2.4. Плавание тел

По закону Архимеда на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх,

где W— объем погруженной части тела.

Вес воды, вытесняемой телом, полностью или частично погру­женным в воду, называется водоизмещением.

Центр тяжести вытесненного объема жидкости называетсяцент­ром водоизмещения илицентром давления. При наклоне (крене) плавающего тела центр водо­измещения изменяет свое положение.

Линия, проходящая через центр тяжести тела и центр водоизмеще­ния в положении равновесия пер­пендикулярно свободной поверхности воды (плоскости плавания), явля­етсяосью плавания. В положении рав­новесия ось плавания вертикальна, при крене она наклонена к вертикали под углом крена.

Точку пересечения подъемной силы Р при наклонном положении тела с осью плавания принято называтьме­тацентром. Расстояние между цент­ром тяжести тела и метацентромMобозначается черезh_м(метацентрическая высота). Чем выше расположен метацентр над центром тяжести тела, т. е. чем больше метацентрическая высота, тем больше остойчивость тела (способность из крена переходить в положение равновесия), так как момент пары сил, стремящийся восстановить равновесие тела, прямо пропорционален метацентрической высоте. Величина метацентрической высоты может быть определена по формуле

где — момент инерции площади плоскости плавания относительно продольной оси;

W— водоизмещение тела;

е — расстояние между центром тяжести и центром водоизме­щения.

Если метацентр лежит ниже центра тяжести тела, т. е. метацентрическая высота отрицательна, то тело неостойчиво.

Примеры

2.48.Определить вес груза, установленного на круглом в плане металлическом понтоне диаметром, если после установки груза осадка понтона увеличилась на.

Решение.Вес груза равен дополнительной силе вытеснения воды. В соответствии с законом Архимеда дополнительная сила вытеснения воды определяется по формуле:

.

Следовательно, вес груза

.

Ответ: .

2.49.Простейший ареометр (прибор для определения плотности жидкостей), выполненный из круглого карандаша диаметроми прикреплённого к его основанию металлического шарика диаметром, имеет вес. Определить плотность жидкости, если ареометр цилиндрической частью погружается в неё на глубину.

Решение.Вес ареометра уравновешивается силой вытеснения (архимедовой силой).

Следовательно,

,

откуда найдем плотность жидкости

.

Ответ: .

2.50.Объём части ледяной горы, возвышающейся над поверхностью моря, равен. Определить общий объём ледяной горы и глубину её погружённой части, если в плане она имеет форму прямоугольника размером.

Решение.Общий вес ледяной горы

,

где - объём подводной части ледяной горы;

- плотность льда.

Сила вытеснения (подъёмная сила) по закону Архимеда

,

где - плотность морской воды.

При плавании ледяной горы соблюдается условие

;

,

отсюда

,

где ;

(табл. П-3).

Подставляя цифровые значения в предыдущую формулу, получим:

.

Общий объём ледяной горы

.

Глубина погружённой части ледяной горы

.

Ответ: ;.

2.51.Запорно-поплавковый клапан бака водонапорной башни имеет следующие размеры:d=100мм;l=68мм;мм;D=325мм. Если уровень воды не достигает полушара 2 , то клапан 1 открыт, и вода поступает в бак. По мере подъёма уровня воды и погружения в неё полушара на рычаг 3 начинает действовать сила, равная выталкивающей силе воды (по закону Архимеда). Через рычаг усилие передаётся на клапан. Если величина этого усилия превысит силу давления водыpна клапан, то он закроется и вода перестанет поступать в бак. Определить, до какого предельного давленияpклапан будет закрыт, если допускается погружение в воду только полушара поплавка (до линии а – а).

Решение.Сила суммарного давления воды на клапан

,

где p– гидростатическое давление в корпусе клапана;

ω – площадь клапана.

Выталкивающая сила воды, действующая на поплавок, в соответствии с законом Архимеда

,

где - объём шара.

Составим сумму моментов сил относительно шарнира О

.

С учётом ранее полученных зависимостей запишем уравнение моментов

.

Отсюда находим предельное давление

Ответ: .

2.52.Автомобиль весомустановлен на паром с размерами;;. Проверить остой­чивость парома, если его весприложен на поло­вине его высоты, а центр тяжести автомобиля находится на высоте от верхней плоскости парома. Установить, как изменится метацентрическая высота, если на автомобиль будет уложен груз, центр тяжести которого расположен на высоте от верхней плоскости парома.

Решение.1) Найдем положение центра тяжести парома с автомобилем (без груза) относительно нижней плоскости парома

2) Водоизмещение парома с автомобилем (объем воды, вытесненный паромом)

3) Осадка парома

4) Расстояние центра водоизмещения от нижней плоскости парома

5. Расстояние между центром тяжести и центром водоизмещения

5. Момент инерции площади плоскости плавания

5. Метацентрическая высота

Так как метацентрическая высота положительная, то паром остойчив. Для случая

нагруженного автомобиля аналогично находим:

Следовательно, при наличии груза на автомобиле метацентрическая высота уменьшается на

Но паром и при наличии груза будет остойчив.

