сопромат2

вычисления нормального напряжения на площадке, перпендикулярной к площадке α :

На основании закона парности касательных напряжений τ X1 = τY1 . Сложив выражения (8.4) и (8.6) получим

Таким образом, при плоском напряженном состоянии сумма нормальных напряжений, действующих на двух взаимно перпендикулярных площадках, является постоянной величиной, не зависящей от выбора системы координат. Такие величины называются инвариантными.

8.6. Определение величины и направления главных напряжений

(8.6) меняются, но их сумма остаётся постоянной. Это возможно, если одно напряжение увеличиваться, а другое – на столько же уменьшаться. Следовательно, существуют две взаимно перпендикулярные площадки, на которых нормальные напряжения принимают экстремальное значение. Найдем эти площадки и экстремальные для точки напряжения. Для этого приравняем

нулю производную

31

8.8.1. Обобщённый закон Гука

Ранее было показано, что элемент, выделенный из центрально – растянутого стержня (рис.8.15) испытывает продольную ε и поперечную ε ′ деформации, связанные с напряжениямиσ формулами:

33

Пуассона. Деформация удлинения считается положительной, а укорочения – отрицательной. Формула (3.17) выражает закон Гука при линейном напряженном состоянии. Установим аналогичную связь для нормальных напряжений и деформаций при объёмном напряжённом состоянии (рис.8.16,а).

На рис.8.16а на гранях элемента не показаны касательные напряжения, которые в общем случае должны быть (см. рис.8.2). Дело в том, что при малых деформациях касательные напряжения вызывают лишь сдвиги сторон элемента, не изменяя их линейных размеров.

Для определения ε x ,ε y и ε z воспользуемся принципом независимости

действия сил и соотношениями (8.17) и (8.18). Суммарное относительное удлинение ε x по направлению напряжения σ x можно представить тремя

слагаемыми:

ε x = ε xx + ε xy + ε xz ,

где ε xx - деформация, возникающая при действии только напряжения σ x и

определяемая по формуле (8.17), так как она является продольной по отношению к σ x (рис.8.16б);

34

εxy - деформация в направлении σ x , но от напряженияσ y . Она является поперечной по отношению σ y , поэтому вычисляется по формуле (8.18);

ε xz - деформация в направлении σ x , вызванная напряжением σ z .

Следовательно,

ε x = σEx − μ σEy − μ σEz .

Применяя подобные рассуждения к определению ε y и ε z получим формулы закона Гука при объёмном напряжённом состоянии ( обобщённый закон Гука):

8.8.2. Относительное изменение объёма

Обозначим размеры сторон элементарного параллелепипеда (элемента) до

35

Производя в выражении (а) перемножение величин, стоящих в скобках,

получим после элементарных преобразований

V = (ε x + ε y + ε z + ε xε y + ε yε z + ε zε x + ε xε yε z )V0 .

В реальных строительных материалах величина относительных удлинений составляет тысячные, а то и десятитысячные доли. Поэтому их произведениями

можно пренебречь и абсолютное изменение объёма

больше 0.5, так как в противном случае при всестороннем сжатии тело не уменьшается, а увеличивается в объёме. Вывод о том, что μ ≤ 0.5 подтверждается опытными данными. В природе не обнаружено материалов, у которых коэффициент Пуассона был бы больше 0.5.

Второй важный вывод заключается в том, что εV = 0 , если сумма главных напряжений σ1 + σ 2 + σ 3 = 0.

36

8.8.3. Удельная потенциальная энергия

Энергия, накопленная в единице объёма тела в результате его деформации, называется удельной потенциальной энергией деформации:

теореме Клапейрона, работа силы упругости равна половине произведения силы на перемещение:

8.8.4. Потенциальная энергия изменения объёма и формы

Удельную потенциальную энергию деформации условно можно представить, как сумму потенциальной энергии, затраченной на изменение объёма и на изменение формы .Деление это производится по следующему принципу.

Каждое из главных напряжений представляется в виде суммы двух величин, первая из которых представляет собой напряжение всестороннего растяжения p ,

а вторая - дополнительное к p до исходного главного напряжение σ i′ (i=1,2,3) (рис.8.19):

37

При указанном условии система сил первого напряженного состояния ( p)

не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния.

Точно так же и силы второго напряженного состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют и внутренняя энергия разбивается на две части, соответствующие двум напряженным состояниям:

U0 = Uоб +Uф ,

где Uоб -энергия изменения объёма, а Uф -энергия изменения формы или энергия

формоизменения.

Подставляя в выражение (8.25) вместо главных напряжений величину p из (8.26), получим для первого состояния

8.9. Понятие о теории предельного состояния

Экспериментально установлено (Л.Р.№1), что с увеличением нагрузки

материал последовательно переходит из упругого состояния в состояние текучести, а затем в состояние разрушения. Упругое состояние называется

38

рабочим, а состояния текучести и разрушения считаются предельными соответственно для пластичных и хрупких материалов.

При простых деформациях, таких как растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб, когда нагруженность объекта расчета характеризуется только

одним максимальным нормальным напряжением или только одним максимальным касательным напряжением, упругое состояние, начало текучести и состояние разрушения легко установить, сравнивая максимальное действующее

испытаниями на растяжение или кручение одного образца. Также просто

формулируются условия прочности

σ max ≤ R или τ max ≤ Rср

или оценивается прочность по величине коэффициента запаса

где: σ max ,τ max − максимальные напряжения,

R, Rср – расчетные сопротивления материала соответственно по нормальным

и касательным напряжениям, σ пр ,τпр − предельные напряжения, пределы текучести или пределы

прочности.

При сложном напряженном состоянии подобная методика оценки прочности неосуществима из-за неисчерпаемости возможных сочетаний главных

достижения предельного напряженного состояния σ1*,σ 2*,σ3* . Экспериментальное

определение предельного напряженного состояния затруднено также тем, что

практически невозможно создать в образце напряженное состояние с заданным

начала текучести или разрушения) при сложном напряженном состоянии определяют с помощью теорий предельного состояния.

39

Теория предельного состояния это гипотеза о параметре, от величины которого зависит переход материала в новое механическое состояние. Этот параметр является функцией действующих напряжений П = f (σ1,σ 2 ,σ 3 ) . Два

напряженных состояния называются равноопасными, если коэффициенты запаса n или параметры П, определяющие состояние материала равны. Так объёмное

равноопасное сложному напряженному состоянию, называется эквивалентным напряжением (рис.8.20). Равенство (8.29) позволяет выразить σ э в зависимости от

действующих напряжений σ1,σ 2 ,σ 3 . Если эквивалентное напряжение определено, то условие прочности формулируется как при простых деформациях

σ экв ≤ R , коэффициент запаса n = σ пр , условие предельного состояния σ э = σ пр .

σ экв

Параметр состояния, по величине которого можно контролировать переход в пластичное состояние, называется критерием пластичности, а параметр, по величине которого определяют переход к состоянию разрушения, называется критерием разрушения. Приемлемость того или иного критерия и соответствующей этому критерию гипотезы проверяется практикой, путём

сопоставления результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными. Также устанавливаются пределы применимости исходной гипотезы,

если она достаточно хорошо подтверждается для некоторого класса напряженных состояний.

Были предложены различные критерии. Каждому критерию соответствует своя теория предельного состояния. Мы рассмотрим четыре наиболее распространенные теории. В двух из них используются критерии разрушения, а две другие определяют условия пластичности.

40