Алгебраические критерии устойчивости

Необходимое условие устойчивости:

Необходимым (но недостаточным для систем выше второго порядка) условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

Критерий Гурвица. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется квадратная матрица, состоящего из n столбцов и n строк.

(1.2)

Далее составляются главные диагональные миноры, называемые определителями Гурвица.

(1.3)

и т. д. до _n включительно.

Критерий устойчивости Гурвица определяет систему устойчивой в том и только в том случае, когда все n определителей Гурвица будут положительными.

Обычно, применяя критерий Гурвица, используют его модификацию (критерий Льенара—Шипара), из которой следует, что положительность нечётных определителей Гурвица означает положительность его чётных определителей, и, наоборот, положительность чётных определителей Гурвица означает положительность его нечётных определителей.

Критерий Рауса. Составляется таблица по следующему правилу:

, (1.4)

где i – номер строки, j – номер столбца. Количество строк в таблице Рауса равно , где- порядок системы.

Формулировка критерия Рауса: САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включая а₀ и а₁).

Если не все коэффициенты столбца положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.

Таблица Рауса:

Частотные критерии устойчивости

Критерий Михайлова так же, как критерии Гурвица и Рауса, основан на анализе характеристического уравнения системы, поэтому с его помощью можно судить об устойчивости замкнутых и разомкнутых систем.

Подставим в характеристический полином вместо переменного p чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать j. Тогда получим функцию комплексного переменного

(1.5)

которую можно так же, как амплитудно-фазовую характеристику, представить в виде суммы действительной и мнимой частей:

(1.6)

Действительная часть содержит только четные степени переменного :

(1.7)

а мнимая часть — только нечетные:

(1.8)

Каждому фиксированному значению переменного  соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр  от 0 до , то конец вектора опишет некоторую линию (рис.1.2, а), которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.

Формулировка критерия Михайлова: автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка, устойчива, если при изменении  0 до  характеристический вектор системы повернется против часовой стрелки на угол n/2, не обращаясь при этом в нуль.

Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении  от 0 до  пройти последовательно через n квадрантов. Из выражений (1.7) и (1.8) следует, что кривая всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину a_n.

Рис. 1.2. Характеристические кривые.

Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам, имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения (рис.1.2, б.). Если характеристическая кривая проходит n квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рис.1.2, в.). Если кривая F(j) проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. В практических расчетах удобно применять

следствие из критерия Михайлова: система устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции обращаются в нуль поочередно, т.е. если корни уравнений и перемежаются и и (рис.1.2, г.).

Критерий Найквиста был сформулирован американским физиком X. Найквистом в 1932 г.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

Формулировка критерия Найквиста: замкнутая автоматическая система управления устойчива, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов АФЧХ через ось абсцисс слева от точки (-1; ј 0) равна m/2, где m — число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура.

Если АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке ( -∞; -1), то считают, что характеристика совершает полперехода.

Для использования изложенного приема применительно к астатическим системам, которые содержат интегрирующие звенья, и амплитудно-фазовые характеристики которых начинаются в -∞, характеристику W(јω) предварительно дополняют дугой окружности бесконечно большого радиуса, длина дуги зависит от порядка астатизма. Для определения устойчивости систем с астатизмом порядка , следует дополнить АФЧХ разомкнутой системы дугойокружности бесконечно большого радиуса и затем применить критерий Найквиста.

Частота, при которой амплитудная характеристика А(ω) принимает значение 1, называется частотой среза и обозначается ω_ср. Частоту, при которой фазовый сдвиг

φ(ω) = -π, обозначают ω_π.

Пользуясь введенными обозначениями, можно записать условие нахождения системы на границе устойчивости:

(1.9)

Частота, с которой система колеблется на границе устойчивости, называется критической и обозначается ω_кр.

Порядок выполнения работы.

1. Получить индивидуальное задание – линейную непрерывную систему третьего порядка.

2. Подобрать параметры исследуемых САУ:

   1. Получить характеристическое уравнение системы, подставить числовые значения.

   2. Выписать условия устойчивости по критерию Гурвица, получить зависимость от K.

   3. Подставить параметр K для устойчивого состояния в характеристическое уравнение. Найти и проанализировать корни получившегося уравнения.

   4. Собрать схему для моделирования устойчивого переходного процесса САУ (схема системы_1).

   5. Заменить в разомкнутом контуре последнее апериодическое звено звеном запаздывания, подобрать путем моделирования величину запаздывания так, чтобы система осталась устойчивой (схема системы_2).

3. Исследовать устойчивость системы аналитически:

   1. Доказать устойчивость системы_1 критерием Рауса.

   2. Доказать устойчивость системы_1, используя следствие из критерия Михайлова (без построения кривых).

4. Исследовать устойчивость системы со звеном запаздывания с помощью критерия Михайлова:

   1. Получить действительную - и мнимую - составляющие характеристической функции длясистемы_2.

   2. Построить годограф Михайлова, убедиться в устойчивости системы по виду годографа.

5. Исследовать устойчивость системы со звеном запаздывания с помощью критерия Найквиста:

   1. Определить устойчивость разомкнутой системы_2 любым критерием (найти количество правых корней).

   2. По виду АФЧХ разомкнутой системы_2 (со звеном запаздывания) определить устойчивость замкнутой системы_2.

Содержание отчета

1. На титульном листе кроме основных сведений также указывается номер варианта и номер(а) компьютера(ов), на котором(ых) проводилось моделирование.

2. Цель работы.

3. Индивидуальное задание: структурная схема, численные значения параметров.

4. Протокол выполнения работы, включая графики всех полученных характеристик и все расчеты и преобразования для схем.

Под каждым графиком должен быть указан путь до соответствующей схемы моделирования, начиная от номера компьютера.

5. Выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. Для каких систем формулируются критерии Рауса и Гурвица?

2. Как комплексные корни характеристического уравнения влияют на характер переходного процесса?

3. Устойчивость по Ляпунову.

4. Какой критерий устойчивости применяется, если коэффициенты характеристического уравнения имеют разные знаки?

5. Формулировки критерия Михайлова.

6. Почему характеристическая кривая обязательно начинается на действительной оси?

7. Для анализа каких систем можно использовать критерий Михайлова?

8. Формулировки критерия Найквиста для устойчивых и неустойчивых систем.

9. Решение задачи на критерий Найквиста или критерий Михайлова.