40.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Опр. Линейн.ОУ диф-ные ур-я 2 порядка, с пост.коэф.наз-я ур-е вида

−во:т.к.

: 1.f(x)= (x)-многочлен в степени n. Тогда частное реш-е ур-я : 1.

Билет 32.Сведение двойного интеграла к повторному.

Т1: Пусть ф-ции f(x.y) инт-ма в прямоуг. Области D={(x,y}|axb,cyd},причем х тогда ∃ интеграл . Случай криволинейной области. Т2: Пусть ф-ция инт-ма в криволин. Обл. G={(x,y}|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}, где φ1(x)≤φ2(x) [a;b],причем [a;b] сущ-ет инт-л:

I(x)==

Билет 33.Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть ф-ция Z= f(x,y) инт-ма в некотор. Области G к точкам x=x(u,v), y=y(u,v)- ф-ция определена на некотор области непрерывной и диф-ма во всех точках данной области.

якобиан матрицы,причем .

Х=x(u,v),y=y(u,v): )=G

Билет 34.Геометрические приложения двойного интеграла. 1.Площадь плоской фигуры

Пусть плоская фигура огранич.кусочно-гладкой кривой, тогда S фигуры вычисл-ся: S=

2.V тела.

Пусть f(x,y)- ф-ция определена на огранич.области G, непрерывна и неотрицательна во всех точках данной области, тогда Vтела, огранич.сверху ф-цией f(x,y), а снизу z=0, вычисл. По ф-ле: V=

37.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Метод подстановки.

Опр:Ур-е вида y’+p(x)=f(x) (1), где p(x) и f(x)- непрерыв.ф-ции,наз-ся линейн.диф-ное ур-е 1-го порядка. Если f(x), то (1)-наз. Однородное линейное ур-е, если же f(x)≠0, то (1)-неоднород.линейн. ур-е

Методы реш-й:

1. Метод вариации произвольной постоянной

а)Рассм. Соот-щее ур-ю (1) однородное лин.ур-е

y’+p(x)y=0; ln|y|=y=

б) Рассм. Вместо const неизв. Ф-цию z(x)

=z(x); y=zz’-=f(x) y=(

2.Метод подстановки

Определим y=uv,где u,v- неизвестный ф-ции , найдем реш-е в виде произведения u*v

(uv)’+ p(x)uv=f(x) (2)

U’v+uv’+ p(x)uv=f(x); U’v+u(v’+ p(x)v)=f(x).Потребуем, чтобы содержимое скобки =0. u’=f(x);

Du=f(x)

Билет 25.Производные функции двух переменных. Дифференцируемость. Дифференциал функции.

производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной:

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy. Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Опр. Пусть f(xy) – диф-ма в нек.т М - диф-ал ф-ции и обоз-ся dz. Dz=f’x(xy)+f’y(xy). Предположим z=x. dz=dx=. z=y: dz=dy==> dz=f’x(xy)dx+d’y(xy)dy.

Билет 27.Производные сложных функций нескольких переменных.

Т. Пусть ф-ции x=x(t) и y=y(t) – диф-мы в т.t, а ф-ция z=f(xy) – диф-ма в т М. Тогда слож.ф-ция f(x(t),y(t)) диф-ма в т.t, причем

Билет 31. Двойные интегралы. Определение и существование двойного интеграла.

Пусть G – нек. Ограничен.и замкнут. обл. и f(xy) – нек.ф-ция, опред-я в обл. G. Разобьем обл g на n произвольных частей, не имеющих общих внутр. Точек. Площади частей G1,G2,…Gn обозначим [Пусть G-нек. Обл. Диаметром обл-ти наз-ся макс расстояние м/д граничными точками облG и обозн. d(G)] на каждой части Gi зафикс. Произвольн.образом точку (

Билет26. Необходимое условие дифти ф-ции 2хпеременных

Теорема. (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные, причем dz/dx = А, dz/dy = В.

Достат.условие диф-ти: Теор. Пусть ф-ция f(xy) имеет частн производ-е в нек окр-ти т М, причем дан производ непрерывны в М. Тогда f(xy) диф-ма в дан.точке.