1.1.2. Прохождение электромагнитной волны через индуктивность

Пусть электромагнитная волна U_пад с прямоугольным фронтом движется по линии с волновым сопротивлением Z₁ и набегает через индуктивность L на шины подстанции, от которой отходит линия с волновым сопротивлением Z₂ (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Прохождение электромагнитной волны через индуктивность

Для эквивалентной схемы составим уравнение по закону Кирхгофа:

, (1.16)

где i_пр – мгновенное значение преломленного тока.

Преобразуем:

.

Разделим переменные:

или .

Интегрируем получившееся выражение

(1.17)

Умножим и разделим левую часть уравнения (1.17) на (Z₁ + Z₂), в числителе внесем (Z₁ + Z₂) под знак дифференциала; левой и правой частям уравнения присвоим знак « – », в левой части уравнения внесем « – » под знак дифференциала:

(1.18)

Добавим произвольное слагаемое 2U_пад под знак дифференциала:

(1.19)

После интегрирования получим

. (1.20)

Определим постоянную интегрирования K. В начальный момент времени t = 0 ток i_пр равен 0, поэтому

. (1.21)

Подставим (1.21) в выражение (1.20), получим

(1.22)

Потенцируем (1.22):

Выразим i_пр :

(1.23)

С учетом окончательно получим

или , (1.24)

где T_L = L/( Z₁ + Z₂) – постоянная времени.

Рис. 1.4. Отраженная волна перед индуктивностью

И з уравнения (1.24) видно, что амплитуда преломленной волны U_пр на шинах подстанции уменьшится на коэффициент преломления , а фронт волны будет возрастать по экспоненте с постоянной времени T_L, т.е. произойдет сглаживание фронта волны (рис. 1.4).Найдем напряжение отраженной волны. Запишем соотношение напряжений для узловой точки с учетом наличия индуктивности:

или . (1.25)

Продифференцируем уравнение (1.23):

или . (1.26)

Подставим (1.26) и (1.24) в выражение (1.25):

.

Сгруппируем и окончательно получим

(1.27)

В начальный момент времени (подставим t = 0 в (1.27)) напряжение отраженной волны

(1.28)

В начальный момент времени напряжение отраженной волны равно напряжению падающей волны с сохранением знака, а затем уменьшается по экспоненте (см. рис. 1.4).

1.1.3. Прохождение электромагнитной волны мимо емкости

Пусть на шины подстанции подключена емкость С. По линии Z₁ набегает электромагнитная волна с прямоугольным фронтом. Эквивалентная схема представлена на рис. 1.5. На практике электромагнитные волны, подходя к подстанции, преодолевают не только индуктивности, но и зачастую проходят мимо емкости (см. рис. 1.5). Рассмотрим, какое же влияние окажет емкость на прямоугольную волну бесконечной длины.

Рис. 1.5. Прохождение электромагнитной волны мимо емкости

Для эквивалентной схемы составим уравнения по закону Кирхгофа и закону полного тока:

(1.29)

Продифференцируем второе уравнение системы (1.29) и выразим i_С.

(1.30)

Подставим (1.30) в третье уравнение системы (1.29):

(1.31)

Подставим (1.31) в первое уравнение системы (1.29):

Разделим переменные:

(1.32)

Дальнейшие операции произведем по аналогии с выводом формул для прохождения электромагнитной волны через индуктивность. После интегрирования и последующего потенцирования, имеем:

(1.33)

С учетом окончательно получим:

или , (1.34)

где T_С = СZ₁Z₂/( Z₁ + Z₂) – постоянная времени.

Из уравнения (1.34) видно, что амплитуда преломленной волны U_пр на шинах подстанции уменьшится на коэффициент преломления , а фронт волны будет возрастать по экспоненте с постоянной времени T_С, т.е. произойдет сглаживание фронта волны (рис. 1.6).

Так как U_пад+ U_пр = U_отр, то напряжение отраженной волны:

(1.35)

или (1.36)

Рис. 1.6. Отраженная волна перед емкостью

Напряжение отраженной волны в первый момент времени

, (1.37)

т.е. волна, отраженная от емкости, в отличие от волны, отраженной от индуктивности, изменяет знак и затем убывает по экспоненте (см. рис. 1.6).

На подстанциях с воздушными линиями для сглаживания фронта выгодно ставить емкость, так как электромагнитная волна, движущееся по таким линиям, несет энергию, большая часть которой заключена в электрическом поле. На подстанциях с кабельными вставками лучше ставить индуктивность, так как вся энергия волны заключена в магнитном поле.