3. Уравнение д. Бернулли

3.1. Уравнение д. Бернулли без учета потерь энергии

Уравнение Д. Бернулли для потока невязкой жидкости (без учета потерь энергии), составленное в отношении произвольно выбранной плоскости сравнения, имеет следующий вид:

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух видов энергии: потенциальной, состоящей из энергии положения и энергии давления, и кинетической энергии, отнесенных к единице веса движущейся жидкости. Коэффициент кинетической энергии по­тока, входящий в уравнение Д. Бернулли при движении невязкой жид­кости, может быть принят равным единице.

Многие практические задачи, связанные с установившимся дви­жением жидкости, решаются совместным применением уравнения Д. Бернулли и уравнения неразрывности (сплошности) потока.

Уравнение неразрывности может быть записано в следующем виде:

откуда

где V₁иV₂— средние скорости в сечениях потока;

и— соответствующие площади живых сечений.

Примеры

3.1.Определить расход водыв трубе диаметром, имеющей плавное сужение до диаметра, если показания пьезометров: до сужения; в сужении. Температура воды.

Решение.Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, принимая за плоскость сравнения ось трубы:

.

Учитывая, что , пренебрегая потерями напора, т. е. принимая, и полагая,получим:

.

Из уравнения неразрывности расхода имеем:

.

Поскольку

;,

находим:

.

Обозначим

.

Тогда уравнение Бернулли запишется в виде

,

откуда найдем скорость в сечении 1-1:

.

Расход воды в трубе

,

где μ – коэффициент, учитывающий уменьшение расхода вследствие потерь напора; в первом приближении принимаем μ=0,98; тогда расход будет

.

Коэффициент μ зависит от отношения диаметров и числа Рейнольдса:

;

.

Найдем скорость в сужении трубы

.

Кинематическую вязкость воды примем: (табл. П-12).

С учётом полученных данных найдем число Рейнольдса

.

По табл. П-25 находим μ =0,98. Следовательно, в первом приближении значение μ принято верно.

Искомый расход .

Замечание: Рассмотренное сужение трубы с плавными переходами от большего диаметра к малому и от малого к большому называется водомером Вентури.

Ответ: .

3.2.Определить, на какую высоту поднимается вода в трубке, один конец которой присоединён к суженному сечению трубопровода, а другой конец опущен в воду. Расход воды в трубе, избыточное давление, диаметрыи.

Решение.Уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно оси трубы (потерями напора пренебрегаем) имеет вид (при)

.

Учитывая, что скорости в сечениях 1-1 и 2-2 находятся так

и,

то после преобразований получим:

Полученная отрицательная высота – вакуумметрическая высота. На эту высоту и поднимается вода в трубке.

Ответ: .

3.3. Определить критическую скорость, отвечающую переходу от ламинарного режима к турбулентному, в трубе диаметромd= 0,03 м при движении воды и воздуха при температуре 25˚C и глицерина при температуре 20˚C.

Решение.Из формулы для критического числа Рейнольдса имеем:

.

Для воды

.

Для воздуха

.

Для глицерина

.

3.4. Определить давлениер₁ в сечении1-1горизонтально рас­положенного сопла гидромонитора, необходимое для прида­ния скорости водеV₂ = 40м/св выходном сечении2-2, если скорость движения воды в сечении1-1 V₁= 3м/с.

Решение.Данная задача может быть решена при помощи уравнения Д. Бернулли и уравнения неразрывности.

При составлении уравнения Д. Бернулли следует выбрать два сечения в рассматриваемом потоке и плоскость сравнения, по отношению к которой записывается уравнение для двух выбранных сечений. Эти сечения и плоскость сравнения выбираются так, чтобы наибольшее количество величин, входящих в уравнение, были известными, а в уравнение входили искомые величины.

При решении данной задачи удобно использовать сечения 1 — 1 и2 —2, поскольку скорости в этих сечениях заданы, давлениеp₁подлежит определению, а давлениер₂в сечении на выходе из гидромонитора равно атмосферному. Плоскость сравнения следует провести через ось сопла, тогда удельные энергии положенияz₁ = z₂ = 0 и уравнение Д. Бернулли будет иметь следующий вид:

откуда.

Ответ:.

3.5.Определить диаметрdсуженной части горизонтального тру­бопровода, при котором вода поднимается на высотуh = 3,5м при расходе

Q= 6л/с и диаметреD = 10см.

