

, так как работа внутренних сил равна нулю, то: .

Теорема: изменение кинетической энергии механической системы на конечном перемещении равно сумме работ внешних сил на том же перемещении.

Потенциальная энергия

Существуют две основные формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело с потенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного положения. Обозначив потенциальную энергию   получим, где G — сила тяжести точки (или тела); Н — высота центра тяжести от нулевого уровня.