3. Валы и диски

Скорость вращения вала не должна превышать первой критической скорости вращении, а напряжения от центробежных сил не должны превышать допустимых из расчета на неограниченную выносливость. Допустимый размер дефекта определяется и условия его нераспространения по типу I раскрытия трещин.

Расчет критических оборотов на базе конечномассовой модели рассмотрен в курсе «Сопротивление материалов» и [7].

4.3.1 Алгоритм прямого счета напряжений во вращающихся дисках

Аналитическое решение задачи о напряжениях в диске постоянного сечения внутренним радиусом a и наружным радиусом b , плотностью материала ρ и угловой скоростью ω дает

, (4.27)

. (4.28)

Для диска, выполненного за одно с валом, имеем граничные условия:

Следовательно

, .

Для диска, свободно посаженного на вал, имеем граничные условия:

.

После решения соответствующей системы алгебраических уравнений относительно А и В и подстановки в (4.27), (4.28), получаем

,.

4.3.2 Пример решения задачи 3

Расчетная схема задачи представлена на рисунке 6. Размеры конструкции (мм): l₁=300 мм, l₂=500 мм, d₁=240 мм, d₂=30 мм, D₁=200 мм, t₁=40 мм.

Размеры расчетной схемы стержня: а₁=150 мм, а₂=320 мм, а₃=590 мм, а₄=840 мм.

Расчетные моменты инерции сечений:

мм⁴

мм⁴

мм⁴

Расчетные меры инерции в 4-х массовой системе:

Параметры материала:

1.Расчет критической скорости вращения вала

Воспользуемся алгоритмом определения собственных частот колебаний стержня [1].

• Распределим массы и жесткости по длине в соответствии с чертежом и вычислим взаимные податливости в полученной четырехмассовой систем. Воспользуемся для этого шаблоном [1] численного интегрирования дифференциальных уравнений прямого стержня. В рассматриваемом примере получаем следующие значения в м/Н, 1/Н·м.

  δ11	δ21	δ31	δ41	δ21	δ22	δ23	δ24
  1.87E-06	2.26E-06	1.28E-06	2.53E-09	2.26E-06	2.98E-06	1.84E-06	1.96E-09
  δ31	δ32	δ33	δ34	δ41	δ42	δ 43	δ44
  1.28E-06	1.84E-06	1.42E-06	-3.11E-10	2.53E-09	1.96E-09	-3.11E-10	1.55E-11

• Воспользуемся шаблоном, в котором формируется характеристический определитель [1]. В примере удается найти два положительных его корня 1/сек², 1/сек². Откуда вычисляем две низшие критические круговые частоты

;

критические обороты , т.е.

.

2.Расчет предельной скорости вращения по методу допускаемых напряжений в диске

Для диска, выполненного заодно целое с валом, имеем максимальные напряжения при, т.е..

Принимаем цикл нагружения пульсирующим, т.е. . Тогда

МПа.

Из условия получаем ,.

3.Расчет допустимого размера трещины

Предельно допустимую скорость вращения принимаем равной поскольку критические частоты малы и при быстром пуске резонанс не может развиться. Тогда в указанной точке на поверхности дисканормальные напряжения

, ,

и из равенства вычисляем критическую длину трещины в мм:

.