Решение.Плоскость сравнения совместим с осью трубы. Выбрав сечения1 — 1 и2 —2 и составив уравнение Д. Бернулли, получим:

Так как плоскость сравнения проведена по оси трубы, то z₁ =z₂= 0, и тогда

Для того чтобы вода поднялась на высоту 3,5 м, необходимо, чтобы удельная энергия давления в сечении1 — 1была равна, откуда.

Так как истечение происходит в атмосферу, то давление р₂равно атмосферному, т.е.

Следовательно,

Для определения диаметра суженной части воспользуемся уравнением неразрывности движения , гдеи.

Подставив в уравнение найденные величины, получим

откуда искомый диаметр

Ответ: .

3.6.Определить расход воды в горизонтальном трубопроводе пере­менного сечения, скорость на каждом из участков и по­строить пьезометрическую линию, еслиH= 5м, d₁= 15мм, d₂= 20мм и d₃ = 10мм.

Решение.Уравнение Д. Бернулли для сечений0 — 0 и3 —3при совмещении плоскости сравнения с осью трубы будет иметь вид

В данном случае =H,= 0. В связи с тем, что в сечениях0—0 и3—3давление равно атмосферному, то. Учитывая, чтоH=const, а скорость в сечении0—0 V₀= 0, скорость в выходном сечении3 —3определится из зависимости

откуда

Расход воды в трубопроводе

Скорость в сечении 1 — 1

Скорость в сечении 2 —2

Пьезометрическую линию строят, исходя из следующих положений. Поскольку задача решается без учета потерь энергии, то напорная линия (линия полной энергии) будет представлять собой горизонтальную прямую, являющуюся продолжением свободной поверхности воды в сечении 0 —0. Пьезометрическая линия расположится ниже напорной линии на величинув каждом сечении. Таким образом, отложив вниз от напорной линии величиныв сечениях, соответствующих изменению диаметра трубопровода, получим ряд точек, соединив которые построим пьезомет­рическую линию (см. рис). При этом:

Ответ: .

3.7. Определить избыточное давление воды на входе в брандспойт и диаметр выходного сечения , необходимые для получения струи мощностьюQ=9 л/с, бьющей вертикально вверх на высоту Н=15 м при диаметре входного сеченияD=60 мм и длине брандспойтаh=0,5 м.

Решение:

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 3-3

относительно плоскости сравнения

0. (см.рис.):

,

где Z₁=0;p₁=;Z₃=(H+h);p₃=p_атм;V₃=0;V₁=.

Тогда .

Откуда найдем давление на входе в брандспойт:

Па=1,498Па.

Составим уравнение Бернулли для сечений 2-2 и 3-3 относительно плоскости сравнения (см.рис.):

,

где Z₂=0;p₂=p_атм; р₃=р_атм;Z₃=H;V₃=0.

Тогда получаем уравнение:

, откуда определим скорость воды на входеVм|c.

Из уравнения постоянства расхода Q=найдем диаметрd:

d=м=25,8 мм.

Ответ: рПа;d=25,8 мм.

3.8. Поршень в цилиндре А, двигаясь вверх, поднимает воду из резервуара В при разности уровней воды в цилиндре под поршнем и в резервуаре Н=3 м. Определить скорость движения поршня, при котором абсолютное давление под ним р=0,65 кг/см.

Решение:

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0 (см.рис.):

Z,

где Z;p=p;V;Z=H;p=p;V=V.

Тогда =H+.

Откуда найдем скорость поршня:

V=м/с.

Ответ: V_n=3,13 м/с.

3.9. Давление в трубопроводе диаметром d=35 мм при закрытом кране равно p=3,2 кгс/см². Определить давление перед краном при расходе воды в трубопроводе Q=7,3 л/с.

Решение:

Найдём скорость движения воды в трубе после открытия крана:

м/с.

Таким образом, часть давления (первоначального) перейдёт в скоростной напор:

H_v=м.

Найдём это конечное давление перед краном:

^{р1 =}

Па = 2,88 кгс/см².

Ответ:р₁=2,88 кгс/см².

