Определения выборки:
1. Выборка – это некоторая часть объектов генеральной совокупности, которая выступает в качестве объектов непосредственного изучения. 2. Выборка (sample, set) — конечный набор прецедентов (объектов, случаев, событий, испытуемых, образцов, и т.п.), некоторым способом выбранных из множества всех возможных прецедентов, называемого генеральной совокупностью. 3. Выборка (Выборочная совокупность). Часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение обо всей генеральной совокупности. Для того чтобы заключение, полученное путем изучения выборки, можно было распространить на всю генеральную совокупность, выборка должна обладать свойством репрезентативности.
Репрезентативность – свойство выборки воспроизводить характеристики генеральной совокупности. Таким образом, выборка должно быть копией генеральной совокупности относительно характеристик, существующих для цели исследования. Одна и та же выборка может быть репрезентативной и нерепрезентативной для разных генеральных совокупностей.
ПРИМЕР
Пример 1. Вычисление среднего значения и доверительного интервала для непрерывного количественного признака.
Для оценки скорости расчета с кредиторами в банке проведена случайная выборка 10 платежных документов. Их значения оказались равными (в днях): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20.
Необходимо с вероятностью Р = 0,954 определить предельную ошибку Δвыборочной средней и доверительные пределы среднего времени расчетов.
Решение. Среднее значение вычисляется по формуле из табл. 9.1 для выборочной совокупности
Дисперсия вычисляется по формуле из табл. 9.1.
Средняя квадратическая погрешность дня.
Ошибка средней вычисляется по формуле:
т.е. среднее значение равно x ± m = 12,0 ± 2,3 дней.
Достоверность среднего составила
Предельную ошибку вычислим по формуле из табл. 9.3 для повторного отбора, так как численность генеральной совокупности неизвестна, и для Р = 0,954уровня достоверности.
Таким образом, среднее значение равно `x ± D = `x ± 2m = 12,0 ± 4,6, т.е. его истинное значение лежит в пределах от 7,4 до16,6 дней.
Использование таблицы Стьюдента. Приложения позволяет заключить, что для n = 10 — 1 = 9 степеней свободы полученное значение достоверно с уровнем значимости a £ 0,001, т.е. полученное значение среднего достоверно отличается от 0.
Задача 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дням ( = 22) со стандартным отклонением 6 дней (S= 6). Необходимо с вероятностью Р = 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней продолжительности расчетов предприятий данной корпорации. Решение. Предельную ошибку = tопределяем по формуле повторного отбора (6.20), так как численность генеральной совокупности N неизвестна. Из представленных значений Ф (t) (см. с. 98) для вероятности Р = 0,954 находим t = 2. Следовательно, предельная ошибка выборки, дней: Предельная относительная ошибка выборки, %: Генеральная средняя будет равна = ± , а доверительные интервалы (пределы) генеральной средней исчисляем, исходя из двойного неравенства: Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя продолжительность расчетов предприятий данной корпорации колеблется в пределах от 20,8 до 23,2 дней. Задача 2. Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню душевого дохода (выборка 2%-ная, механическая) малообеспеченных оказалось 300 семей. Требуется с вероятностью 0,997 определить долю малообеспеченных семей во всем регионе. Решение. Выборочная доля (доля малообеспеченных семей среди обследованных семей) равна: По представленным ранее данным Ф(t) для вероятности 0,997 находим t = 3 (см. с. 99). Предельную ошибку доли определяем по формуле бесповторного отбора (механическая выборка всегда является бесповторной): Предельная относительная ошибка выборки, %: Генеральная доляа доверительные пределы генеральной доли исчисляем, исходя из двойного неравенства: В нашем примере: Таким образом, почти достоверно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля малообеспеченных семей среди всех семей региона колеблется от 28,6 до 31,4%. Задача 3. Для определения урожайности зерновых культур проведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные данные (табл.6.1). Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйствам региона. Таблица 6.1 Распределение урожайности по хозяйствам региона, имеющим различную форму собственности
Хозяйства (по формам собственности) |
Количество обследованных хозяйств f |
Средняя урожайность, ц/га xi |
Дисперсия урожайности в каждой группе Si2 |
Коллективные Акционерные общества Крестьянские (фермерские) |
30 50 20 |
18 20 28 |
15 25 40 |
Итого |
100 |
— |
— |
Решение. Поскольку обследованные хозяйства региона сгруппированы по формам собственности, предельную ошибку средней урожайности определяем по формуле для типической выборки, осуществляемой методом повторного отбора (численность генеральной совокупности N неизвестна): В этой формуле неизвестна средняя из внутригрупповых дисперсий. Она исчисляется по формуле: По представленным ранее (см. с. 98) данным Ф (t) для вероятности Р =0,954 находим t = 2. Тогда предельная ошибка выборки, ц/га: Генеральная средняя: = ± . Для нахождения ее границ вначале нужно исчислить среднюю урожайность по выборочной совокупности , ц/га: Предельная относительная ошибка выборки, %: Доверительные пределы генеральной средней исчисляем, исходя из двойного неравенства: Таким образом, с вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя урожайность зерновых культур по региону будет не менее чем 20 ц/га, но и не более чем 22 ц/га. Определение необходимого объема выборки. При проектировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки очень важно правильно определить численность (объем) выборочной совокупности, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для определения необходимой численности выборки п легко получить непосредственно из формул ошибок выборки. Так, из формул предельной ошибки выборки для повторного отбора нетрудно (предварительно возведя в квадрат обе части равенства) выразить необходимую численность выборки: • для средней количественного признака (29) • для доли (альтернативного признака) (30) Аналогично из формул предельной ошибки выборки для бесповторного отбора находим, что (для средней); (31) (для доли). (32) Эти формулы показывают, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается необходимый объем выборки. Для расчета объема выборки нужно знать дисперсию. Она может быть заимствована из проводимых ранее обследований данной или аналогичной совокупности, а если таковых нет, тогда для определения дисперсии надо провести специальное выборочное обследование небольшого объема.