Ответ: .

2.53. Определить остойчивость деревянного цилиндрического бруса диаметром^{d=0,6 м и высотой h=0,5 м, если относительный удельный вес древесины}.

Решение:

Найдем силу веса цилиндра:

G_бр=W_брдер,

где _дер= 0,7=7000 Н/м³– удельный вес дерева;

W_бр==0,785м^{3 - объем бруса.}

^{Тогда вес бруса Gбр=7000987 Н.}

Вычисляем водоизмещение цилиндра:

W=м³.

Осадка цилиндра составит:

=м.

Найдем расстояние центра водоизмещения от нижней плоскости цилиндра:

H_ц.в.==м.

Центр тяжести цилиндра находится на расстоянии от нижней плоскости:

h_ц.т.=м.

Расстояние между центром тяжести и центром водоизмещения составит:

е=h_ц.т.-h_ц.в.=0,25-0,175=0,075 м.

Момент инерции площади плоскости плавания составит:

I₀=м⁴.

Метацентрическая высота равняется:

h_м=м.

Так как h_м< 0, то цилиндр неостойчив.

2.54. Плавучий железобетонный тоннель с наружным диаметромD=8м и толщиной стенки=0,3м удерживается от всплытия тросами, расположенными попарно через каждые 25м длины тоннеля. Определить натяжение тросов, если вес 1м дополнительной

нагрузки по длине q=9,81кН, плотность бетона, а угол.

Решение:

Составим уравнение равновесия сил, действующих на

тоннель:

Где:

Подставив значение сил в исходное уравнение, получим:

откуда найдём силу, действующую на каждый трос:

Ответ: =

2.55. Определить необходимую высоту Н колокола газгольдера весомG=70кг, диаметромD=70см, чтобы объем газовой подушки был равенW=100л.

Решение: Колокол удерживается в равновесии вследствие равенства сил, действующих на него:

G=P,

где P=pω

р – избыточное давление в газовой подушке под колоколом;

ω – площадь колокола;

G– сила веса колокола.

Найдем избыточное давление газа под колоколом

.

Для определения величины Н используем уравнение Клайперона - Менделеева, исходя из

предположения, что процесс происходит изотермически:

;

откуда найдём соотношение

;

где – первоначальный объем газа в колоколе при атмосферном давлении,

– конечный объем газа при давлении.

Причём величина давления составляет

Па.

Подставим в уравнение газового состояния.

где – заданный первоначальный объём.

Получаем:

Ответ: .

2.56. Определить давление р, создаваемого колоколом газгольдера и определить разность уровней воды под колоколом и в его стаканеh, если вес колоколаG= 20 кг и его диаметрd= 40 см.

Решение:

Составим уравнение равновесия сил, действующих на колокол:

,

где – сила давления в газовой подушке.

,

где – площадь (горизонтальная) сечения колокола.

Найдем давление под колоколом:

.

Это давление в газовой подушке (без учета атмосферного). Оно сохраняется во всех

точках постоянным, в том числе и на свободной поверхности воды под колоколом,

и на уровне сечения а-авне колокола. А это давление, в свою очередь, можно определить так:

и будет

.

Ответ:

2.57. Шарообразный поплавок помещен в жидкость, находящуюся в цилиндрическом сосуде, плавающем в той же самой жидкости. Вес сосудаG₁=1кг, вес жидкостиG₂=5кг.

Известно также соотношение глубин k==0,9.

Определить вес поплавка.

Решение.

Составим уравнение равновесия всех сил, действующих на эту систему:

G_с+G_ж+G_n=F_арх

где F_арх=- архимедова сила, действующая на цилиндрический сосуд с жидкостью и поплавком. Или, подставив значения получим

5+1+ G_n=F_арх ;

; или

(1),

Объём жидкости в цилиндре и объём погруженной части поплавка составляют:

W_ж+W_п.ч.п.=.

В свою очередь – объём погруженной части поплавка умноженный на удельный вес жидкости - это вес поплавка:

W_п.ч.п=F_apx^’=G_n.

Или =W_п.ч.п.Подставим в исходное уравнение:

W_ж+=получаем

W_ж+G_n=,

где W_ж=G_ж– это вес жидкости в цилиндре, тогда

G_ж+G_n=, откуда

G_n=-G_ж; или

G_n=- 5. (2)

Запишем ещё раз уравнение (1):

G_n=- 6. (1)

Приравняем правые части соотношений (1) и (2), получим:

-5=-6.

Учтём, что k=0,9=. Откуда найдём значение=0,9, тогда

-=6-5=1

(-)=1;

(-0,9)=1;

0,1=1;

=10/

Подставим это значение в уравнение (1) и найдём вес поплавка:

G_n=- 6=-6=4 кг

Ответ: G_n=4кг.

2.58. Определить удельный вес бруса, имеющего следующие размеры: ширинаb=30см, высотаh=20см, длина=100см, глубина погружения у=16см.

Решение:

Составим уравнение равновесия для плавающего бруса:

,

где ;

;

=.

Откуда получаем соотношение

.

Найдём удельный вес бруса

=

.

Ответ: .