3.10. Горизонтальный отстойник для очистки сточных вод имеет ширинуb=1,5 м и глубинуh=1,0 м. Режим движения воды в отстойнике ламинарный. Определить максимально допустимый расход сточных вод в отстойнике, еслиt _в=20^oC,Rе<Rе _кр

Решение: Так как режим движения воды в отстойнике ламинарный, то число Рейнольда длжно быть меньше критического, которое для открытых русел может быть найдено по зависимости:

Rе’_кр== 800 ÷ 900,

где R=- гидравлический радиус;

ω=bh–площадь гидравлического сечения отстойника;

χ= 2h+b– смоченный периметр отстойника.

Тогда R= = =.

Найдём максимальное значение скорости, соответствующее максимальному режиму движения. При этом = 1.01·10^-6 м²/c (Приложение 2, стр 226 (1)).

Замечание : скорость получилась вполне удовлетворительная для горизонтальных отстойников. Теперь найдём максимально допустимый расход сточных вод:

л/c

Ответ: .

3.11. Под действием разности уровнейH= 2,6 м и избыточном давленииp₀ = 0.3 ат по трубе нормального сечения вода перетекает из из верхнего резервуара в нижний(d₁=150мм,d₂=125 мм,d ₃=100 мм). Определить расход воды и построить пьезометрическую линию без учёта потерь на трение.

Решение:

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1

и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0

( см. рис.):

,

где Z₁=H;Z₂= 0;p_{1 =} p_o +p_ат;p₂ =p_ат;

V₁ =V₂≈ 0.

Так как по условию задачи потери на трение

не учитываются, то остаются только

потери напора на местных сопротивлениях:

h_w=h_l +h_м= 0 +h_м,

где h_м =h_вх +h_вн.с.1 +h_вн.c.2 +h_вых.

В результате получаем:

или (*).

Распишем местные сопротивления:

;:

;;

где ;;

;;

.

Подставив исходные данные в эти формулы, в результате получим:

;;

;

;

;

;

Потери напора в местных сопротивлениях приведем к одной скорости, в частности, к V_{3 :}

;;

;;

Представив эти значения в уравнение (*) , в результате получим:

.

Найдём напор; соответствующий давлению

.

Получаем уравнение:

,

откуда найдём скорость

.

Найдём величину расхода воды, протекающей по трубе:

Для построения пьезометрической линии найдём величину скоростного напора в каждой из трёх труб:

;

;

.

Найдём теперь потери напора на местных сопротивлениях и от этих значений вниз отложим величины скоростных напоров, в результате получим линию пьезометрических напоров p-p:

;

;

;

.

Замечание: если бы в решении задачи были учтены потери напора на трение по длине, то линияp-pна участкахd_1, d_2, d₃ имела бы наклонный характер.

3.12. Из открытого резервуара вода вытекает по расширяющейся трубе с диаметрамиd₁=300 мм иd₂=350 мм , длиной от суженной части до нижнего сеченияH₂= 2,5 м. Найти давлениеpв суженной части трубы при напореH₁= 0,65 м. Потерями напора пренебречь.

Решение:

Запишем уравнение Бернулли для сечений а-а и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0 (см. рис.):

Тогда

откуда найдем скорость истечения :

.

По уравнению постоянства расхода найдем скорость воды в сечении 1-1:

.

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0:

где .

Тогда откуда найдём давление

Ответ:

3.13. Определить среднюю скорость движения воды в трубе, если разность показаний между динамической и статической трубками, определяемая по ртутному дифференциальному пьезометру, составляетh=20 мм.

Решеиие:

Составим уравнение равновесия для

ртутного пьезометра:

,

где - давление в точке А.

Получаем

=h(- 1).

Следовательно, скорость на оси трубы равна: ==

==2,22м/с

Средняя скорость в трубе при турбулентном режиме движения составит

V=(0,850,95)=(0,850,95)2,22= (1,892,11)м/с.

Ответ. V2,0м/с.

3.14. Из резервуара по трубе, имеющей сужение, протекает вода. Определить диаметр суженной частиd, при котором образуется заданная величинаh_вак=10мм, если известны напор Н=10м и диаметрD=100мм.

Дано:

Решение:

Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 2-2 относительно плоскости сравнения -:

где .

Тогда получаем .

Найдём скорость на выходе из трубы .

Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения -:

где .

Подставим и получим ,

Откуда найдём вакуум.

Поделим на удельный вес ртути и найдём вакуумметрическую высоту

;

или

.

Найдём скорость в сечении 1-1

По уравнению неразрывности найдём диаметр в сечении 1-1

Ответ: .